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图14-1 1994年年末，以月经指数为标的的三月期期权的典型隐含波动率微笑
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图中虚线表示的是1987年股灾之前常见的缺少波动率微笑的情况。
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以隐含波动率作为价值测度标准，低执行价格看跌期权是最昂贵的日经指数期权。经历过1987年10月19日的人都能很容易地猜到是为什么。那天全球股市大幅跳水，自此以后投资者总是对于市场短期大幅下跌的可能性存有戒心，他们愿意为保护资产而支付价格。虚值看跌期权是最好、最便宜的保险。就像跑丢了马后关紧牲口棚大门的马夫一样，经历过1987年股灾的投资者愿意为了避免他们曾经历的风险而购买未来的保险。到1990年的时候，在所有权益类市场上都出现了类似的波动率微笑或波动率倾斜。与此形成对比的是，1987年以前，掉以轻心的、不经世事的期权市场都乐于对所有执行价格的期权按相同的隐含波动率定价，如图14-1中虚线所示。
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不仅仅是三月期期权的隐含波动率发生了倾斜，在所有期限的期权上都出现了同样的效应。因此，隐含波动率不仅仅随执行价格变化，还会随到期期限变化。于是我们将这种双因素决定的隐含波动率按照时间和执行价格两个维度，描绘成一个两维度隐含波动率曲面。以标普500指数为标的的期权的曲面图如图14-2所示。与收益率曲线一样，这个曲面每一天、每一分钟都在持续变化。
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图14-2 1995年中标普500指数的典型隐含波动率曲面
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这种帐篷似的曲面对于各地的理论学家而言都是一项挑战。布莱克-斯科尔斯模型不能对此做出解释。对于一个指数或一只股票，在未来所有的时间里，布莱克-斯科尔斯模型都赋予其单一的波动率，因此它总是产生如图14-3a所示的那种没有起伏的、平坦的、也没有什么特点的曲面。如果你想对布莱克-斯科尔斯模型进行修正以考虑到未来指数波动率会不同于今天的波动率，你所能做的最多就是得到一种随时间而倾斜的曲面，如图14-3b所示。但波动率曲面在时间和执行价格两个方向上呈垂直变化，这一点令人困惑。经典的布莱克-斯科尔斯模型出了什么问题？怎样的新模型可能会解释这种波动率曲面呢？
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我们知道布莱克-斯科尔斯模型过于简化了股票价格的行为。它假设股票价格从当前价格以一种缓慢的、随机的、持续不断的方式向未来扩散出去，很像是从点着的香烟顶端冒出的烟雾在屋子里扩散的样子。离香烟顶端越近的地方烟雾密度越大，离香烟顶端越远的地方烟雾密度越小，某一点上烟雾的浓度就代表了烟雾颗粒扩散到这个点上的可能性。在布莱克-斯科尔斯模型中也有类似的“烟雾”，描述了股票价格在未来某个时点上达到某个特定价值的可能性。图14-4显示了布莱克-斯科尔斯模型中描述股票未来价格可能性的“烟雾”。烟雾浓度越低，未来股票价格的不确定性就越高。股票波动率习惯上用希腊字母西格玛（σ）来表示，这个字母就决定了烟雾的扩散率和宽度。股票波动率越大，烟雾范围就越宽。
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尽管简化是建模的核心，布莱克-斯科尔斯模型对“烟雾”扩散给出的描述，限定性还是太强了。第一，股票价格并不一定按照固定的波动率扩散，有时某些股票扩散的速度要大于其他股票的扩散速度。第二，也是更严重的问题是，有时股价根本就不会扩散。如图14-4所示，扩散是一个缓慢而连续的过程。在这个过程中，股票价格从100美元变化到99美元要经过这两个价位之间所有可能的价格。然而，在1987年股灾时，情况并不是这样的。那天，道琼斯指数就像是踩在弹簧上的一个兴奋的孩子，直线下跌了500点。
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图14-3 隐含波动率曲面
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图14-4 布莱克-斯科尔斯模型中的简单扩散情形
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阴影部分描述了今日股价为100美元的股票未来可能的价格变化范围。过去的时间越长，股票未来价格的不确定性越强。阴影部分颜色越深，股价越有可能落在那个区域。
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从东京回到纽约，我开始与我们量化策略小组的同事伊拉杰·卡尼和埃里克斯·伯尔吉尔一道研究这个问题。我希望扩展布莱克-斯科尔斯模型，以使其能够刚好足够包含“微笑曲线”的情况。“刚好足够”永远就是目标。模型就是模型而已，你要抓住现象的本质，而非事情本身。实事求是地讲，在布莱克-斯科尔斯模型所假定的简化股票价格演化过程中加入复杂性是再简单不过的事情，但没有经过调试的复杂性是没有意义的。
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股票投资者最担心的事情就是类似1987年股灾式的下跌，因此，我们将这种可能性加入到布莱克-斯科尔斯模型中。这并不是什么新鲜东西，默顿已经于20世纪70年代中期在他的所谓“跳跃扩散模型”（jump-diffusion）中完成了这项工作。而作为我们工作的开始，我们比他所做的更加简单。对于按照固定速度扩散的股票价格，我们仅仅加入一个新特征，也就是一个很小的概率p，这个概率描述股价可能以J幅度大幅下降的可能性。用来描述这一过程中各种可能性的“烟雾”如图14-5所示。它显示了现在股票价格可能会变化的两种情形：一种是股价以J幅度大幅下降，然后以波动率σH扩散，由于股灾之后人们的愈后兴奋状态，这一波动率可能会很高；另外更可能的一种情况是，股价按照正常的、较低的波动率σL持续扩散。
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图14-5 可能发生一次跳跃而后扩散的股票价格在未来可能的价格变化区间
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阴影部分颜色越深，价格越有可能落在那个区域。
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通常来说，我们假设概率p是以一个百分点为顺序排列的，暗含的意思是在期权存续期内，假定市场发生股灾的可能性约为1%。根据股灾后续效应的直觉和经验，我们选择σH比σL高约40%。现在，我们模型中只有两个未知的变量，股灾情形下的下跌幅度J和与股价正常行为情形下的波动率σL。新模型中变量数只比布莱克-斯科尔斯模型多出一个变量，布莱克-斯科尔斯模型中只假定单一的波动率。我们对这些变量取值进行调试，以使模型的期权价格与决定三月期波动率微笑的两个隐含波动率——实值期权隐含波动率与虚值程度为5%的看跌期权隐含波动率相匹配。在正常波动率σL接近10%，当前股价下跌幅度接近25%的情况下，我们发现我们可以得到如图14-1所示的那些波动率微笑曲线。
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我们的模型是按这样的思路来解释世界的：在期权存续期内，日经指数大概有1%的可能性会下跌25%。这就是你为什么要为虚值看跌期权支付更多期权费的原因。然后，我们利用这个模型来估计期权的delta值，也就是对冲指数风险所必需的套保比率。我们也利用它来对越来越流行的、价格对股价大幅下跌幅度与可能性更加敏感的（如障碍期权等）、更缺少流动性或更加奇异的期权进行定价。我们希望我们的交易员能在市场上寻找那些市场价格与我们模型计算出来的价格严重偏离的期权。这样，他们就可以通过买入那些价格明显被低估的期权而卖出那些价格被高估的期权，以期这些价格出现偏离的期权最终能够恢复到我们模型计算出的价格，从而获得利润。
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