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图14-9 到期期限和执行价格位于圆弧上的期权的隐含波动率照亮位于树形图右侧区域内的局部波动率
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图14-10 到期期限和执行价格位于提灯位置上的期权的隐含波动率照亮位于树形图左侧区域内的局部波动率
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执行价格位于手电筒位置的期权照亮了树形图的一部分，而执行价格位于提灯位置的期权照亮了另一部分。但没有一只期权，无论是执行价格位于提灯位置还是执行价格位于手电筒位置，都只能照亮树形图中一个三角形，这个单一节点上的波动率就是我们希望找到的模糊目标。
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我们继续努力。我们希望得到一组期权能够照亮每个内部节点上的波动率。但我们尝试的每种方案都失败了——似乎对于单一节点上的局部波动率而言，看上去似乎没有办法了。
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后来有一天，当我们在电子表格上摆弄一个五列的树形图模拟版本时，我们发现奇迹发生了。事情如此奇怪，我们在几分钟时间内还以为是由于电子表格编程出了错误。我们几乎完全是偶然地注意到，如果我们用三个执行价格完全不同的期权来照亮树形图内部的时候，其中两个期权的执行价格相近，位于前面，另外一个期权的执行价格滞后一个时间点。这样说吧，如果我们从三个不同角度向树形图内部发射X射线的话，那么只有它们相交叉的那一节点之外，所有其他地方全都照不亮，如图14-11所示。这一发现令人惊奇：我们已经找到了确定某个节点上局部波动率的运算方法，那就是根据该节点周围三个节点上不同执行价格的期权的市场隐含波动率来计算。
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图14-11 三个期权如何才能照亮一个节点
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现在我们知道了如何一步一步找到每个局部波动率了。我们可以选择隐含树形图中任一节点，从市场隐含波动率曲面上找到环绕这个节点的三个期权的隐含波动率值，然后通过我们的算法就能得到这个节点的局部波动率。利用这个方法，一次一个节点，我们可以找到所有局部波动率。通过这些局部波动率以及它们所处的隐含二叉树树形图，我们就能用与波动率微笑相一致的方法，对任何指数期权进行估值和对冲。我们兴高采烈，相信自己已经在期权定价领域取得了又一个重大突破，这个突破拓展了布莱克-斯科尔斯模型，使其与实际保持一致。
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我们并不是唯一兴奋的人。在过去的一年里，马克·鲁宾斯坦和布鲁诺·杜佩尔也开发出了类似的布莱克-斯科尔斯模型扩展形式。几个星期之后，马克在1994年1月的美国金融协会的会议上，发表了主题为“隐含二叉树”的演讲。在接下来几年中，通过与他的谈话，我了解到他也意识到他已经取得了一项重大突破。
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几乎是在相同的时间，约翰·赫尔给我寄了一份几周前，布鲁诺在国际金融工程师协会（IAFE）组织的一次纽约会议上所做的演讲稿复印件，布鲁诺的演讲内容是关于另外一个版本隐含树形图的。在这份演讲稿中，布鲁诺也声称发现了一种独特的方法，能够从隐含波动率中求出局部波动率来。
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我们中的每个团队或个人——伊拉杰和我、马克、布鲁诺，分别采取了风格完全不同的方式解决了这个逆散射问题。伊拉杰和我已经习惯于与投资银行领域内的用户打交道，他们都是些数学能力不强的交易员、销售人员和客户，因此，我们尽可能将我们的论文写得简单和清晰。我们希望任何人读完这篇文章之后，都能知道到底应该怎样构建自己的隐含树形图。我们一步一步地解释清楚，到底怎样构建树形图以及怎样对树形图进行调校以使其适用于特定波动率曲面，而且，我们用一个已经全部计算出数字结果的、包括五阶段的树形图作为例证，这样任何人都能进行检验。
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马克的主题演讲过于注重论证，学术性较强，而且还阐述了这个问题的历史演变。他对这个逆散射问题的最初解法是，重点考虑将某一到期时间的所有市场隐含波动率进行匹配，因此忽略了暗含在隐含波动率曲面上的其他附加信息。
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布鲁诺在国际金融工程师协会会议上的演讲则最折磨人。由于是个法国人，他偏好使用规范的数学方法。他那非常简短的报告提出了一个优雅的公式，公式根据相同执行价格和到期时间的隐含波动率曲面上的斜率和曲率来求得局部波动率。他的论文并不容易理解，而且我了解到的人里面也没人可以肯定他的结论就是正确的。有时，我想他是故意弄得晦涩难懂，没有给出明确的公式推导过程，而直接给出标新立异的结论。
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我们研究了布鲁诺的报告，很快意识到他那简明的公式完全等同于伊拉杰和我在离散树形图上所开发出来的结果。只不过在他使用微积分的地方，我们使用的是代数。尽管重要性或伟大程度上不能相提并论，但我们的角色就像是费曼之于施温格或布莱克和斯科尔斯之于默顿。在我们论文后面的附录中，我们重新推导了布鲁诺的结论，并增加了一个更加容易让人明白的证据，以及对他工作的引用。
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1993年12月末，布鲁诺、伊拉杰和我分别向《风险》杂志的格雷厄姆·库珀提交了各自的论文。布鲁诺的论文刊载在《风险》1994年1月刊上，并被加上了一个编者按，说伊拉杰和我的文章将刊载在随后的2月刊上。1月刊上还有一篇格雷厄姆·库珀写的一页纸长度的新闻报道，评论马克、布鲁诺、伊拉杰和我所做的工作，将其称之为新的“超级模型”，还非常准确地描述了我们各自方法的优缺点。我们都被恰到好处地吹捧了一下。
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在之后的几年里，我们巡回参加各种学术讲座和会议。我在数十家大学的金融系和商学院里、维也纳期权交易所、数不清的业内会议上发表演讲。在日本、法国、瑞士、西班牙和意大利这些国家，交易员更加经验丰富，更喜欢了解量化理论，他们的销售人员带着我去见一拨又一拨的客户。我们在苏黎世和伦敦、毕尔巴鄂和巴黎、米兰和慕尼黑，给大型团体做一整天的学术讲座。这真是令人兴奋！
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伊拉杰和我与在1994年加入我们小组的另外两名前物理学家迈克·卡莫、邹乔一起，继续完善这一模型，并利用它对奇异期权进行估值。我们还与量化策略小组中的两名软件工程师丹尼斯·厄金纳和艾伦·巴科沃特一起，将模型嵌入到交易部门的交易软件中。最重要的是，我们努力将模型的数学特征概括成交易员能够接受的、发自内心的理解。由于他们所有的直觉都是基于布莱克-斯科尔斯模型，于是我们就开发出一系列简单的、近似的修正方法，交易员们可以利用这些来自于实践的规则来对布莱克-斯科尔斯模型稍加改动，就能应用到隐含树形图上了。
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事实证明，向我们的交易员解释模型远比向我们的客户解释模型困难。交易员非常繁忙，他们的生活主要是盯住屏幕，服务销售人员，将他们的交易指令输入计算机系统。每天他们都要做上几百笔或几千笔的新交易，通常要工作到深夜，以保证所有的细节在他们部门的前台风险管理系统和在公司层面保存会计账户和交易记录的后台主机之间完全准确、相互一致。相对于提高定价水平，他们对将自己生活中的记账记录部门进行自动化更感兴趣。
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交易员在模型使用方面是有决定权的，他们可以使用他们想要使用的任何模型，不需要原因或验证。如果你希望他们采用不同的比例对冲，证明的责任就在于你。他们并不愚蠢，只是有点门外汉的感觉，不喜欢使用他们自己不理解的新模型。可不幸的是，他们又不愿意在理解模型方面花时间。当交易员还没有使用模型时，很容易让他们使用最先得到的模型。一旦他们有了所依赖的模型，让他们再接受改进的模型就难了。
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即使布莱克-斯科尔斯模型会产生一个平坦的波动率曲面，但是他们仍然坚持使用单一波动率框架的布莱克-斯科尔斯模型来对奇异期权进行估值。为了弥补这一缺陷，他们将他们所剩的所有精力和直觉都用来选择一个“正确的”单一波动率，并将其应用到错误的模型中去。一位资深的交易员坚称，即使隐含树形图模型是正确的，布莱克-斯科尔斯模型是错误的，他也总是能够想办法找到合适的单一波动率，将这个波动率放入错误的模型中，从而得到一个期权的正确估值。因此，有一天我发现有一些特定的奇异期权，利用隐含树形图模型所得到的正确估值，完全超出了我们能从布莱克-斯科尔斯模型中所得到的取值范围，也是就是说，无论我们在布莱克-斯科尔斯模型输入怎样的单一波动率，都不能得到这样的估值结果。之所以产生这样的结果就是因为，对于这些期权而言，根本就不存在这样的单一波动率，能够从错误的模型中得到正确的结果。带着极大的喜悦和一点点复仇感，我向交易员们展示了这些例子。但这只是一个小小的胜利，因为它不能改变任何一个人的行为。
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到了2000年，当我致力于在高盛批准使用所有模型时，潮流开始发生转向。在高盛和它的竞争者那里，越来越多的交易部门都要为它们所使用的模型提供一些验证，以确保模型适合它们所在的市场。无论如何，在交易员和风险管理人员的角力中，交易员总是力量更大的一方。
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1994年年末的一天，交易员和宽客之间的紧张关系让我做了一件特别愚蠢的事情。那天，我一整天都在应付不耐烦的、我提供不了的系统支持方面的需求。那天晚上，我乘坐一辆机场巴士去肯尼迪机场赶乘一班去往维也纳的飞机，根据日程安排，我要在奥地利期权交易所组织的一次会议上发表主题为隐含树形图的演讲。登上飞机，坐在商务舱靠近过道的位子上，我总算是放松下来了。我被工作中持续的努力奋斗弄得筋疲力尽，发誓以后再也不任人摆布了。
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起飞前，正当我放松的时候，有一家三口在最后一分钟登上飞机，开始寻找他们的座位，但他们的座位并不相邻。那位年纪在五十几岁的绅士父亲坐在我右边靠窗的座位，他的儿子坐在与我相邻的、过道那边的座位上，他的妻子则坐在机舱很前面的地方。当我简单翻阅奥地利期权交易所会议议程的时候，这位父亲问飞机空乘人员是否有他们一家三口能够坐下的相邻的三个座位。最后，经过大约10分钟不成功的协商，他转向我，问我是否愿意与他的儿子交换一下过道的座位。我正恼怒于整天被人使唤来使唤去，我还记得我的“不再当老好人”的承诺，我就要坐在我选择的过道座位上，并不打算将它换给谁。于是我转过头，带着不适当的、顽固的表情回答说：“对不起，我要坐在我现在的位子上。”