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很多学者尝试着对布莱克-斯科尔斯模型中关于股票未来价格的一些假定做出修正，以使其更好地模拟如图10-2所示的债券价格变动。拉维按照近似的思路，但由于他是从事实务操作的，他的模型更具有实用性。他聪明地对未来债券收益率而非债券价格的变动进行建模，从而发明了当时使用的高盛债券期权模型。如果以当前价格买入债券，持有到期，并收到该债券所产生的所有利息收入和到期本金，那么债券收益率就是你得到的年化平均百分比收益。拉维只是假设了债券的收益率而非其未来价格遵循一直扩大的、如图10-1所示的布莱克-斯科尔斯模型分布。在这种情况下，随着时间流逝，债券逐渐接近到期日，债券的未来收益率不论高低，其取值逐渐变得与该债券价格无关；剩余到期时间太短以至于收益率大小不会有什么影响。因此，尽管在拉维的期权模型中，债券收益率分布随着时间消逝就像图10-1所示那样逐渐变得无限高或无限低，但利用这些收益率计算出来的债券价格却像图10-2所示的那样逐渐收敛。
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拉维的模型捕捉到了债券价格未来变化的特征，是非常有意义的工作。该模型也更符合交易员的直觉，他们已经习惯于从收益率的角度来考虑债券价格，因此认为考虑收益率的变化范围或者是波动是很自然的事情。好的想法通常同时出现在几个人的大脑中，这个模型的不同版本很快就各自独立地出现在其他华尔街的公司里。几年后，当我去所罗门兄弟公司工作时，我发现他们也有一个差不多的系统。
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但很多以布莱克-斯科尔斯框架为原型的模型中，存在着其他更深层次的、更加细微的问题。就像布莱克-斯科尔斯模型将每一只股票视为独立的变量一样，拉维的模型也将每只债券视为独立的。尽管认为未来IBM公司每股股票未来价格与AT&T公司每股股票未来价格的变化是相互独立的，没有明显的问题，但债券的未来价格，比如一个五年期债券和一个三年期债券的未来价格变化，在模型中假设成为相互独立的变化，就会出现前后不一致。如果你这样做，事情就会失败。
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不同债券之间是相互联系的。五年期债券未来价格变化与三年期债券未来价格变化之间并非是相互独立的，而是相互重叠的：从现在起的两年后，这只五年期债券就会变成一只三年期债券，因此你不能在给一只债券的未来价格变化建模的同时，不考虑给其他债券建模。事实上，只给一只债券建模而不是给所有债券建模，也是不可能的。
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一只五年期债券和一只三年期债券还有其他相同之处。你可以将一只五年期国债视为未来五年内每六个月到期的十个零息债券的组合。同样地，一只三年期国债可以视为未来三年内每六个月到期的六个零息债券的组合。利用这种方法分解，债券的组成部分是共享的：五年期债券和三年期债券中都包括前六只零息债券。因此，对前三年的债券进行建模时，也暗含了对五年期债券的一部分建模。
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从本质上讲，拉维的模型没有考虑到其违反了所有理性的金融模型中作为基础的“一价定律”。一价定律要求任何两个具有相同最终支付的证券都应该具有相同的现价。现在，基于长期债券的短期期权组合与短期债券的支付完全相同，那么期权的组合也应该具有与短期债券相同的理论价值，尽管它们的名称可能不同。但在拉维的模型中，假定长期债券和短期债券是相互独立的，因此他的模型就无法保证一价定律完全实现。
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每次对拉维的模型进行认真审视都会得到相同的结论：它无法对债券分开来建模，一次一只是不可能的。你必须针对所有债券的未来变化设计模型，也就是关于收益率曲线本身的模型。这就是我们的目标。
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我离开了费希尔的办公室，被他关于我计算程序中名称的苛刻评论弄得有点受打击。但几天后，他告诉我我可以加入他的团队，且比尔·托伊他们正在努力开发一个新的债券期权模型。这是一个非常好的机会，对我的人生而言产生了巨大且使我受益良多的影响。
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1986年春天，我参加了我平生第一次期权会议，这是一次由霍华德·贝克（Howard Baker）、梅纳赫姆·布伦纳（Menachem Brenner）和丹·加莱（Dan Galai）在美国证券交易所组织召开的一次年度会议。我是参加此次会议的上百名宽客、交易员和学者中的一位，参会的所有人都是这个领域中的活跃分子。那时的期权会议还很少，后来像《风险》杂志这样的为了赚钱办会的机构开始占领市场，并最终将美国证券交易所举办的期权会议挤垮。我记得有几个演讲是关于新的债券期权定价模型的，其中一个是那时还在摩根士丹利工作的瑞克·布克斯塔伯（Rick Bookstaber）所做的。在解决这一问题上，你能感到一种越来越大的紧迫感，几乎是一场竞赛。费希尔告诉比尔和我，鲍勃·默顿作为另外一家投资银行的顾问，也在研究这一问题。
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参会的高盛公司的代表并非仅仅是出于学术兴趣——我们的交易员都要对基于长期债券的长期期权进行做市，恰恰这一领域是拉维模型中矛盾最突出的地方。交易员们意识到他们需要一个更好的模型，因此也有着巨大的动力来替换掉拉维的模型。
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我们知道我们需要对所有国债的未来价格变化进行建模，也就是要对整个收益率曲线的变化建模。要做好这件事没那么不容易。股票价格只是一个数，当你对它的变化进行建模时，你只是预测一个数在不确定的未来会变成多少。与此相反，收益率曲线是一条连续的统一体，像是一根弦或是一个橡皮圈，它上面的每一个点都对应了一个债券收益率和特定的到期期限。随着时间流逝及债券价格变化，收益率曲线也会发生移动，如图10-3所示。而随时间变化，相应地推导出整条收益率曲线更是一项艰难的任务：就像你不能完全独立地移动一根线上不同的点，因为这根线必须保持连续不断，于是离得很近的代表债券收益率的点也必须保持连续不断。
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图10-3 收益率曲线可能会在日内发生变化
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那么，该如何预测债券未来的价格呢？费希尔、比尔和我都是实用主义者。我们是为交易员构建模型的，因此我们希望这个模型要简单、一致，能够合理地反映现实。简单意味着一个随机因子就能推导出所有变化。一致意味着模型得到的所有债券理论值要与其当前市场价格相符，如果它最终得到了错误的债券价格，那么利用它来对基于债券的期权定价就是毫无意义的。反映现实就意味着模型所得到的未来收益率曲线的变化区域，应该与那些现实中的收益率曲线变化相似。
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当物理学家开发模型时，他们首先会求助于一个关于世界的模型，这个模型上空间和时间都是不连续的，只存在于一个网格里的点上，这就使得利用数学进行描述更容易了。我们利用相同的思路开发我们的模型。我们首先设想了一个世界，在这个世界中最短期的投资只能持续一年，并且由一年期国库券利率来表示。那么长期的利率则反映市场对未来短期（也就是一年）利率未来变化的可能范围的判断。
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顺着这一思路，我们开发了一个关于未来一年期利率的简单模型，类似于图10-1中股票价格分布的离散版本。如图10-4所示，最初的一年期利率可以从当前收益率曲线中得到。当你越往将来看去，利率变化的可能值会逐渐落在更广泛的范围内。
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图10-4 布莱克-德曼-托伊模型关注于未来短期利率的分布
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这里每个点对应于一个未来一年期利率的特定取值。过去的时间越多，未来利率的不确定性就越大。
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为了完成我们的模型，我们现在必须决定未来任何一年的时点上，一年期利率的取值范围。在我们的模型中，核心的原则是将长期债券视为连续短期债券投资的组合。从这个角度出发，两年期利率来自于连续两次一年期投资，第一次是一个已知利率，第二次是一个未知利率。市场今天对于一个两年期债券利率给出的定价取决于市场如何判断一年后一年期利率是如何变化的。因此，你就可以利用当前一年期收益率和一年后一年期利率的分布计算出当前两年期债券收益率。同样地，你也可以利用一年后一年期利率的分布计算出当前两年期收益率的波动率或不确定性。相反地，倒推回来就是，由于当前市场上两年期收益率及其波动率是已知的，那么你就能推导出一年后一年期利率的分布，如图10-5所示。
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图 10-5
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在布莱克-德曼-托伊模型中，未来一年期利率的分布是从当期收益率曲线推导出来的。两年到期收益率决定了一年后的一年期利率的分布，三年到期收益率决定了两年后的一年期利率，以此类推。
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