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例如，数学物理学采用大量的级数展开。没有人怀疑这些展开收敛；但是缺乏数学确实性。对于将继我们之后而来的研究者而言，可以确信这些展开会被如此之多地征服。
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另一方面，物理学不仅向我们提供解答；另外，它也在某种程度上向我们提供论据。这将足以使我回想起，在关于黎曼曲面的问题中，弗莱克斯·克莱因如何求助于电流的特性。
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的确，在解析家加在这个词的意义上，这种类型的论据是不严格的。在这里，产生了一个问题：对于解析家来说并不充分严格的证明对物理学家来说怎么能够满足需要呢？看起来，不可能有两种严格，要么严格，要么不严格，而且在没有严格性的地方也不会有演绎。
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通过回忆在什么条件下把数应用于自然现象，这个表观的悖论将会得到更好的理解。一般说来，在寻求严格性中所遇到的困难从何而来呢？在试图确定某个量趋于某一极限或某个函数是连续的或它具有导数的过程中，我们几乎总是要碰到困难。
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现在，众所周知，物理学家用实验量度的数只能是近似的；而且，任何函数与你从非连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别，同时与你从连续函数中选择的函数几乎总是没有多少差别。因此，物理学家可以随意假定，所研究的函数是连续的或者是不连续的；它有导数或者没有导数；他们可以这样做，既不怕与目前的实验发生矛盾，也不怕与任何未来的实验发生矛盾。我们看到，由于这种自由，他嘲弄了把解析家难倒的困难。他总是可以推理，犹如在他的计算中所出现的所有函数是整多项式一样。
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这样一来，使物理学家感到满足的概略并不是解析家所要求的演绎。但是，不能由此得出结论说，一个在发现中不能帮助另一个。如此之多的物理学概略已经转化为严格的证明，以至这种证明在今天是很容易的。还有许多例子，我岂不担心过多地引证它们会使读者厌倦。
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我希望我所说的东西足以表明，纯粹解析和数学物理学可以相互服务，而不会彼此做出任何牺牲，这两门科学中的每一个都应当为提升它的联合的一切做法而欢欣鼓舞。
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科学的价值 第六章 天文学
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政府和议会必然感到，天文学是一门耗资庞大的科学：最小的仪器动辄花费数十万元，最小的天文台其费用以百万元计；每次日食、月食，还要给予临时拨款。这一切为的都是遥远的星球，它们对我们的竞选全然无知，多半将永远也不参加选举。情况必然是，我们的政治家保留着理想主义的残余。他们对什么是宏伟的东西还保留着模糊的本能；确实，我认为他们受到中伤；他们应该受到鼓励，应该证明这种本能没有欺骗他们，他们也不是容易受那种理想主义愚弄的人。
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的确，我应该向他们谈谈导航，没有人会低估导航的重要性，而导航需要天文学。但是，这也许只领会到问题次要的一面。
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天文学之所以是有用的，因为它能使我们超然自立于我们自身之上；它之所以有用，因为它是宏伟的；这就是我应该说的。天文学向我们表明，人的躯体是何等渺小，人的心智是何等伟大，因为人的理智能够包容星辰灿烂、茫无际涯的宇宙，并且享受到它的无声的和谐，人的躯体在它那里只不过是沧海一粟而已。这样一来，我们意识到我们的能力，这是一种花费再多也不算过分的事业，因为这种意识使我们更加强大非凡。
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但是，我希望首先表明的是，由于天文学把能够领悟自然的心灵给予我们，它在多大程度上促进了比较直接有用的其他学科的工作。
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想一想，假使人类处于阴云始终密布的天空之下，就像处于木星上那样，从来也不知道有其他星球，人类的声誉便会一落千丈。你想过没有，在这样一个世界上，我们会是现在这种样子吗？我清楚地知道，在这个昏暗的苍穹之下，我们被剥夺了像生息在地球上的生物体所必需的阳光。可是，如果你乐意的话，我们可以假定，这些阴云是发磷光的，放射出柔和的和持续的光。由于我们正在做假设，我们不再会失去另外的东西。好了！我重复我的问题：你想过没有，在这样一个世界上，我们会是我们现在这种样子吗？
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星辰不仅向我们发出天然可见光，射入我们的肉眼，而且它们也向我们发出一种极为微妙的光，照亮我们的心智，我将极力向你表明心智的作用。你知道，数千年前地球上的人类的状况和今日的状况。在太古时代，人类在自然界中是孤立的，大自然的每一种事物对他来说都是神秘莫测的，他对不可理解的自然力的每一次异乎寻常的表现都感到惊恐不安，他没有能力认识宇宙万物的运行规律，以为它们是变幻无常的；他把一切现象都归因于古怪的、苛刻的小神怪的诸多行为，为了在这个世界上过活，他借助于为获得执行人或代理人的善意恩典所使用的类似方法，力图去迎合神怪。即使失败了，他仍执迷不悟，与当今遭到拒绝的乞丐仍不灰心丧气、继续沿门乞讨相比，真是有过之而无不及。
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今天，我们不再乞求自然；我们命令自然，因为我们发现了它的某些秘密，我们每天都将发现它的其他秘密。我们以定律的名义命令自然，它不能对此提出异议，因为这些定律是它的规律；我们不能疯狂地要求自然改变这些规律，我们首先必须服从它们。只有服从自然，才能支配自然。
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从昔日的状况变到今日的状况，我们的心灵必须经受多么大的变革啊！任何一个人是否相信，没有星辰的教训，终日处在我刚才假定的阴霾笼罩的天幕之下，他们能够变革得如此之快吗？这一变化是可能的呢，或者至少不会慢很多呢？
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首先，正是天文学教导我们存在着规律。首次注意观察天象的古代巴比伦的迦勒底（Chaldea）人看到，如此众多的发光点并非乌合之众，而如纪律森严的军队。毋庸置疑，他们不了解这种纪律的准则，繁星点点的夜空的和谐壮观便足以给他们以规律性的印象，这本身已经是伟大的成果。此外，希帕克（Hipparchus）、托勒密（Ptolemy）、哥白尼（Copernicus）、开普勒一个接一个地觉察到这些准则，最后无须回忆，正是牛顿，阐明了所有自然定律中最熟悉、最精确、最简单、最普遍的定律。
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仰观如是，俯察亦然；我们清楚地看到，我们小小的地上世界表面看来是无序的，可是我们在这里也再次发现天体研究向我们揭示出的和谐。它也是有规则的，它也服从永远不变的定律，但是定律更复杂，且在表观上互相冲突，未经其他观测训练的眼睛也许看到的只是混沌，只是偶然和任性的统治。纵使我们不了解星辰，一些大胆的人也许还想预见物理现象；但是，他们必然会屡遭失败，他们只会引起庸夫俗子的耻笑；难道我们没有看到，即使在今日，气象学家有时也会受骗，一些人不是总想嘲笑他们吗？
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如果物理学家没有天文学家的出色成功例证来坚定他们的信念，那么物理学家会被如此之多的牵制弄得垂头丧气，他们将要多么经常地陷入绝望之境啊！天文学家的成就向他们表明，自然服从规律；剩下的只是了解规律是什么；为此，他们只需要耐心，他们有权利要求怀疑论者应该信任他们。
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这并非问题的全部：天文学不仅教导我们存在着规律，而且教导我们无法摆脱规律，在这里没有与之调和的余地。如果我们仅仅知道地上的世界——在这里，每一种基本的自然力在我们看来似乎总是与另一种自然力相抵触——那么要理解上述事实需要多少时间呢？天文学教导我们，规律是无限精确的，如果我们阐明的定律是近似的，那只是因为我们不完全了解它们。古代最科学的头脑亚里士多德还把作用归于偶然、机遇，他似乎认为，自然规律，至少是地球上的自然规律只是确定现象的大致特征。对于纠正认为自然不可理解的谬论，天文学预言的日渐精确做了多么大的贡献啊！
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但是，这些规律岂不是像人为的规律那样是局域的、因地而异吗；在宇宙一隅，例如在我们地球上或我们小小的太阳系内是真理的东西，稍微远离一些岂不变成谬误吗？其次，难道不可以询问，因地而异的规律是否不因时而异，它们是否是简单的习惯从而是暂时的和短命的？又是天文学再次回答这个问题。考虑一下双星；它们的轨道是圆锥曲线；这样，在望远镜所及的距离内，都没有超出服从牛顿定律的领域。
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甚至这个定律的简单性对我们来说也是一种训诫；多么复杂的现象都包含在该定律表述的两个界限内；不了解天体力学的人至少可以从这门科学所处理的范围中形成关于它的一些观念；而且可以期望，物理现象的复杂性同样隐藏着我们还不知道的某个简单的原因。
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因此，正是天文学向我们指出，什么是自然规律的普遍特征；可是，在这些特征中，有一个最微妙、最重要的特征，我想请求允许我强调一下。
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