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20世纪90年代，波动率微笑最初只是权益类期权的一个特性，后来逐渐传染到其他市场中，只是在每个市场上的表现略有不同罢了。弄清楚波动率微笑，成为困扰我和许多我的宽客同行的主要问题。这种异常正好处于期权交易和期权理论的交叉领域，我花了大量精力尝试对它建模。
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满腔热情、野心勃勃地开始工作，急着成为对很重要又很有趣的事情进行正确建模的第一人，这让我感到好像又回到了物理学领域。我着迷于建立一个被所有人接受的模型，能够取代布莱克-斯科尔斯公式，但事实并不像我想象的那么简单。在接下来的10年里，我了解到了“正确”在金融建模过程中是一个远比我想象中更模糊的概念。
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在金融建模职业生涯中，你不断学到的内容之一就是单位的重要性。你总是希望证券价格的报价方式能使其更易于比较它们的相对价值。
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比如说，当你要比较债券的价值，仅有它们的价格是不够的，因为每只债券都有不同的到期期限和利息，因此，你会报出它们的收益率。不管利息和到期期限是多少，债券收益率能够提供一个债券所能为你带来收益的估计。你可能不知道一只价格为98的折价债券是否好于一只价格为105的溢价债券，但你知道，在所有情况相同的条件下，5.3%的收益率要差于5.6%的收益率。这种从价格向收益的转换，本身就是一个模型，尽管它很简单，但是它是沟通价格的方便方式，也是朝着估值迈出的有益一步。
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同样地，在期权的世界里，仅有价格也不足以评估价值。判断价格为300日元的虚值看跌期权是否优于价格为40日元的深度虚值看跌期权，是不可能的。评估期权价值更好的测度标准是期权的隐含波动率。布莱克-斯科尔斯模型将股票期权视为一种对股票未来收益波动率的赌博。股票波动性越强，这种赌博就越可能带来收益，因此你就要支付更多的价格。你可以用布莱克-斯科尔斯模型将期权价格转化成为股票未来肯定会表现出来的波动率，以便于这只期权的价格具有可比性。这种测度工具就被称为期权的隐含波动率。也可以说，这就是股票未来波动率的期权视角。
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布莱克-斯科尔斯模型是市场标准。当那天我在东京挨着戴夫坐下来的时候，他的计算机屏幕上显示着以布莱克-斯科尔斯模型隐含波动率报出的价格。即便到今天也没有人认为布莱克-斯科尔斯模型就是估计期权价值最好的方法，很多技术非常高超的交易员有时还会使用更复杂的模型，但布莱克-斯科尔斯模型计算出来的隐含波动率仍然是报价的市场惯例。
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通常期权的流行性要低于股票，因此隐含波动率市场数据也是粗略的和近似的。尽管如此，戴夫向我指出我已隐约意识到的：隐含波动率存在一个严重的倾斜，以至于低执行价格三月期期权的隐含波动率要高于高执行价格三月期期权的隐含波动率。你能在图14-1中看到这种不对称的大概样子。尽管通常被称为“微笑”，但这种歪向一边的形状更像是一种“傻笑”。
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图14-1 1994年年末，以月经指数为标的的三月期期权的典型隐含波动率微笑
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图中虚线表示的是1987年股灾之前常见的缺少波动率微笑的情况。
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以隐含波动率作为价值测度标准，低执行价格看跌期权是最昂贵的日经指数期权。经历过1987年10月19日的人都能很容易地猜到是为什么。那天全球股市大幅跳水，自此以后投资者总是对于市场短期大幅下跌的可能性存有戒心，他们愿意为保护资产而支付价格。虚值看跌期权是最好、最便宜的保险。就像跑丢了马后关紧牲口棚大门的马夫一样，经历过1987年股灾的投资者愿意为了避免他们曾经历的风险而购买未来的保险。到1990年的时候，在所有权益类市场上都出现了类似的波动率微笑或波动率倾斜。与此形成对比的是，1987年以前，掉以轻心的、不经世事的期权市场都乐于对所有执行价格的期权按相同的隐含波动率定价，如图14-1中虚线所示。
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不仅仅是三月期期权的隐含波动率发生了倾斜，在所有期限的期权上都出现了同样的效应。因此，隐含波动率不仅仅随执行价格变化，还会随到期期限变化。于是我们将这种双因素决定的隐含波动率按照时间和执行价格两个维度，描绘成一个两维度隐含波动率曲面。以标普500指数为标的的期权的曲面图如图14-2所示。与收益率曲线一样，这个曲面每一天、每一分钟都在持续变化。
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图14-2 1995年中标普500指数的典型隐含波动率曲面
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这种帐篷似的曲面对于各地的理论学家而言都是一项挑战。布莱克-斯科尔斯模型不能对此做出解释。对于一个指数或一只股票，在未来所有的时间里，布莱克-斯科尔斯模型都赋予其单一的波动率，因此它总是产生如图14-3a所示的那种没有起伏的、平坦的、也没有什么特点的曲面。如果你想对布莱克-斯科尔斯模型进行修正以考虑到未来指数波动率会不同于今天的波动率，你所能做的最多就是得到一种随时间而倾斜的曲面，如图14-3b所示。但波动率曲面在时间和执行价格两个方向上呈垂直变化，这一点令人困惑。经典的布莱克-斯科尔斯模型出了什么问题？怎样的新模型可能会解释这种波动率曲面呢？
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我们知道布莱克-斯科尔斯模型过于简化了股票价格的行为。它假设股票价格从当前价格以一种缓慢的、随机的、持续不断的方式向未来扩散出去，很像是从点着的香烟顶端冒出的烟雾在屋子里扩散的样子。离香烟顶端越近的地方烟雾密度越大，离香烟顶端越远的地方烟雾密度越小，某一点上烟雾的浓度就代表了烟雾颗粒扩散到这个点上的可能性。在布莱克-斯科尔斯模型中也有类似的“烟雾”，描述了股票价格在未来某个时点上达到某个特定价值的可能性。图14-4显示了布莱克-斯科尔斯模型中描述股票未来价格可能性的“烟雾”。烟雾浓度越低，未来股票价格的不确定性就越高。股票波动率习惯上用希腊字母西格玛（σ）来表示，这个字母就决定了烟雾的扩散率和宽度。股票波动率越大，烟雾范围就越宽。
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尽管简化是建模的核心，布莱克-斯科尔斯模型对“烟雾”扩散给出的描述，限定性还是太强了。第一，股票价格并不一定按照固定的波动率扩散，有时某些股票扩散的速度要大于其他股票的扩散速度。第二，也是更严重的问题是，有时股价根本就不会扩散。如图14-4所示，扩散是一个缓慢而连续的过程。在这个过程中，股票价格从100美元变化到99美元要经过这两个价位之间所有可能的价格。然而，在1987年股灾时，情况并不是这样的。那天，道琼斯指数就像是踩在弹簧上的一个兴奋的孩子，直线下跌了500点。
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图14-3 隐含波动率曲面
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图14-4 布莱克-斯科尔斯模型中的简单扩散情形
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阴影部分描述了今日股价为100美元的股票未来可能的价格变化范围。过去的时间越长，股票未来价格的不确定性越强。阴影部分颜色越深，股价越有可能落在那个区域。
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从东京回到纽约，我开始与我们量化策略小组的同事伊拉杰·卡尼和埃里克斯·伯尔吉尔一道研究这个问题。我希望扩展布莱克-斯科尔斯模型，以使其能够刚好足够包含“微笑曲线”的情况。“刚好足够”永远就是目标。模型就是模型而已，你要抓住现象的本质，而非事情本身。实事求是地讲，在布莱克-斯科尔斯模型所假定的简化股票价格演化过程中加入复杂性是再简单不过的事情，但没有经过调试的复杂性是没有意义的。
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