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我看到一篇新近由普林斯顿的约翰·米尔诺写的论文，题为《有关曲率和基本群的一个注记》。这一次我不仅看了全文，而且还进一步思考，似乎可以推广论文中的一些想法。当时独个儿留在图书馆很空闲，又没有别的事情干，而这文章引起了我的注意，在心中燃起了异样的火花，觉得这次要做点数学了。
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米尔诺文中提到亚历山大·普雷斯曼（Alexandre Preissman）的一条定理，我立即把它找来了。这定理适用于带“负”曲率的空间，这类空间状如马鞍。在马鞍或这类空间上面画三角形，作图方法是先固定三点，然后把任何两点用在马鞍上最短的线连起来，便形成在马鞍上的三角形。这样的三角形的内角和会小于180°。（在具有零曲率的空间如平坦的纸张，上面的三角形内角和必然是180°；而在球面上的三角形，内角之和却大于180°。）
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在具有正曲率的曲面如球面，其上的三角形内角和大于180°，而平行线如两条经线会相交于两极。在欧氏几何考虑的平面（曲率为0）上，三角形的内角和等于180°，平行线永不相交。在具有负曲率的曲面如马鞍，其上的三角形的内角和小于180°，而平行线会散开，永不相交。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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普雷斯曼考虑在负曲率空间上面的两条封闭的回路（loop），所谓回路即指从某一定点出发，沿着一条途径行进，最后回到原来的点，这样便形成一回路，称之为回路A。把另外一条类似的，从同样定点出发和完结的回路称为回路B。普雷斯曼证明在这类空间中，先行回路A再行回路B，和先行回路B然后行回路A，两种在拓扑的意义下是不同的，唯一的例外是回路A跟B重合，即所谓“显而易见”的情况。
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我把普雷斯曼的结果推广到具有“非负”曲率的空间上去，这类空间包含负曲率空间和零曲率空间。要对非负曲率空间证明这结果，我们必须利用群论。所谓群，其定义不难了解。群是一个集合，里面包含了若干元素。元素中有一个叫单位元（如1），而任一元素（如x）必对应有一逆元（如1/x），在群上还有些运算（如乘法）和某些规则。
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眼前我们面对的群含有无限个元素，当时（甚至到了今天）人们对它的了解并不多。可是，我在米尔诺另外一篇重要文章中看过有关内容，亦记起在崇基书院时和罗纳德·弗朗西斯·特纳—史密斯（Ronald Francis Turner-Smith）教授的一次对话。当时我问他在伦敦大学时研究什么东西，他提过无限阶群的名字。我记不起他说过什么了，但他提及伊塞·舒尔（Issai Schur）和理查德·布劳尔（Richard Brauer）的一篇旧文，似乎跟摆在面前的问题有关。我花了一整天查阅旧学报，果然找到了两人合著的论文，而这正是我要用的结果。当特纳—史密斯提到此文时，我对群论的兴趣还不大，但如果没有这次对话，我也不会找到它，这文章的确帮了我一把。
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这个故事的教训，愚意以为，在于随意的交谈或许有意想不到的重要作用。姑勿论在讲课、讲座或下午茶的场合，有时你只需记得别人说过的片言只字。这次，随口的一句，竟印记在脑海，最后帮我完成了人生第一个有意义的证明。
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我得到的结果，不能说是惊天动地，但我喜欢它，理由就如喜欢普雷斯曼的定理一样，两者都说明了空间的拓扑（概括的形状）如何影响或约束空间的几何（精确的形状）。这便是我持续追寻的路子，同时也是一条成功的康庄大道；不只对我如是，对其他研究拓扑和几何的人亦复如是。
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我重复检视这个证明，直至自己也受不了为止。小心地推敲再推敲每一步，论证看来无懈可击。我正在修劳森的几何课，因此学校假期结束后，便跟他说了。他也认为这证明没有问题，而我俩更进一步证明了一些跟普雷斯曼和我的定理约略相关的东西。我们指出如何利用拓扑来判定，一个非负曲率的空间在什么时候能表达为两个空间之“积”，或某种组合。
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劳森很想把论文投出去，于是把两篇论文都寄到《数学年刊》去了，很多人认为这是美国的顶尖学报。由于我的证明是在圣诞假期做出来的，其他人无从知悉，稍后才知道那是乔·沃尔夫（Joe Wolf）的猜想。沃尔夫师从陈省身，也在伯克利，只不过当时在放年假。我知道沃尔夫的名字好久了，虽然还未亲见其人，但读过他的《常曲率空间》一书，非常欣赏。
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更凑巧的是，劳森和我证明的东西，亦在较早时为沃尔夫和他的同事德特勒夫·格罗莫尔（Detlef Gromoll）独立地证明了，不过他们的文章尚未发表。当我们见到沃尔夫时，他对我们做了类似的工作毫不惊讶；而看到我们的工作同时被其他人做出来了，劳森和我都不禁失望。只是当时在开始研究时，我并不知道沃尔夫和格罗莫尔的工作。
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陈先生看到他招回伯克利的小子，竟能在第一个学期中便做出有意义的工作，不禁松了一口气，看来数学系这一注码是押对了。我也很开心。虽然这不是什么重大的成就，但也给数学添了新成果。
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《数学年刊》接受了我的论文，但拒绝了劳森和我两人合作的那一篇，劳森颇为失望。他拿了博士不过两年，感到资浅的博士要和有地位的学者一起竞争，在顶尖的学报上发表论文难如登天。后来我们把它成功转投《微分几何学报》，我想陈先生或者曾在其间美言了几句，那自然很有帮助了。
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1970年对我而言，是值得纪念的一年。我首次发表了文章。文章被接受时的欢欣喜悦，遭拒绝时的垂头丧气，还有因优先权和功劳而导致的紧张心情，都教人难忘。
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那年的春季学期并不平静。当美国秘密空袭柬埔寨的消息泄露后，学生的反战运动再次升级，全校罢课使伯克利的所有课都停下来了。为了避免公开和罢课对抗，劳森把几何课移师家中，但只维持了几个星期。进占的学生争吵不休，“把战争带回家”的口号更令他们火上浇油。劳森的妻子或许觉得战事已在她家中爆发，因此不欢迎他们。
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从冬天到春天，我一直在与劳森合作。当时身为讲师的他和其他人共享办公室，拥挤不堪，我们难以在那里讨论。当他在家时，我们就在电话上倾谈，讨论有时长达一两个小时。几年后，劳森离婚了，我担心或许和那些电话有关。幸好他前妻后来跟我说，还有别的更重要的原因，离婚一事和我无关。
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差不多同时，我旁听了阿瑟·费舍尔（Arthur Fischer）关于广义相对论的课，他当时在数学系当讲师。我之前已跟他碰过头：有次正在影印投到《数学年刊》的论文稿时，他见到了，便说拿来看看。我犹豫一下没立即给他，一来对把自己的工作讲给陌生人听有些腼腆，二来对一个看似狂野嬉皮士的人也带着戒心。费舍尔一手把文稿抢过去，飞快地翻阅，然后宣称“任何把几何联系上拓扑的结果，对物理来说都很有意思”。从米尔诺的工作，我已经知道把几何或曲率联系到拓扑上的价值，但当时对物理还不大了解，对这些东西如何结合更一无所知。费舍尔毫不犹疑地肯定了几何和拓扑的联系对物理有用，我听后不禁兴奋起来。我当时已开始对这些关系产生强烈的兴趣，心想如果费舍尔所说的是对的就好了。然而要经过很多年，一直等到证明了所谓“正质量猜想”之后，我才肯定他说的话。
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完全意想不到的是，这个“狂野嬉皮士”对我产生了很大的影响。旁听他的第一节课只不过出于好奇，并不抱任何期望。广义相对论由爱因斯坦于一个世纪前提出，是目前我们用以了解万有引力的理论，我之前从未学过。爱因斯坦的理论又借助了比它早六十年、由波恩哈德·黎曼发展出来的几何为工具。“广义相对论”一词我早已听过无数次，对其内容却不大了解，心想这科目值得学习，没料到日后它对我的事业有这么大的影响。
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根据爱因斯坦的理论，万有引力并不是如牛顿定律所言，是两个或多个大型物体之间的吸引力，它乃是由于重力场导致空间的变形或弯曲所致。事实上，爱因斯坦认为重力和空间的弯曲是等价的。这种说法不仅能解释行星如何围绕太阳运动，还能说明其他更微妙的现象，这是牛顿的引力理论无能为力的。套一句普林斯顿物理学家约翰·惠勒（John Wheeler）的话：质量使空间弯曲，空间教质量运动。爱因斯坦方程式中，一个关键的项便是里奇曲率张量。物质在宇宙中的分布如何影响空间的曲率，便是由里奇曲率决定的。
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有次费舍尔的课上到一半时，各式各样的念头在我心中涌现。那时我对几何的兴趣日渐加深。曲率是几何里的概念，它有好几种，在日常经验中不容易（或不可能）分辨。我想：正如物理学者所云，万有引力乃是质量使空间弯曲的结果，那么完全没有物质的空间又会如何？这些空间叫作真空。换句话说，没有物质的空间能否具有非零的曲率和万有引力？
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这问题我想了又想，却不知道在1954年，几何学家欧金尼奥·卡拉比早已提出差不多同样的问题，并且将他的“猜想”用复杂的数学语言表达出来。这猜想涉及复里奇平坦流形、具有第一陈类为零的流形和凯勒几何等名词，不必在此细说。表面上看来，猜想跟万有引力扯不上关系。卡拉比曾说，当提出这个猜想时，他并没有往物理那方面想。猜想的对象是具有特殊几何结构的凯勒空间，而这类空间拥有一种有时被称作“超级对称”的对称性。用非专业的方式来说，卡拉比希望了解凯勒空间中不同路径的长度和空间密度的关系。这些路径的长度足以刻画整个空间，而空间密度则和一种叫“体积元素”的东西有关，它可以用来决定空间的体积。卡拉比问：反过来看，凯勒空间中的体积元素（或密度）如何决定空间中路径的长度（或距离）？
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可以想象，我们可以通过测量球面上一些点之间的距离来了解这个球体，但如何通过体积来量度高维（如六维或以上）空间的距离？
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卡拉比猜想纯粹是为数学而数学，这在当时是很常见的，甚至到了1970年数学家费舍尔在讲解物理时，数学也在物理中隐去。很多数学家相信数学是“纯粹”的，对叫作“应用”的东西，包括物理，是不屑一顾的。
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这样子的划分并非从来如此。古希腊的科学家并不区分数学和物理，即如近世伟大的数学家欧拉、高斯和庞加莱，他们毫不犹疑地投身到天文或其他领域中去。作为新的数学来客，虽然尚未做出什么贡献，而且物理知识还很浅薄，我仍可感到数学，尤其是我有兴趣的领域，具有和物理做深层次结合的潜力。我在直觉上感到探索这些想法会有所成果，希望这些成果能引起其他人的关注。