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举例来说，如果日经指数从37500点下降到25000点，指数点位下跌12500点，或指数下跌33%，即使日元（以极端情况为例）按美元计价变得一文不值，那么面值为1000美元的看跌权证持有者，在约定转换汇率为1美元兑1日元的情况下，将收入333美元。如果转换汇率没有提前约定，权证持有人的收益将按照当前汇率转换成美元，那么他将一无所获。这个特征对于美国投资者而言非常有吸引力，他们天然地按照美元来计算收益，这种微妙设计将有利于美国投资者从期待已久的日本股票市场下跌上获益，而不用担心股票市场下跌对汇率的不利影响。
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后来市场将含有这一特点的期权称为“Quanto”，而我总是倾向于将其称之为“汇率担保”（GER）期权，这似乎听上去更恰当。我记得这是我遇到的第一个非标准化的或是所谓的“奇异”期权，就像绝大多数成功的结构化产品一样，它的支付反映了投资者的需要。
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金融工程所扮演的角色就是从这里登上舞台的。即使格莱尼以非常便宜的价格买入以日元计价的看跌期权，并以非常昂贵的价格将丹麦王国看跌期权卖给急切的投资者和投机者，它们所产生的支付之间仍存在着非常危险的不匹配，而这种不匹配可能会把我们的利润全部吞噬掉。如果日经指数下跌，我们买入的期权会产生日元收益，但我们卖出的丹麦王国看跌期权要求我们向交易对手方支付美元。美元兑日元的汇率变动因此会降低，甚至会整个吞噬掉我们的利润。为了防止这种情况发生，我们必须不断对冲掉美元兑日元汇率变动的风险，从而消除这种变动对我们所买入和所卖出的期权价值的影响。
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就像服装设计师必须综合考虑劳动成本、衣料成本等，才能给服装制定一个合理的价格一样，我们在给GER期权定价时也必须考虑到对冲的成本。对冲策略涉及日常对于日经指数和日元的交易，我们必须把这种交易策略的预计成本计入丹麦王国看跌期权的价格之中。
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布莱克和斯科尔斯在1973年就已经指出，标准股票期权的合理价值就是在其存续期内的对冲价格。他们推导出一个关于期权价值的偏微分方程，并给出了求解方法。从那以后，学术界和实务界人士都在忙着将这种方法应用到所有其他期权产品上。1989年年末，皮奥特·卡拉辛斯基已经发现了一个类似的偏微分方程，用来计算丹麦王国看跌期权的合理价值。出乎部门里所有人的意料，甚至让人有些怀疑的是，他发现GER期权的价值取决于美元兑日元汇率变动与日经指数变动之间的相关程度。日经指数与日元间的相关程度会影响GER日经看跌期权的价值，这个结果违反人的直觉，甚至有些自相矛盾，因为GER日经看跌期权本身就是设计用来剥离日元价值变动的影响的。
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在1990年我重返高盛的第一个月，所有人都在关注日经指数看跌期权，特别是关注这种看跌期权的估值方法和对冲方法。我很快就遇到了丹·奥罗克，他是一名几个月前由格莱尼刚刚招进来的期权交易员，现在负责每天日经指数产品的对冲交易。丹和我对此有相同的看法。第一，我们都明白不管模型有多么好，光有模型是不够的。交易员需要的是包含模型的交易系统，这些系统要求交易员按照规则来使用模型。我们的交易员们用来管理他们交易组合的是满足不了需求的、非常靠不住的Lotus电子数据表格，任何一个交易员凭着一时冲动就可以对这些电子数据表格进行修改。这并不是业务运行的合适方式。我们意识到，关键是要专门针对日经指数期权设计一套风险管理系统，类似于我曾帮助金融策略小组（FSG）开发的、债券期权部门使用的交易系统，也类似于加贝茨在芝加哥曾尝试开发的那类系统。你需要一个专用的计算机程序，用于跟踪几百只期权、期货和货币头寸的对冲交易，而这些产品构成了我们部门的日经指数波动组合。第二，短期内更重要的是，丹和比尔·托伊说服我，有必要向交易员们表明，皮奥特的违反直觉的GER看跌期权估值方法是正确的。
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我从尝试了解皮奥特关于GER期权估值公式的核心入手。如果你想向一位交易员解释一个期权公式，你不能用随机微积分和偏微分方程这样的概念。即使现在，当交易员们都更倾向于具有数学背景的情况下，你仍需要用一种直观的方法向他们说明一个公式是靠得住的。直到我能用一种简单、浅显的方法就能理解公式的时候，我才会对自己感到满意。因此，我决定忘掉丹麦王国GER期权估值方程的偏微分方程推导，而尝试着获得一种对其合理估值更加简单、易懂的解释。量子电动力学里面费曼法则对于普通人来说，是一种正确计算粒子碰撞后复杂散射各种可能性的有效工具。我希望利用类似的、更简单的方法，找到一组可靠的规则，能让你说服一个普通的交易员，不用求诸于动态期权复制背后的高等数学，就能判断一个期权公式是否正确。
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我思考了到底布莱克-斯科尔斯公式告诉了我们什么。从本质上来说，你可以通过默顿的动态复制策略推导出这个公式。从这个角度来说，布莱克-斯科尔斯公式非常详细、准确地描述了如何利用不断变化的股票和无风险债券组合来合成一份股票期权。但从更单纯的角度来看，这个公式就是根据股票的当前价格和无风险债券的当前价格，得到这份期权的合理估值。它的核心思想就是，期权是一个组合。就像希腊神话故事里的半人马，一半是马，一半是人，一份看涨期权也是一个混合物——部分是股票，部分是债券。从这个角度出发，我开始将布莱克-斯科尔斯公式视为一种利用股票和债券已知市场价格得到混合物合理价值的简单且合理的方法。有几位经济学家，比如保罗·萨缪尔森（Paul Samuelson），就循着这一思路，在布莱克和斯科尔斯之前，曾差一点就推导出了布莱克-斯科尔斯公式。
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当你希望估计水果沙拉的价格时，你会将沙拉包含的水果的价格进行平均。按照这一思路，我认为期权估值公式就是估计混合物价格的方法，它对混合物构成成分的已知市场价格求平均。因此，我为自己设定一套规则，普通人将期权视为混合物时可能会用到这套规则，我想试试看利用这些规则是否能够得到GER期权正确的估值公式。最后，我想出了以下思路。
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第一，就像在任何数学问题中一样，你需要选择单位，也就是在所有证券报价中所使用的货币种类。你能选择你喜欢的任何货币——日元、美元甚至是利用IBM公司的股票作为价值测度单位。这就像是在说身高的时候，你要决定是要用英寸[3]还是用厘米作为单位。创设一只期权的成本或建设一栋公寓楼的成本，并不取决于你选择哪种货币来进行测度。
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在实际操作中，只要稍稍花点心思就能得出哪种货币是理想的选择，从而大大简化问题。以期权世界以外的例子来说，股票市场分析师通常引用股票的市盈率（P/E Ratio），即股票价格除以每股年化收益，作为股票价值的测度。这就相当于利用以美元计价的股票年化收益而非美元本身作为报告上市公司股票价格的单位。这种股票的报价方式，自动地告诉了你当你按照当前价格买入股票后，按照假定的每年收益，要过多少年你才能收回所付出的股价。
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20世纪90年代，期权理论领域内大多数进展都不过是在布莱克、斯科尔斯和默顿三人提出的最初思想基础上，通过巧妙地选择美元以外的更加精巧的价值计量单位扩展而成。这个技巧在布莱克和斯科尔斯发明出他们的模型后不久，被比尔·马格拉比第一次使用。有着数学天赋的期权理论学家将这个技巧称为“关于记账单位的选择”（the choice of numeraire）。
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由于风险是你要应对的，那么你必须识别出期权中的风险成分，也就是那些未来价值未知的部分。这里，你的目的是将复杂期权视为你能理解其风险的最简单标的证券的组合。期权建模人员将其称之为风险因子。比如，对于一个标准的股票期权而言，股票价格是主要的风险因子。对于丹麦王国日经指数看跌期权而言，最重要的风险因子是日经指数水平和美元兑日元汇率值。
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接下来，你必须描述未来情景的变动范围，也就是风险证券的可能取值。这个范围通常由几个模型变量来描述，当调整模型的时候，这些参数也就必须被确定下来。一旦你知道了风险因子在未来情景的变化范围，你就能估计出任何其他风险证券（比如说一只期权）的价值，即将每种情景下的未来支付求平均，再将这些平均值折现到当前即可。比如说，在布莱克-斯科尔斯模型中，假设未来股票收益的分布服从普通的钟形分布曲线，这对于了解初步统计知识的所有投资者而言都是不陌生的。当你知道了描述这种分布的中心和宽度，或用更数学化的语言来说，就是它的均值和标准差后，就能确定出这种分布。
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然后，你要对模型进行调校，也就是说你必须让模型的情景参数同更简单的风险基础证券以你所选定的货币单位计价时的当期价格保持一致。在布莱克-斯科尔斯模型中，这一调校过程就意味着，当你用这个模型计算股票本身的价值时，你得到的就是当时的股票价格；当你用这个模型计算一只无风险债券的价值时，你得到的也是这只债券的价格。这一约束条件就足以将布莱克-斯科尔斯公式确定下来了。调校过程是非常关键的。无论何时，你用你的模型计算一只简单风险证券的价值，只要你理解它的风险，知道它的市场价格，你利用模型计算的结果就要等于市场价格。如果结果不匹配，那就意味着你在哪里出错了。
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一旦模型调校完成，你就能利用它计算期权的价值了，也就是按照各种情景的分布求出期权未来各种支付的平均值，再将平均值折现即可。我喜欢将其称之为“插值法”（interpolation），因为模型就是根据组合成分在两端的已知价格来计算组合本身的“中间”价值。
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我所给出的配方并没有什么原创之处，但这种描述确实使期权估值方法通俗化，同时还保留了相当多的经济学思维。我发现这是向交易员解释模型的一种很有帮助的方法，也是有助于我自己思考的有用方法。对于很多复杂的衍生品问题，你可以不用所认为的那么多数学知识，就能得到答案。
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我现在就利用这一逻辑来逐步分析丹麦王国GER日经指数看跌期权。由于这种期权是以美元来进行支付的，我就选择美元作为理想的货币单位。相关的风险因子就是日经指数点位（以日元计价）和日元的价值（以美元计价）。皮奥特假设日经指数和日元的未来收益都服从于常见的钟形分布——在那个时候已经是比较好的假设了，那时没人会担心分布中的厚尾（fat tails）问题以及它们对期权价格的影响。
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为了进行模型调校，我分别选择以日元报价的日经指数和以美元报价的日元价值钟形分布的中间值，从而日经指数的价格和日元的价格，在都用美元进行计价时，跟它们的当前市场价格相一致。现在，这个模型已经全部确定好了，可以应用插值法了。
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然后，我先将未来日经指数和日元各种情景下的支付按担保汇率折算成美元，再进行平均，来计算看跌期权的合理价值。令我非常满意的是，我很快就更加直接地得到了皮奥特的公式。这种期权的价值确实依赖于按日元报价的日经指数与以美元计价的日元价值之间的相关程度。我的方法更易于向交易员解释清楚。对于总是在寻找市场定价偏差的交易员们来说，他们出于本能地理解到，模型必须要经过调校从而与市场上日经指数和日元以及他们在任意时刻可以买卖证券的市场价格（以美元计价）相符。
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在研究物理学时，我总是习惯于至少用两种方法进行计算，看它们的计算结果是否相同。我决定在这里也尝试一下。如果我的规则是正确的，并且我也非常仔细、正确地使用它们，那么我最终得到的计算结果应该等于我选择一个非理想货币所得到的GER看跌期权价值。为了确认这一点，我固执地决定选择日元而非美元作为我的计价货币，这是一种对记账单位的人为选择，用于对比将美元作为计价单位计算的GER看跌期权的估值。现在，我对分布进行调校，以使其等于按日元计价的日经指数和以日元计价的美元价值的市场价格。我计算得到了日经指数看跌权证以日元计价的合理估值，即使现实中它是按美元进行支付的。当我按当前汇率将权证最终的日元价值转换成美元时，结果是相同的。不管你习惯于用哪种货币来解决这个问题，所有事情都是一致的。
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在公式最后出现日经指数和日元价值的相关程度，这显得有点自相矛盾，但过了一段时间之后，我们能更好地理解为什么这种相关关系这么重要。丹麦王国日经指数看跌期权是以美元进行支付的，与美元兑日元汇率无关，它只与日经指数点位相关。但为了对冲看跌期权风险，你需要对冲它对于日经指数的风险暴露，这就要持有日经指数期货头寸，而期货头寸的价值就依赖于以日元计价的日经指数点位。持有这些日经指数期货，就相当于对日元汇率存在二次暴露，现在必须对这种汇率风险进行对冲。正是由于这种由首次对冲（对日经指数的对冲）而产生的二次对冲需要（对日元汇率的对冲），产生了对日经指数和日元价值相关程度的依赖。一旦我将在期权存续期内执行两次对冲交易的成本包括进来时，我就得到了GER看跌期权的正确价值。
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我非常满意于自己对皮奥特（Piotr’s）优美结果所进行的给普通人看的再次推导，向交易员和宽客们，甚至任何乐意听我讲的人，兴奋地解释我对这个问题的理解。在接下来的几个月里，皮奥特、杰夫和我写了一篇文章，名字叫《理解担保汇率期权》（Understanding Guaranteed Exchange-Rate Options），计划作为一个新的报告系列《量化策略研究报告》中的第一篇。这篇文章是用一种相对随意的风格写成的，意在向客户和销售人员解释这类产品。在很短暂的时间段里，我感到我们知道了其他很少有人理解的一些有意思的东西，我盼望着能将我们的报告发送给学术界的朋友和客户。能够重新发表东西，我感到很高兴。
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然而，事实上并不那么简单。当你从投资银行向客户发布研究报告时，你要十分谨慎，确保你所写的所有东西都不能被理解为一种推荐，否则会带来法律问题。有关对冲的阐述要做出免责声明，指出在实际市场面前理论模型的有效性是有限的。而且，你显然不想披露任何可能会影响到你自己的知识产权的内容。因此，在准备好我们的报告后，我们把它交给了交易部门新的负责人，让他把关放行。
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几天后，这位负责人要求我们不要将这篇报告发送到公司之外。尽管我对于不能将我们知道的东西与我们领域内的其他人进行沟通而感到气馁，但我能看得出，他的确是感到期权定价公式同商业机密一样，是竞争者和客户都不应该知道的内容。
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