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十分相同的方程，如拉普拉斯（Laplace）方程，在牛顿引力理论、液体运动理论、电势理论、磁理论、热传播理论以及其他许多理论中都遇到了。其结果是什么呢？这些理论似乎是相互复制出来的图画；它们相得益彰，彼此借用语言；试问一下电学家，由于受到流体动力学和热理论的启发，他们发明了力线通量（flux de force）这个术语，他们是否为他们的发明自我庆幸。
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从而，数学类比不仅可以使我们预见物理类比，而且当物理类比不起作用时，数学类比也就不再是有用了。
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总之，数学物理学的目的不仅仅便于物理学家进行某些常数的数值计算或某些微分方程的积分。此外，它尤其能使物理学家揭示出事物的隐藏的和谐，使其以新的方式看待事物。
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在解析的所有部分中，可以说，提得最高的、最纯粹的部分在那些知道如何利用它们的人的手中将是最富有成果的部分。
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Ⅲ
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现在让我们看看，解析把什么归功于物理学。
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想不到了解自然的欲望在数学发展上具有最持久和最幸运的影响，就必然会完全忘却科学的历史。
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首先，物理学家向我们提出问题，期望我们解决它们。可是，在向我们提出问题时，物理学家为此服务预付了大量报酬，如果我们解决了问题，我们便报答了他。
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如果我可以被容许继续与优秀的艺术家比较的话，那么忘记外部世界存在的纯粹数学家也许就像这样一个画家：他知道如何把色和形和谐地组合起来，但却缺乏模特儿。他的创造力不久便会枯竭。
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数字和符号可以形成的组合无限多。在这么多的组合中，我们将怎样选择那些值得引起我们注意的组合呢？我们将听任我们自己仅仅受到任性的指导吗？而且，这种任性本身不胜其烦，无疑会使我们有别天壤，我们很快就会互不理解。
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然而，这只是该问题无关紧要的一面。毫无疑问，物理学将无疑防止我们彷徨歧路，而且也将保护我们免除令人可畏的危险；它将防止我们在同一个圈子里不停地团团转。
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历史证明，物理学不仅促使我们在挤成一堆的问题中做出选择；而且它也迫使我们研究那些若无它我们永远也梦想不到的问题。不管怎样，虽然人的想象可以变化，但是自然的变化更加丰富多彩。为了追求它，我们必须选取被我们忽视的道路，这些路线往往能把我们引向绝顶，我们从那里将会发现新的疆域。物理学多么有用啊！
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运用数学符号就像运用物理实在一样；正是在比较事物的不同方面的过程中，我们能够领悟它们的内部和谐，惟有这种内部和谐才是美的，从而值得我们努力追求。
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我要引证的第一个例子太古老了，我们自然而然地忘掉它；不过，它却是最重要的。
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数学思维的惟一天然对象是整数。正是外部世界把连续统给予我们，我们无疑发明了连续统，但却是外部世界强使我们发明的。没有连续统，就不会有微积分；整个数学科学本身便会降级为算术或置换理论。
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相反地，我们几乎把我们的所有时间和我们的全部精力投入连续统的研究。谁会为此而懊悔不已呢；谁会认为这些时间和精力付之东流呢？解析在我们面前展现了算术从未预料到的无限的视野；它让我们一览宏伟的集合物，这些集合物的排列是简单的和对称的；反之，在数论中盛行的是没有预见性的东西，也可以说视野在每一步都要受到阻挡。
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毫无疑问，有人会说，在整数之外没有严格性，从而没有数学真理；整数到处隐藏着，我们必须全力揭掉掩盖它的透明屏幕，即便这样做我们必须顺从没完没了的反复。但愿我们不是这样的语言纯正癖，让我们感谢连续统吧，纵令一切都出自整数，可是惟有连续统才能够创造出从那里出发的如此之多的东西。
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埃尔米特先生把连续变量引入数论，获得了令人惊叹的成果，我还需要回忆这件事吗？于是，整数独有的领域被侵犯，这一侵犯在无序统治的地方建立起有序。
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看看我们归功于连续统，从而归功于物理自然的东西吧。
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傅里叶（Fourier）级数是分析不断使用的精密工具，正是用这种手段，才能描述非连续函数；为了解决与热传播有关的物理学问题，傅里叶发明了它。当然，如果这个问题未被提出，我们也许永远也不敢赋予非连续性以权利；我们还会长期地把连续函数视为惟一真实的函数。
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函数概念由此被显著地推广了，并经一些逻辑解析家之手获得了意想不到的发展。这些解析家便这样冒险闯入最纯粹的抽象统治的领域，并且尽可能地远离了实在的世界。然而，正是物理学问题，给他们提供了机会。
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继傅里叶级数之后，其他类似的级数也进入解析领域；它们是通过同一大门而进入的；它们是考虑到应用而被设想出来的。
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二阶偏微分方程理论有类似的历史。它主要是借助物理学和为了物理学而得以发展的。然而，它可以采取许多形式，因为这样的方程不足以确定未知函数，必须使称之为极值条件的互补条件与之毗连；由此产生了许多不同的问题。
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假如解析家沉湎于他们的自然倾向，那么他们永远也不知道除一之外的东西，科瓦列夫斯基夫人在她的著名论文中处理了这个问题。可是，还有他们可能会忽视的其他许多东西。物理学、电、热的每一个理论都在新的样式下向我们呈现这些方程。因此，可以说，没有这些理论，我们便不会知道偏微分方程。
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不需要添加例子了。我足以能够得出结论：当物理学家请求我们解决问题时，这不是他们强加在我们身上的麻烦和责任，相反地，我们应该感谢他们的功劳。
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