1705577090
比如，当气候突然变化，股市急剧波动，这时非线性方程就要登场了。非线性方程在广义相对论的领域中十分普遍，这里空间总是弯曲的，而有关的现象也是非线性的，没法子通融。不久之后，我便掌握了一种方法，作为研究几何的策略，有如在广义相对论中，我们利用描述局部的爱因斯坦方程式来了解宇宙的整体结构。
1705577091
1705577092
虽然面对的乃是几何学中出名难搞的非线性方程，但我有幸走进了莫里的课堂。他可称为当今世上“非线性分析”的顶尖人物，非线性分析是微分学更进一步的学问。他的专长是非线性偏微分方程，我如饥似渴地吸收莫里所愿意传授的知识。幸好，他非常慷慨。
1705577093
1705577094
想到把几何、拓扑和非线性分析共冶一炉，能有大用之际，我的兴致就更浓厚了。这时候，研究偏微分方程的人如莫里，和研究几何的人（包括身处同系的陈省身），双方几乎没有什么交流。很多几何学者都把偏微分方程留给分析学者，或如某权威所言的工程学者。诚然，莫里是一流的分析学家，但他对几何的兴趣不大，他只把几何看成偏微分方程的泉眼，源源不绝地向他输送饶有趣味的偏微分方程。而我却把过程倒过来，利用这些方程来解决几何上的难题，尤其是那些已尽试其他方法仍无寸功的项目。
1705577095
1705577096
我认为把这些分开的线绾结在一起，会对几何和分析，还有拓扑，都有莫大的好处。我的想法很初步，开始时不知如何入手，也不知要往何处去。但我的信念逐渐坚定下来，至今犹未改变。
1705577097
1705577098
回到1969年秋。当时，反越战示威在美国正闹得沸沸扬扬。伯克利是示威学生的重镇，很多学生和教员都在罢课罢工。当班上的学生太少时，斯帕尼尔便宣布不上课了。而莫里的微分方程课，学生不只是逃了几堂课而已。他们一个一个地退选，最后只剩下我一个人。当时初来乍到，并未牵扯进运动之中。然而，莫里坚持授课，他如常披上外套，系好领带，对着我一人讲课，犹如对着全班一样。事实上，他比平时还多了准备。他没有跟随原定的课程大纲，而是根据我的兴趣和水平，特意设定了内容。在拥有三万学生的大学里，很难想象有这样一对一的讲授。这确实是真正难得的机会，我觉得自己很幸运，能够得到大师的亲身传授。
1705577099
1705577100
伯克利的示威不断，规模盛大，时酿冲突，弥漫在空气中的催泪气体的气味已成为大学的背景了。坐在课堂内，看见外面一大群学生手中拿着石头，正和手执盾牌和枪械的军警对峙，这情景已习以为常。“全世界都在看！”反战示威者不时这样高呼。我亲眼看见这些画面，不是从电视的屏幕，而是从课堂或图书馆。老实说，在草地那边厢种种混乱的干扰下，实在难以收敛心神在数学上。我反对战争，但不会马上投身于这类斗争之中。那时我对美国文化并不了解，也没有机会去思考这场运动中的种种议题。
1705577101
1705577102
这年，萨拉夫回到了伯克利，在这之前，他在日本停留了一段日子。他试图让我接触美国的事物，带我到旧金山市区和郊外观光。他也邀请我到他家参加聚会，会上大麻烟随意地传，人们大方地分享，不断问我要不要吸一口，但我都谢绝了，至今未曾试过一次，纵使这在伯克利是再普遍不过的事。从萨拉夫和他朋友的言谈行为之中，我也约略了解到嬉皮士的行径。这种放纵的生活方式，和我在香港乡村长大的规行矩步毫无共通之处。在那里，人们胼手胝足，不辞劳苦地谋生，娱乐性药物并无立足之地。
1705577103
1705577104
我不随意评价别人，也和所谓嬉皮士为友，但从不做那些打扮，也绝不尝试毒品。那时我滴酒不沾，作为较年长和人生经验较丰富的友人，萨拉夫认为是时候让我喝点酒了。第一次喝酒的机会来自数学系的野餐，就在伯克利山高处的蒂尔德公园举行，莫里特别叫我参加。会上有啤酒，我拿了一大杯，仰首一饮而尽。不到十分钟，我就头昏脑涨，只好跟莫里说我要回去了。他送我回去，到家是下午三点，立时上床大睡，直至次日的中午才醒来，至此始知自己对酒精敏感。从那时开始，我对喝酒十分小心，只在有需要时喝一点点。
1705577105
1705577106
母亲在困难时期（差不多覆盖我整个童年）会到教会拿救济品，在那里我认识了一些教会中的美国人，其中有些就住在伯克利，他们邀请我去家里过感恩节。我对感恩节一无所知，但看见大学校园到了11月底就变得空空如也，可以推测它是个大节。大批宾客出席了他们的节日晚宴，其中有些明显是亲戚，有些如我一般就是误打误撞便来了。
1705577107
1705577108
赴会前，他们说得带不超过一美元的物品作礼物交换之用。我从装饰店买了一件水晶的摆设，和其他礼物一起放在桌上。可是没有人选我的水晶，使我有点儿难堪，但它对我也没用。那晚过后，还是对感恩节不大了解，只是饱餐了一顿，或许我只需要知道这个便够了。
1705577109
1705577110
圣诞节很快便来了，我从来没有庆祝过圣诞，这一次也是如此。但我发觉美国人对这节日特别重视，校园再次空无一人。整整两星期我孤身一人，幸好数学系图书馆除圣诞日外仍然开放，对我来说可谓圣诞奇迹，心中感动得很。
1705577111
1705577112
一年级的研究生没有办公室，图书馆实际成了我的办公室，我常在那里流连，没有课的时候就往那儿跑。当时数学学报的种类比现在少许多（当今估计有两千种之多），我习惯翻开图书馆收到的每一份数学学报，试读其中的文章。虽然不能完全了解内容，好歹也会知道谁写了什么，这让我能够掌握每个数学领域的轮廓，并在脑海中形成广阔的画面，看到哪些科目可以互相配合。
1705577113
1705577114
圣诞假期间，图书馆实际上几乎被我一人独占，只有一次难忘的例外。一位漂亮的年轻女士进来借书，她和我年纪差不多，看来百分百是中国人。我顿时被她吸引住了。我故作目不斜视，但馆内人数寥寥，很难办到。虽然怀着强烈的兴趣，但我保持沉默，没有冒昧上前自我介绍，这不合礼数，交谈要留待正式的介绍之后。
1705577115
1705577116
圣诞假后学期重开，才知道她是物理系的研究生，就住在附近的国际楼，仅此而已。数学系的主要演讲都在邻近物理大楼的勒孔特堂举行，偶然看见她也来参加，但我们并无交谈。我压抑下来，一直等待适当的时机，这一等就等了一年半。然而，等待是值得的。从那时起，我便展开了一段漫长的、时断时续的追求，最后修成正果。
1705577117
1705577118
除了在图书馆的惊鸿一瞥外，其他的发展就缓慢得多了。图书馆里有一整个书架都是欧拉的文集，伟大的欧拉生于18世纪的瑞士。若非书是用拉丁文写的，我必会阅读；可是我对拉丁文一窍不通，只好看期刊上的论文了。
1705577119
1705577120
我看到一篇新近由普林斯顿的约翰·米尔诺写的论文，题为《有关曲率和基本群的一个注记》。这一次我不仅看了全文，而且还进一步思考，似乎可以推广论文中的一些想法。当时独个儿留在图书馆很空闲，又没有别的事情干，而这文章引起了我的注意，在心中燃起了异样的火花，觉得这次要做点数学了。
1705577121
1705577122
米尔诺文中提到亚历山大·普雷斯曼（Alexandre Preissman）的一条定理，我立即把它找来了。这定理适用于带“负”曲率的空间，这类空间状如马鞍。在马鞍或这类空间上面画三角形，作图方法是先固定三点，然后把任何两点用在马鞍上最短的线连起来，便形成在马鞍上的三角形。这样的三角形的内角和会小于180°。（在具有零曲率的空间如平坦的纸张，上面的三角形内角和必然是180°；而在球面上的三角形，内角之和却大于180°。）
1705577123
1705577124
1705577125
1705577126
1705577127
在具有正曲率的曲面如球面，其上的三角形内角和大于180°，而平行线如两条经线会相交于两极。在欧氏几何考虑的平面（曲率为0）上，三角形的内角和等于180°，平行线永不相交。在具有负曲率的曲面如马鞍，其上的三角形的内角和小于180°，而平行线会散开，永不相交。（原图引自顾险峰和尹晓田）
1705577128
1705577129
普雷斯曼考虑在负曲率空间上面的两条封闭的回路（loop），所谓回路即指从某一定点出发，沿着一条途径行进，最后回到原来的点，这样便形成一回路，称之为回路A。把另外一条类似的，从同样定点出发和完结的回路称为回路B。普雷斯曼证明在这类空间中，先行回路A再行回路B，和先行回路B然后行回路A，两种在拓扑的意义下是不同的，唯一的例外是回路A跟B重合，即所谓“显而易见”的情况。
1705577130
1705577131
我把普雷斯曼的结果推广到具有“非负”曲率的空间上去，这类空间包含负曲率空间和零曲率空间。要对非负曲率空间证明这结果，我们必须利用群论。所谓群，其定义不难了解。群是一个集合，里面包含了若干元素。元素中有一个叫单位元（如1），而任一元素（如x）必对应有一逆元（如1/x），在群上还有些运算（如乘法）和某些规则。
1705577132
1705577133
眼前我们面对的群含有无限个元素，当时（甚至到了今天）人们对它的了解并不多。可是，我在米尔诺另外一篇重要文章中看过有关内容，亦记起在崇基书院时和罗纳德·弗朗西斯·特纳—史密斯（Ronald Francis Turner-Smith）教授的一次对话。当时我问他在伦敦大学时研究什么东西，他提过无限阶群的名字。我记不起他说过什么了，但他提及伊塞·舒尔（Issai Schur）和理查德·布劳尔（Richard Brauer）的一篇旧文，似乎跟摆在面前的问题有关。我花了一整天查阅旧学报，果然找到了两人合著的论文，而这正是我要用的结果。当特纳—史密斯提到此文时，我对群论的兴趣还不大，但如果没有这次对话，我也不会找到它，这文章的确帮了我一把。
1705577134
1705577135
这个故事的教训，愚意以为，在于随意的交谈或许有意想不到的重要作用。姑勿论在讲课、讲座或下午茶的场合，有时你只需记得别人说过的片言只字。这次，随口的一句，竟印记在脑海，最后帮我完成了人生第一个有意义的证明。
1705577136
1705577137
我得到的结果，不能说是惊天动地，但我喜欢它，理由就如喜欢普雷斯曼的定理一样，两者都说明了空间的拓扑（概括的形状）如何影响或约束空间的几何（精确的形状）。这便是我持续追寻的路子，同时也是一条成功的康庄大道；不只对我如是，对其他研究拓扑和几何的人亦复如是。
1705577138
1705577139
我重复检视这个证明，直至自己也受不了为止。小心地推敲再推敲每一步，论证看来无懈可击。我正在修劳森的几何课，因此学校假期结束后，便跟他说了。他也认为这证明没有问题，而我俩更进一步证明了一些跟普雷斯曼和我的定理约略相关的东西。我们指出如何利用拓扑来判定，一个非负曲率的空间在什么时候能表达为两个空间之“积”，或某种组合。