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尽管这个跳跃模型抓住了波动率微笑的一个核心问题，但它毕竟过于粗糙了。它对未来的预测就是，日经指数每天一早开盘后，要么是出现瞬间兴奋的大幅下跌，要么是出现心平气和的扩散，这种预测过于简单了。回头看来，我们或许应该加入一个分布形式，描述可能的下跌幅度和下跌时间。但跳跃很少发生，且由于缺少这种分布的数据，我不得不做出一些未经验证的假定，这样就感觉不够严谨了。无论对错，我们最终是想得到一个约束性更强的模型，模型中的变量经过对所观察到的期权价格调试后最终确定下来。当然，10年后，关于波动率微笑的、更加细化的跳跃扩散模型又变得流行起来了。
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我们最初关于波动率微笑的模型，在高盛风险套利小组里还真的找到了用户，在那里精明能干的交易员将交易知识和量化方法结合起来，从事高层次的交易。有些套利交易员关注于并购，那些收购方常常会以超过股票当前价格的水平，面向公众提出目标公司股票的要约。如果监管者同意了并购，那么目标公司的股价就会跳跃到要约收购价格。在此之前，目标公司的股价就会反映完成这笔交易可能的预期。在这些情况下，我们的跳跃模型就在理论上给出了准确的答案，这些风险套利者偶尔就会利用我们的模型，来看一看他们对于这笔并购交易获得批准的可能性预期，是否跟目标公司当前股价隐含的跳跃可能性相匹配。
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同时，从1991年中期到1993年年初，伊拉杰和我还有量化策略小组的其他同事，暂时转向了一个更加紧迫的任务，就是要提升我们的风险系统来处理我们所交易的数量不断增多的奇异期权。
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不幸的是，我们对奇异期权研究得越多，我们就会遇到越多波动率微笑的问题：无论何时我们利用布莱克-斯科尔斯模型来对交易部门投资组合中的奇异期权进行估值时，我们所使用的是一个对非常简单的标准期权都会得到错误结果的模型，是一个与波动率微笑并不一致的模型。这种现象不好，如果它连简单情况都会搞错的话，那你就不用指望用它来处理复杂的情况了。如果美国宇航局（NASA）的一个计算机程序连地球和火星围绕太阳旋转的轨迹都不能准确预测的话，那么你就不能相信这个程序可以预报出从地球向火星发射一个行星探测器的飞行轨道。
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正确的起点是能够找到这样一个模型，它能匹配所有标准期权的市场价格，跟全部隐含波动率曲面保持一致。只有这样，当它正确调校后，你用来计算奇异期权的价值才是明智的。我们怎样才能找到一个匹配所有曲面的模型呢？
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在这里我回顾下我们布莱克-德曼-托伊模型的开发过程。20世纪80年代中期，固定收益期权领域内经历了类似的危机：实践者使用类似拉维的收益率扩散模型来对以任何一只债券为标的的期权进行估值，但感觉并不好用，因为这一模型并不能与收益率曲线上所有国债价格相匹配。布莱克-德曼-托伊模型是这一困境可能的解决方案之一。
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我们有一个巨大的优势，就是在进入权益类衍生品领域之前，我们已经有了固定收益领域的工作背景。伊拉杰和我感到在债券及其收益率与期权及其波动率之间有以下类似之处：
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·债券价格是以当前长期收益率来报价的，长期收益率反映了市场对未来短期利率的预期。
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·期权价格是以当前长期隐含波动率来报价的，长期隐含波动率反映了市场对未来短期波动率的预期。
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我们的想法是开发一个后布莱克-斯科尔斯模型，这个模型能够允许我们从当前波动率曲面倒推出未来短期波动率的市场预期。我们不确定怎样实现这一目标，但我们知道世界需要一个更好的模型，而模型的发现者也会得到回报。在整个1993年，我们感觉似乎在与一个不知名的竞争者比赛，看谁能最先发现这样的模型。
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伊拉杰和我都是二项式期权模型的极大推崇者，这个模型简单、别致但却相当准确，可以根据一个未来股票价格的网格树来进行期权理论的计算。在一个二叉树中，股票价格就像国际象棋棋盘上的马一样移动，时间上向前一次一步不连续地移动，价格上向上或向下移动一格。二叉树本身又非常容易画出，而且是以一种起起伏伏的方式，模拟股票或指数的价格行为。随着棋盘上的网格逐渐变得越来越细小，价格的变化也就越来越连续了。事实上它们开始扩散了，此时二项式模型就越来越接近于布莱克-斯科尔斯模型了。二叉树就是期权理论中的费曼图，画起来简单，使用起来容易，非常适用于模拟简单交易策略或开发估值模型。即使是我们常打交道的那种不懂数学的交易员也能够理解。二叉树是在布莱克和斯科尔斯写成他们的论文后不久，最先由威廉·夏普（William Sharpe）发明的，然后又被约翰·考克斯、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubinstein）和斯蒂夫·罗斯详细阐述。随着期权理论学家逐渐变得专业化、学历越来越高，二项式模型成了一个技术含量较低的工具，但我们仍发现这个模型具有巨大的实用价值。
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因此，我们尝试使用如图14-6所示的指数期权价格二叉树作为市场对未来短期波动率观点的抽象。树中左边界表示当前指数点位，从那里开始向上或向下每一步的移动都代表了未来某种可能的指数变化。传统的二叉树做出的关键性假设是，树中所有的变化都是等百分比的。也就是说，在任何未来时间点、在任何未来指数点位，无论指数向上变化还是向下变化，都是以相同百分比扩大或收缩。用技术术语来说，指数收益率具有相同的波动率，这个波动率在整个二叉树中都保持一致，在未来每个时间和点位上全都一样。在布莱克-斯科尔斯模型中，这种固定的指数波动率就导致了由此产生的平坦隐含波动率曲面，这与现实期权市场并不相符。
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图 14-6
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伊拉杰和我开发了另外一个关于未来指数树形图的替代形式。我们在一张可弯曲的橡胶板上重新画了常见的固定波动率二叉树，然后对它拉伸并扭曲，以使其变成类似图14-7所示的树形图。在这个变形后的树形图中，指数在树状图中每个点上发生变化的程度可能会不同，代表了变化的波动率，波动率取值可能在每一个点上都不同。用理论学家的话说，指数将具有一个变化的局部波动率（local volatility）。我们通过“局部波动率”来表示指数在未来特定指数点位和时间上的短期波动率。图14-6中的恒定不变的或完全相同的波动率，与如图14-2所示的市场中帐篷似的隐含波动率曲面并不一致。我们猜测，肯定存在一种“隐含二叉树”（implied binomial tree），它的局部波动率可以被选择来匹配市场上的隐含波动率曲面。我们期望它能够看上去类似于图14-7中的树形图，在这个树形图中指数局部波动率随指数下跌而上升，反之则反是，以反映波动率曲面随执行价格变化而变化的情况。
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图 14-7
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图14-7a是未来指数变化的隐含二叉树，未来每一次变化均有一个局部波动率，局部波动率在指数水平下降时上升。那么，是否能从图14-7b中隐含波动率曲面推导出隐含二叉树的形状呢？
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可以很容易地想象这样一种树形图。给局部波动率如何在树状图中变化制定一套文字上的规则，然后将树状图构建出来，就更加容易了。有了这样一种树形图后，你就可以利用它计算任何很多不同期权的价格，然后将它们的隐含波动率曲面描绘出来。我们可以看到，可以选择一种局部波动率，使其变化能够产生出一个看似真实的波动率曲面。但我们面对的最后问题是我们正在做的工作的逆过程。我们需要从市场提供的隐含波动率曲面出发，据此推导出能够反映它的唯一局部波动率。隐含波动率曲面是最初目标，如果你能从中得到唯一的隐含二叉树，那么我们设想的整个过程就将形成一个真实的理论。
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1993年整整一年，量化策略小组花了绝大部分时间继续设计更加完善的风险管理系统，与此同时，我们反复思考波动率微笑问题。在空余时间，我们对隐含二叉树进行修补，但我们仍不确定图14-7中的波动率曲面与我们希望其隐含的波动率曲面间是否存在一一对应关系。我们知道我们能从树形图开始到达波动率曲面，但从波动率曲面到二叉树又是怎样一条无可置疑的路径呢？我们就这个问题与戴夫·罗杰斯和他的交易员们讨论，他们出于我们橡胶板的类比，总是将其称之为灵活树（flexible tree）。我们构建了这种树形图的各种版本，用来对多种期权进行定价和对冲，但我们总是忙着给交易部门提供软件支持，在唯一性问题上倾注全部精力。
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曲面与树形图间的关系让我想起了30年前，我在哥伦比亚大学研究生期间听到的马克·卡茨的一次讲座，他讲的问题是如何听出一只鼓的形状。物理学家将其称之为逆散射（inverse-scattering）问题，因为虽然大多数物理模型都是从物理定律出发推导出结果，但逆散射问题却是相反的。以牛顿的万有引力理论为例，它从太阳与其行星之间的万有引力定律出发，推导出行星运动的轨迹。逆散射问题正好相反——在给定观测结果的条件下，他们会问，什么样的定律会产生这样的现象？想象一下，比如说，天文学家观测到一些地球运行轨迹中的奇怪扰动，那么对万有引力定律做出怎样的变动才能对此做出解释呢？
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我们对于从波动率曲面中提炼唯一隐含树形图的方法的寻找，就是一个逆散射问题。这种方法在金融建模中比在物理学中更常见。在物理学中，一个理论定律的美与优雅，以及得到这些定律的直觉，通常非常具有说服力，而且为解释现象提供了一个自然的起点。在金融学领域里，社会的因素比自然科学更多，因此很少有极具说服力的理论，于是我们别无选择只能采用现象学的研究方法。金融领域中，通常都是从市场数据出发，并对模型的规则进行调校以适应市场数据。这种调校的过程就是一种逆散射的研究方法，而且这也是我们在试图构建隐含树形图过程中尝试要做的事情。
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1993年年末的某个时候，我去伦敦拜访高盛在那里的交易部门。在那里，我还给《风险》杂志就奇异期权做了一次演讲。在会议间歇，我遇到了格雷厄姆·库珀，他是《风险》杂志的新编辑，还遇到了约翰·赫尔。在我们交谈过程中，我告诉他们伊拉杰和我已经做的工作。格雷厄姆和约翰告诉我，他们听说伦敦的Paribas Capital Markets公司的布鲁诺·杜佩尔、伯克利大学金融学教授马克·鲁宾斯坦（最初的恒定波动率二叉树模型的合作开发者）也在解决同样的问题。由于担心会把我们的研究信息泄露给竞争对手，我给在纽约的戴夫·罗杰斯打电话，很快征得他的同意，可以在公开场合提及伊拉杰和我已经做的工作。我匆忙返回我的酒店房间，快速在演讲的文稿中加入了几张幻灯片，以描述我们在隐含树形图方法领域的进展。在我的演讲之后，格雷厄姆邀请我向《风险》杂志提交一篇关于我们工作的文章。当约翰听我有时将我们的树形图称之为“灵活”树，有时又称之为“隐含”树，他就暗示我要用“隐含”树形图的说法。
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由于我们有很多竞争者，伊拉杰和我紧张不安地重新投入到证明我们树形图的唯一性问题上。我们每天绝大多数时间通常用来改进交易部门的模型，满足对新结构化产品的定价需要，并开发交易软件。只要我们在支持交易部门之余有了空闲时间，我们就重新尝试制订方案，要从隐含二叉树每个未来的节点上推导出唯一的局部波动率。
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