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物理学家不能要求解析家向他揭示新的真理；解析家最大限度只能帮助他预见真理。长期以来，人们依旧梦想先发制人地排斥实验，或梦想依靠某些不成熟的假设构造整个世界。以前人们还为之自鸣得意的那一切建筑物，今天留下的只不过是它们的废墟而已。
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因此，一切定律都是从实验推出；但是要阐明这些定律，则需要有专门的语言；日常语言太贫乏了，而且太模糊了，不能表达如此微妙、如此丰富、如此精确的关系。
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因此，这是物理学家不能够没有数学的一个理由；数学为他提供了他能够表述的惟一语言。精妙的语言不是无关紧要的东西；仅就物理学而言，发明热这个词的无名氏使多代人陷入错误之中。热被当作实物来看待，只是因为它被一种独立存在的实体所指谓，而且人们认为热是不可消灭的。
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另一方面，发明电这个词的人却交了不应得的好运，无保留地把电守恒这个新定律给予物理学，由于纯粹的机遇，这个定律被认为是正确无误的，至少直到目前是这样。
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好的，继续作比喻吧，舞文弄墨的作家，他们把语言视为艺术的对象，同时把它当作更为得心应手的工具，当作更易于表达思想的细微差别的工具。
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接着，我们了解到，正是凭借此，以追求纯粹美学目的的解析家如何有助于创造一种使物理学家更为心满意足的语言。
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可是这并非一切：定律虽然出自实验，但是并非直接而来。实验是个别的，而由它推出的定律却是普遍的；实验仅仅是近似的，而定律则是精确的，或者至少自称是精确的。实验总是在复杂的条件下完成的，而定律的表述则消除了这些复杂性。这就是所谓的“矫正系统误差”。
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一句话，为了从实验得到定律，就必须加以概括；这就是强加在最为小心谨慎的观察者身上的必然性。但是如何概括呢？每一个特殊真理显然都可以用无限的方式加以扩展。必须在我们面前铺开的不计其数的道路中做出选择，至少应该做出暂定性的选择；在这种选择中，什么将指导我们呢？
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这只能是类比。但是，这个词是多么模糊啊！原始人仅仅知道粗糙的类比，这是些给感官以印象的类比、颜色或声音的类比。他从来也不可能梦想到光与辐射热类似。
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是什么东西教导我们认出这些眼睛看不见而理性却能神悟的、真正的和深奥的类似呢？
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这就是轻内容而只重纯粹形式的数学心智。正是数学心智，教导我们把相同的名称给予仅在材料方面有差别的事物，例如用同一名称称呼四元数的乘法和整数的乘法。
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如果我刚才讲过的四元数未被英国物理学家如此果断地加以利用，许多人无疑认为它们只不过是无用的空想，可是它们在教导我们比较外观毫不相干的事物时，已促使我们更巧妙地洞察自然的秘密。
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这就是物理学家应该期望解析所做的帮助；但是要使这门科学能够向他们提供帮助，就必须以最广泛的方式培育它，而不能立即期待效用——数学家必须像艺术家那样去工作。
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我们要求数学家帮助我们在我们面前敞开的迷宫中辨认、识别我们的道路。现在，数学家站得最高，看得最远。例子不胜枚举，我仅限于举最有名的。
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第一个例子将向我们表明，改变语言如何足以揭示先前意想不到的概括。
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当牛顿定律代替开普勒定律时，我们还只是知道椭圆运动。现在，就这一运动而论，两个定律仅仅在形式上不同；我们运用简单的微分法就可把一个定律变为另一个定律。可是，从牛顿定律出发，通过直接概括，就可以推导出摄动的所有结果和整个天体力学。另一方面，如果固守开普勒的表述，永远也不会有人把摄动行星的轨道看做是椭圆的自然概括，因为这些轨道是很复杂的曲线，从来也没有人写出曲线的方程。观察的进步只会有助于制造对混沌的信仰。
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第二个例子同样值得考虑。
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当麦克斯韦（Maxwell）开始他的研究时，被公认的电动力学定律直到他所处的时代能说明所有已知事实。得以使它们无效的不是新实验。然而，麦克斯韦独具慧眼，他在考察它们时看到，电动力学方程只要附加一项，就变得比较对称，而且这一项极为微小，与旧方法相比，它不会产生可觉察的影响。
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你知道，麦克斯韦的先验观点等了20年才得到实验证实；或者，你如果乐意的话也可以说，麦克斯韦早在实验之前20年就有先见之明。这一成就是怎样获得的呢？
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这是因为麦克斯韦深深地沉浸在数学对称性的感觉之中；如果其他人在他之前没有为对称性本身之美而研究对称性，他能够大功告成吗？
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正因为麦克斯韦习惯“用矢量思考”，可是矢量引入解析却是通过虚数理论。发明虚数的人几乎没有猜想到为研究实在世界能从虚数得到什么好处，他们给虚数取的名字（imaginaries，neomonics）就是充足的证据。
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简而言之，麦克斯韦恐怕不是一位能干的解析家，不过这种能力对他来说可能只是无用的、讨厌的思想包袱。相反地，他在最大程度上具有数学类比的内在感觉。正是因此，他在数学物理学上成就卓著。
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麦克斯韦的例子还告诉我们另外的事情。
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应该如何看待数学物理学的方程呢？我们可以只推导一切结果并把它们视为不可捉摸的实在吗？远非如此；它们尤其应当告诉我们，能够改变什么，应该改变什么。只有这样，我们才能由它们得到某些有用的东西。
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第三个例子向我们表明，我们如何可以察觉在物理学上既无表观关系，亦无真实关系的现象之间的数学类似，结果这些现象之一的规律有助于我们推测另一个现象的规律。
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