1705577070
这个课程非常依赖于莫里自己写的书。从某种意义来看，这书写得并不好，里面的材料没经过充分的组织。可是另一方面，它的内容却着实精彩，就算有不足之处，这书仍然是本科目中的最佳之作。但这科并不受学生欢迎，大家都说里面的东西非常难，啃不动，莫里又要求学生在班上做报告，那对讲者和听众都不好受。我在班上坚持下去，心里知道，有朝一日这将是十分有用的。我十分用功，做了大量的计算，在这过程中获益良多。
1705577071
1705577072
我脑海中隐隐浮现一个念头，就是以偏微分方程为经纬，把几何和拓扑联系起来。几何和拓扑通常被看成两个不同的科目，但我总觉得这种区分只是表象。几何能给出的，是局部的特写，就如用放大镜检视地球的表面；而拓扑却能提供宏观的图像，就如从外层空间看地球一般。可是说到底，两者观察的都是同一个行星，不同的观点互为补益而非相冲。
1705577073
1705577074
因此之故，不明白为何人们总要在几何和拓扑之间划线，把两个领域分隔开来，有些人确实对此敏感得很。老实说，谁胜谁负根本不要紧，两者应该携手共进。我视所有不同的数学领域为同一织物的各部分，不会为外人附加于科目的界限所拘束，对各部分都感兴趣。正如我的美国朋友时不时这样说，“所有种种，一应俱全”（the whole enchilada）。对各部件的理解愈多，便知它们是糅合在一起的。然而，也要承认，出于某些不可知的原因，有些部件比其他对我更有吸引力。
1705577075
1705577076
有必要指出的是，我并不是第一个沿着这思路走的人，高斯—博内定理在整个19世纪中发展，经过众人包括卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）、皮埃尔·博内（Pierre Bonnet）、瓦尔特·冯·戴克（Walther von Dyck）等人的努力，成功地把几何（或曲率）和曲面的拓扑联系起来。20世纪之初，亨利·庞加莱（Henri Poincaré）深化了几何和拓扑的联系，数十年后的海因茨·霍普夫（Heinz Hopf）和陈省身（后成了我在伯克利的导师）令这种联系更为稳固。我只不过在他们工作的基础上，在微分方程尤其是非线性的引进这方面，做了进一步努力。这方面的探究，属于后来“几何分析”的一部分，几何分析一词乃是美国数学学会和自然科学基金会为研究计划分类时引进的。
1705577077
1705577078
几何分析的新意，在于把非线性偏微分方程用于微分几何。在微分几何中，利用微积分作为工具进行研究，已有好几百年了，至少可以追溯到莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中晚期的工作。开始时，利用的是线性的微分方程，后来逐渐发展到利用非线性微分方程，这是不言而喻的，因为这些方程描述了事物细微、无限小的变动。在几何中，我们利用这些方程来量度曲率，并考究曲率在空间各点的变化。当空间的曲率“局部”地（即每一小片）确定后，我们便能对空间的“整体”有所认识。一边是曲率，即局部的几何或空间精准的形状；另一边是拓扑，即同一空间的概括形状——两者之间的联系使我着迷，构成我过去四十多年工作的重心。
1705577079
1705577080
从本质上看，几何和拓扑两者的研究对象都是形状，而曲率是描述形状的凭借。一个充满了气的足球是球状物，但在拓扑上，它等同于未充满气、瘪下来的足球。完美的球状物只需通过空气的增加或减少，而不必撕裂或切割，就可以变成凹形的球。充满气的球形，其曲率为正的常数，即是说它的曲率点点都是相同的，但瘪下来的球的曲率则会随着球面上的点而变化。
1705577081
1705577082
曲率是确定概括的形状（拓扑）和精确的形状（几何）之关键，这种联系在高维的情况下也是成立的，只不过曲率变了，有好几种情况比不同气压的球复杂和困难得多了。这就说明了为何曲率是如此强而有力的工具，多年来一直吸引着我。
1705577083
1705577084
我们可以定义二维的球面，即为在三维空间中和某中心点等距离的所有点所构成的集合。但我们也可以纯粹利用曲率来描述它，这种做法比第一种的做法更有力，用途更广泛：它可以用来描述在高维空间中复杂的、卷曲的物体（或流形），这些物体不可能用简单的公式来表达。
1705577085
1705577086
曲率也在物理中占有重要的地位，物理学建基于用微分方程式描述的定律。比如，质点的速度是它位置的变化率，加速度是速度的变化率。我们可以通过质点轨道的曲率，决定它所受的力，从而知道它的加速度。在高能加速器实验中，研究人员反过来通过分析路径的曲率来决定粒子的质量，从而断定那是什么粒子，而这不过是曲率在物理中的诸多应用之一。（同理，也可以想象人生的轨迹，从各个关键的转折点的“曲率”着眼，便可知整个人生的梗概。本人现在所做的陈述，便是如此。）
1705577087
1705577088
概括而言，爱因斯坦关于广义相对论的方程式（我迟点才会学习）正是对宇宙曲率的描述。它由一组非线性的微分方程所组成，只要其中一个变量有细微的改变，都会导致不成比例的重大后果。很多现象能够用线性的方程来模拟，达到不错的效果。所谓“线性”，是指变化是符合比例的，且同一方程的两个解加起来仍是解。可是，我们身处的世界本质上是非线性的，这是永远不可能忽略的事实。
1705577089
1705577090
比如，当气候突然变化，股市急剧波动，这时非线性方程就要登场了。非线性方程在广义相对论的领域中十分普遍，这里空间总是弯曲的，而有关的现象也是非线性的，没法子通融。不久之后，我便掌握了一种方法，作为研究几何的策略，有如在广义相对论中，我们利用描述局部的爱因斯坦方程式来了解宇宙的整体结构。
1705577091
1705577092
虽然面对的乃是几何学中出名难搞的非线性方程，但我有幸走进了莫里的课堂。他可称为当今世上“非线性分析”的顶尖人物，非线性分析是微分学更进一步的学问。他的专长是非线性偏微分方程，我如饥似渴地吸收莫里所愿意传授的知识。幸好，他非常慷慨。
1705577093
1705577094
想到把几何、拓扑和非线性分析共冶一炉，能有大用之际，我的兴致就更浓厚了。这时候，研究偏微分方程的人如莫里，和研究几何的人（包括身处同系的陈省身），双方几乎没有什么交流。很多几何学者都把偏微分方程留给分析学者，或如某权威所言的工程学者。诚然，莫里是一流的分析学家，但他对几何的兴趣不大，他只把几何看成偏微分方程的泉眼，源源不绝地向他输送饶有趣味的偏微分方程。而我却把过程倒过来，利用这些方程来解决几何上的难题，尤其是那些已尽试其他方法仍无寸功的项目。
1705577095
1705577096
我认为把这些分开的线绾结在一起，会对几何和分析，还有拓扑，都有莫大的好处。我的想法很初步，开始时不知如何入手，也不知要往何处去。但我的信念逐渐坚定下来，至今犹未改变。
1705577097
1705577098
回到1969年秋。当时，反越战示威在美国正闹得沸沸扬扬。伯克利是示威学生的重镇，很多学生和教员都在罢课罢工。当班上的学生太少时，斯帕尼尔便宣布不上课了。而莫里的微分方程课，学生不只是逃了几堂课而已。他们一个一个地退选，最后只剩下我一个人。当时初来乍到，并未牵扯进运动之中。然而，莫里坚持授课，他如常披上外套，系好领带，对着我一人讲课，犹如对着全班一样。事实上，他比平时还多了准备。他没有跟随原定的课程大纲，而是根据我的兴趣和水平，特意设定了内容。在拥有三万学生的大学里，很难想象有这样一对一的讲授。这确实是真正难得的机会，我觉得自己很幸运，能够得到大师的亲身传授。
1705577099
1705577100
伯克利的示威不断，规模盛大，时酿冲突，弥漫在空气中的催泪气体的气味已成为大学的背景了。坐在课堂内，看见外面一大群学生手中拿着石头，正和手执盾牌和枪械的军警对峙，这情景已习以为常。“全世界都在看！”反战示威者不时这样高呼。我亲眼看见这些画面，不是从电视的屏幕，而是从课堂或图书馆。老实说，在草地那边厢种种混乱的干扰下，实在难以收敛心神在数学上。我反对战争，但不会马上投身于这类斗争之中。那时我对美国文化并不了解，也没有机会去思考这场运动中的种种议题。
1705577101
1705577102
这年，萨拉夫回到了伯克利，在这之前，他在日本停留了一段日子。他试图让我接触美国的事物，带我到旧金山市区和郊外观光。他也邀请我到他家参加聚会，会上大麻烟随意地传，人们大方地分享，不断问我要不要吸一口，但我都谢绝了，至今未曾试过一次，纵使这在伯克利是再普遍不过的事。从萨拉夫和他朋友的言谈行为之中，我也约略了解到嬉皮士的行径。这种放纵的生活方式，和我在香港乡村长大的规行矩步毫无共通之处。在那里，人们胼手胝足，不辞劳苦地谋生，娱乐性药物并无立足之地。
1705577103
1705577104
我不随意评价别人，也和所谓嬉皮士为友，但从不做那些打扮，也绝不尝试毒品。那时我滴酒不沾，作为较年长和人生经验较丰富的友人，萨拉夫认为是时候让我喝点酒了。第一次喝酒的机会来自数学系的野餐，就在伯克利山高处的蒂尔德公园举行，莫里特别叫我参加。会上有啤酒，我拿了一大杯，仰首一饮而尽。不到十分钟，我就头昏脑涨，只好跟莫里说我要回去了。他送我回去，到家是下午三点，立时上床大睡，直至次日的中午才醒来，至此始知自己对酒精敏感。从那时开始，我对喝酒十分小心，只在有需要时喝一点点。
1705577105
1705577106
母亲在困难时期（差不多覆盖我整个童年）会到教会拿救济品，在那里我认识了一些教会中的美国人，其中有些就住在伯克利，他们邀请我去家里过感恩节。我对感恩节一无所知，但看见大学校园到了11月底就变得空空如也，可以推测它是个大节。大批宾客出席了他们的节日晚宴，其中有些明显是亲戚，有些如我一般就是误打误撞便来了。
1705577107
1705577108
赴会前，他们说得带不超过一美元的物品作礼物交换之用。我从装饰店买了一件水晶的摆设，和其他礼物一起放在桌上。可是没有人选我的水晶，使我有点儿难堪，但它对我也没用。那晚过后，还是对感恩节不大了解，只是饱餐了一顿，或许我只需要知道这个便够了。
1705577109
1705577110
圣诞节很快便来了，我从来没有庆祝过圣诞，这一次也是如此。但我发觉美国人对这节日特别重视，校园再次空无一人。整整两星期我孤身一人，幸好数学系图书馆除圣诞日外仍然开放，对我来说可谓圣诞奇迹，心中感动得很。
1705577111
1705577112
一年级的研究生没有办公室，图书馆实际成了我的办公室，我常在那里流连，没有课的时候就往那儿跑。当时数学学报的种类比现在少许多（当今估计有两千种之多），我习惯翻开图书馆收到的每一份数学学报，试读其中的文章。虽然不能完全了解内容，好歹也会知道谁写了什么，这让我能够掌握每个数学领域的轮廓，并在脑海中形成广阔的画面，看到哪些科目可以互相配合。
1705577113
1705577114
圣诞假期间，图书馆实际上几乎被我一人独占，只有一次难忘的例外。一位漂亮的年轻女士进来借书，她和我年纪差不多，看来百分百是中国人。我顿时被她吸引住了。我故作目不斜视，但馆内人数寥寥，很难办到。虽然怀着强烈的兴趣，但我保持沉默，没有冒昧上前自我介绍，这不合礼数，交谈要留待正式的介绍之后。
1705577115
1705577116
圣诞假后学期重开，才知道她是物理系的研究生，就住在附近的国际楼，仅此而已。数学系的主要演讲都在邻近物理大楼的勒孔特堂举行，偶然看见她也来参加，但我们并无交谈。我压抑下来，一直等待适当的时机，这一等就等了一年半。然而，等待是值得的。从那时起，我便展开了一段漫长的、时断时续的追求，最后修成正果。
1705577117
1705577118
除了在图书馆的惊鸿一瞥外，其他的发展就缓慢得多了。图书馆里有一整个书架都是欧拉的文集，伟大的欧拉生于18世纪的瑞士。若非书是用拉丁文写的，我必会阅读；可是我对拉丁文一窍不通，只好看期刊上的论文了。
1705577119
[
上一页 ]
[ :1.70557707e+09 ]
[
下一页 ]