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可是，我们刚刚确定，S+σ+S＇是系列σ＇中的一个。从而我们将有S+∑＇+S＇=S+∑+S＇+σ＇，这意味着系列S+∑＇+S＇和S+∑+S＇对应于第二空间的同一点N=N＇。证毕。
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因此，我们的两个空间点对点对应；它们能够相互“变换”；它们是同构的。我们如何被引导得出它们是等价的结论呢？
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考虑两个系列σ和S+σ+S＇=σ＇。我经常说，但并非总是说，系列σ保持着手指D感知到的触觉印象A；同样地，经常但并非总是发生这种情况，系列σ＇保持着手指D＇感知到的触觉印象A＇。现在我确定，十分经常地（也就是说，比我刚才所说的“经常”更为经常）发生下述情况：当系列σ保持手指D的印象A时，系列σ＇同时保持手指D＇的印象A＇；相反地，如果第一个印象改变了，则第二个印象也同样改变。这十分经常地发生着，但并非总是发生。
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我们用下述说法诠释这个实验事实：把印象A给予手指D的未知对象α是与把印象A＇给予手指D＇的未知对象α＇等价的。实际上，当第一个对象运动——这是印象A的消失告诉我们的——时，第二个对象也同样运动，由于印象A＇同样也消失。当第一个对象依然不动时，第二个对象也依然不动。倘若这两个对象等价，当第一个对象在第一个空间的M点，第二个对象在第二个空间的N点时，那么这两点也等价。这就是我们如何被导致认为这两个空间是等价的；或者更恰当地讲，这就是当我们说它们是等价的时候，我们意指的东西。
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我们刚才就两个触觉空间的等价所说的一切，使得讨论触觉空间和视觉空间等价的问题变得毫无必要，该问题能够用同样的方式去处理。
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5.空间和经验论
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情况似乎是，我正被导致得出与经验论观念一致的结论。事实上，我试图明显地提出经验的作用，并分析介入三维空间起源中的经验事实。可是，这些事实的重要性无论怎样，总是存在着一个我们不应该忘记的事情，而且我曾不止一次地注意到它。这些经验事实经常被证实，但并非总是被证实。这显然没有意谓，空间经常有三维但并非总是有三维。
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我完全知道，人们要拯救自己是很容易的，如果事实未被证实，他们会轻而易举地说明，外部对象运动了。如果经验接着出现，我们说它教导我们以空间；如果经验没有接着发生，我们赶紧责怪外部对象运动了；换句话说，如果经验没有接着发生，经验就要受到轻击。
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这些轻击是合理的；我没有拒绝承认它们；可是，它们足以告诉我们，空间的特性不是严格所谓的经验真理。如果我们通过给予其他类似的轻击，希望证实其他规律，我们也会获得成功。我们并非总是能够根据同样的理由证实这些轻击吗？人们至多会对我们说：“你们的轻击无疑是合理的，可是你们滥用它们；为什么外部对象如此经常地运动呢？”
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总而言之，经验并没有向我们证明空间有三维；它只是向我们证明，把三维赋予空间是方便的，因为这样一来，轻击的数目便被减少到最小。
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我愿附加几句话，经验促使我们仅仅与作为物理连续统的表象空间联系，它从来也没有促使我们与作为数学连续统的几何空间联系。经验最大限度似乎只能告诉我们，给予几何空间以三维是方便的，以至它可以有表象空间那么多的维数。
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经验问题可以在另一种形式下提出来。例如，在三维空间之外设想物理现象、力学现象是不可能的吗？我们从而应该有客观的实验证据，也可以说，应该有独立于我们生理学的、独立于我们表象模式的实验证据。
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但是，情况并非如此；我在这里不想全面地讨论这个问题，我将仅限于回忆赫兹（Hertz）的力学给予我们的引入注目的例子。你知道，大物理学家并不相信严格所谓的力的存在；他假定，可见的质点隶属于把它们与其他不可见的质点连接起来的某些不可见的结合物，我们归之于力的东西就是这些不可见的结合物的作用。
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可是，这只是他的思想的一部分。设由n个质点形成的系统是可见的或不可见的；这总共将给出3n个坐标；让我们把这些坐标视为3n维空间中的单一质点的坐标。这个单一质点凭借我刚刚讲过的结合物被强制保持在一个曲面（任何小于3n的维数）上；它在这个面上从一点到另一点，总是会采取最短的路径；这恐怕是概括整个力学的惟一的原理。
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关于这个假设，人们也许会做出无论什么样的设想，我们或者被它的简单性所诱惑，或者因它的人为特征而厌恶；赫兹能够想象这个简单事实，并认为它比我们习用的假设更为方便，这足以证明，我们通常的观念，尤其是空间的三维性，绝没有以一种无形的力量强加于力学。
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6.心智和空间
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因此，经验只不过起了单一的作用，它作为诱因而服务。可是，这种作用还是十分重要；我认为，必须使它凸现出来。假如存在强加于我们感性的先验的形式，而且它就是三维空间，那么这样的作用便毫无用处。
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这种形式存在吗？或者，倘若你乐意的话，我们能够想象大于三维的空间吗？首先，这个问题意味着什么呢？很清楚，在该词的真正意义上，我们无法想象四维空间或三维空间；我们首先不能把它们想象成空虚的，而且我们既不能想象在四维空间中的对象，也不能想象在三维空间中的对象：（1）因为这两种空间都是无限的，我们无法想象在空间之中的图形，也就是说，若未表象整体，我们无法想象在整体之中的部分，由于整体是无限的，要表象它是不可能的；（2）因为这两种空间是数学连续统，我们只能够想象物理连续统；（3）因为这两种空间都是均匀的，而我们在其中容纳我们的感觉的、有限的框架不可能是均匀的。
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这样一来，所提出的问题仅能用一种方式来理解；我们可以设想，当上述经验的结果不同时，我们必然被导致把三维以上赋予空间吗？例如，可以设想眼睛的调节感觉没有必要永久地与会聚感觉一致吗？或者，我们在第2节提到的经验，我们用“接触并非超距作用”的说法表达结果的经验，必然导致我们得出一个相反的结论吗？
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可是，说真的，这显然是可能的；从人们设想经验的时刻起，恰恰就在那里设想经验可能给予的两种相反的结果。这是可能的，但并不是充分的，因为我们不得不推翻许多观念联想，这些观念联想是个人长期的经验和种族更为久远的经验的成果。正是这些观念联想（或者至少是我们从我们祖先那里继承下来的那一部分观念联想），构成这种先验的形式（我们说过，我们有此形式的纯粹直觉）吗？我的确还没有看到人们应该宣称它难以分析的理由，以及应该使我摒弃研究它的起源的权利的理由。
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当说到我们的感觉被“延长”时，这只能意味一件事，即它们总是与某些肌肉感觉的观念关联在一起，这些肌肉感觉对应于能使我们达到对象的动作，而该对象引起它们，换言之能使我们防御它。其原因恰恰在于，这种联想对于生物体的防卫来说是有用的，这在物种的历史上是如此古老，以致在我们看来，它似乎是坚不可摧的。无论如何，它只不过是联想而已，我们能够设想，它可以被破坏；结果，我们不可以说，若感觉不在空间进入，它便不能进入意识；可是事实上，感觉在空间未进入，即在未卷入这种联想的情况下，是不会进入意识的。
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我不再能理解人们的下述说法：时间观念在逻辑上是继空间之后出现的，因为我们只有在形成直线的条件下才能够想象时间；以及时间在逻辑上是继垦荒种植之后出现的，因为时间通常被描述为手持镰刀之神。人们无法同时想象时间的不同部分，不用说，是因为，这些部分的基本特征严格地讲来不是同时的。这并不意味着我们没有时间的直觉。照此看来，我们也不再会有空间的直觉，因为我已经提到的理由，我们无法在该词的恰当意义上描述二者中的任何一个。我以直线的名义想象的东西是一种粗糙的图像，它不像几何直线，就如同它不像时间本身一样。
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为什么说把第四维赋予空间的每一个尝试总是把这一维回归到其他三维之一呢？这是很容易理解的。考虑一下我们的肌肉感觉和它们可能形成的“系列”。由于大量的经验，这些系列的观念以十分复杂的纬线联系在一起，我们的系列被分类。为了语言上的方便，请允许我用完全粗糙的、甚至不精确的方式来表达我的思想，就是说我们的肌肉感觉系列分为对应于空间三维的三类。当然，这种分类比那种分类更为复杂，但它足以使我的推理变得可以理解。如果我希望设想第四维，我可以假定构成第四类一部分的另一个肌肉感觉系列。可是，因为我的所有肌肉感觉已被纳入三个预先存在的类之一，所以我只能想象属于这三类之一的系列，以致我的第四维被回归到其他三维之一。
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这证明了什么呢？这证明，也许有必要首先摧毁旧的分类，并用新的分类代替它，在新分类中，肌肉感觉系列应该分为四类。困难也许消失了。
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有时，它以更为引人注目的形式被提出来。假定我被禁锢在由四个墙壁、地板和天花板形成的六个不可逾越的界面内的房间内；我不可能走出去，也不可能想象会走出去。对不起，你不能设想门打开了或者两个墙壁分开了吗？可是，不用说，你回答道，人们必须假定这些墙壁依然不动。是的，可是很显然，我有权利运动；而且，我假定完全处于静止的墙壁将相对于我运动。是的，然而这样的相对运动不能是任意的；当对象静止时，它们相对于任何坐标系的相对运动是刚体运动；现在，你所设想的表观运动不符合刚体运动定律。是的，可是正是经验教导我们以刚体运动定律；没有什么东西妨碍我们设想这些定律是不同的。总而言之，我设想我走出了禁闭室，我只是设想，当我运动时，墙壁似乎裂开了。
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