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伯克利的示威不断,规模盛大,时酿冲突,弥漫在空气中的催泪气体的气味已成为大学的背景了。坐在课堂内,看见外面一大群学生手中拿着石头,正和手执盾牌和枪械的军警对峙,这情景已习以为常。“全世界都在看!”反战示威者不时这样高呼。我亲眼看见这些画面,不是从电视的屏幕,而是从课堂或图书馆。老实说,在草地那边厢种种混乱的干扰下,实在难以收敛心神在数学上。我反对战争,但不会马上投身于这类斗争之中。那时我对美国文化并不了解,也没有机会去思考这场运动中的种种议题。
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这年,萨拉夫回到了伯克利,在这之前,他在日本停留了一段日子。他试图让我接触美国的事物,带我到旧金山市区和郊外观光。他也邀请我到他家参加聚会,会上大麻烟随意地传,人们大方地分享,不断问我要不要吸一口,但我都谢绝了,至今未曾试过一次,纵使这在伯克利是再普遍不过的事。从萨拉夫和他朋友的言谈行为之中,我也约略了解到嬉皮士的行径。这种放纵的生活方式,和我在香港乡村长大的规行矩步毫无共通之处。在那里,人们胼手胝足,不辞劳苦地谋生,娱乐性药物并无立足之地。
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我不随意评价别人,也和所谓嬉皮士为友,但从不做那些打扮,也绝不尝试毒品。那时我滴酒不沾,作为较年长和人生经验较丰富的友人,萨拉夫认为是时候让我喝点酒了。第一次喝酒的机会来自数学系的野餐,就在伯克利山高处的蒂尔德公园举行,莫里特别叫我参加。会上有啤酒,我拿了一大杯,仰首一饮而尽。不到十分钟,我就头昏脑涨,只好跟莫里说我要回去了。他送我回去,到家是下午三点,立时上床大睡,直至次日的中午才醒来,至此始知自己对酒精敏感。从那时开始,我对喝酒十分小心,只在有需要时喝一点点。
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母亲在困难时期(差不多覆盖我整个童年)会到教会拿救济品,在那里我认识了一些教会中的美国人,其中有些就住在伯克利,他们邀请我去家里过感恩节。我对感恩节一无所知,但看见大学校园到了11月底就变得空空如也,可以推测它是个大节。大批宾客出席了他们的节日晚宴,其中有些明显是亲戚,有些如我一般就是误打误撞便来了。
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赴会前,他们说得带不超过一美元的物品作礼物交换之用。我从装饰店买了一件水晶的摆设,和其他礼物一起放在桌上。可是没有人选我的水晶,使我有点儿难堪,但它对我也没用。那晚过后,还是对感恩节不大了解,只是饱餐了一顿,或许我只需要知道这个便够了。
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圣诞节很快便来了,我从来没有庆祝过圣诞,这一次也是如此。但我发觉美国人对这节日特别重视,校园再次空无一人。整整两星期我孤身一人,幸好数学系图书馆除圣诞日外仍然开放,对我来说可谓圣诞奇迹,心中感动得很。
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一年级的研究生没有办公室,图书馆实际成了我的办公室,我常在那里流连,没有课的时候就往那儿跑。当时数学学报的种类比现在少许多(当今估计有两千种之多),我习惯翻开图书馆收到的每一份数学学报,试读其中的文章。虽然不能完全了解内容,好歹也会知道谁写了什么,这让我能够掌握每个数学领域的轮廓,并在脑海中形成广阔的画面,看到哪些科目可以互相配合。
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圣诞假期间,图书馆实际上几乎被我一人独占,只有一次难忘的例外。一位漂亮的年轻女士进来借书,她和我年纪差不多,看来百分百是中国人。我顿时被她吸引住了。我故作目不斜视,但馆内人数寥寥,很难办到。虽然怀着强烈的兴趣,但我保持沉默,没有冒昧上前自我介绍,这不合礼数,交谈要留待正式的介绍之后。
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圣诞假后学期重开,才知道她是物理系的研究生,就住在附近的国际楼,仅此而已。数学系的主要演讲都在邻近物理大楼的勒孔特堂举行,偶然看见她也来参加,但我们并无交谈。我压抑下来,一直等待适当的时机,这一等就等了一年半。然而,等待是值得的。从那时起,我便展开了一段漫长的、时断时续的追求,最后修成正果。
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除了在图书馆的惊鸿一瞥外,其他的发展就缓慢得多了。图书馆里有一整个书架都是欧拉的文集,伟大的欧拉生于18世纪的瑞士。若非书是用拉丁文写的,我必会阅读;可是我对拉丁文一窍不通,只好看期刊上的论文了。
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我看到一篇新近由普林斯顿的约翰·米尔诺写的论文,题为《有关曲率和基本群的一个注记》。这一次我不仅看了全文,而且还进一步思考,似乎可以推广论文中的一些想法。当时独个儿留在图书馆很空闲,又没有别的事情干,而这文章引起了我的注意,在心中燃起了异样的火花,觉得这次要做点数学了。
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米尔诺文中提到亚历山大·普雷斯曼(Alexandre Preissman)的一条定理,我立即把它找来了。这定理适用于带“负”曲率的空间,这类空间状如马鞍。在马鞍或这类空间上面画三角形,作图方法是先固定三点,然后把任何两点用在马鞍上最短的线连起来,便形成在马鞍上的三角形。这样的三角形的内角和会小于180°。(在具有零曲率的空间如平坦的纸张,上面的三角形内角和必然是180°;而在球面上的三角形,内角之和却大于180°。)
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在具有正曲率的曲面如球面,其上的三角形内角和大于180°,而平行线如两条经线会相交于两极。在欧氏几何考虑的平面(曲率为0)上,三角形的内角和等于180°,平行线永不相交。在具有负曲率的曲面如马鞍,其上的三角形的内角和小于180°,而平行线会散开,永不相交。(原图引自顾险峰和尹晓田)
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普雷斯曼考虑在负曲率空间上面的两条封闭的回路(loop),所谓回路即指从某一定点出发,沿着一条途径行进,最后回到原来的点,这样便形成一回路,称之为回路A。把另外一条类似的,从同样定点出发和完结的回路称为回路B。普雷斯曼证明在这类空间中,先行回路A再行回路B,和先行回路B然后行回路A,两种在拓扑的意义下是不同的,唯一的例外是回路A跟B重合,即所谓“显而易见”的情况。
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我把普雷斯曼的结果推广到具有“非负”曲率的空间上去,这类空间包含负曲率空间和零曲率空间。要对非负曲率空间证明这结果,我们必须利用群论。所谓群,其定义不难了解。群是一个集合,里面包含了若干元素。元素中有一个叫单位元(如1),而任一元素(如x)必对应有一逆元(如1/x),在群上还有些运算(如乘法)和某些规则。
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眼前我们面对的群含有无限个元素,当时(甚至到了今天)人们对它的了解并不多。可是,我在米尔诺另外一篇重要文章中看过有关内容,亦记起在崇基书院时和罗纳德·弗朗西斯·特纳—史密斯(Ronald Francis Turner-Smith)教授的一次对话。当时我问他在伦敦大学时研究什么东西,他提过无限阶群的名字。我记不起他说过什么了,但他提及伊塞·舒尔(Issai Schur)和理查德·布劳尔(Richard Brauer)的一篇旧文,似乎跟摆在面前的问题有关。我花了一整天查阅旧学报,果然找到了两人合著的论文,而这正是我要用的结果。当特纳—史密斯提到此文时,我对群论的兴趣还不大,但如果没有这次对话,我也不会找到它,这文章的确帮了我一把。
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这个故事的教训,愚意以为,在于随意的交谈或许有意想不到的重要作用。姑勿论在讲课、讲座或下午茶的场合,有时你只需记得别人说过的片言只字。这次,随口的一句,竟印记在脑海,最后帮我完成了人生第一个有意义的证明。
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我得到的结果,不能说是惊天动地,但我喜欢它,理由就如喜欢普雷斯曼的定理一样,两者都说明了空间的拓扑(概括的形状)如何影响或约束空间的几何(精确的形状)。这便是我持续追寻的路子,同时也是一条成功的康庄大道;不只对我如是,对其他研究拓扑和几何的人亦复如是。
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我重复检视这个证明,直至自己也受不了为止。小心地推敲再推敲每一步,论证看来无懈可击。我正在修劳森的几何课,因此学校假期结束后,便跟他说了。他也认为这证明没有问题,而我俩更进一步证明了一些跟普雷斯曼和我的定理约略相关的东西。我们指出如何利用拓扑来判定,一个非负曲率的空间在什么时候能表达为两个空间之“积”,或某种组合。
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劳森很想把论文投出去,于是把两篇论文都寄到《数学年刊》去了,很多人认为这是美国的顶尖学报。由于我的证明是在圣诞假期做出来的,其他人无从知悉,稍后才知道那是乔·沃尔夫(Joe Wolf)的猜想。沃尔夫师从陈省身,也在伯克利,只不过当时在放年假。我知道沃尔夫的名字好久了,虽然还未亲见其人,但读过他的《常曲率空间》一书,非常欣赏。
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更凑巧的是,劳森和我证明的东西,亦在较早时为沃尔夫和他的同事德特勒夫·格罗莫尔(Detlef Gromoll)独立地证明了,不过他们的文章尚未发表。当我们见到沃尔夫时,他对我们做了类似的工作毫不惊讶;而看到我们的工作同时被其他人做出来了,劳森和我都不禁失望。只是当时在开始研究时,我并不知道沃尔夫和格罗莫尔的工作。
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陈先生看到他招回伯克利的小子,竟能在第一个学期中便做出有意义的工作,不禁松了一口气,看来数学系这一注码是押对了。我也很开心。虽然这不是什么重大的成就,但也给数学添了新成果。
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《数学年刊》接受了我的论文,但拒绝了劳森和我两人合作的那一篇,劳森颇为失望。他拿了博士不过两年,感到资浅的博士要和有地位的学者一起竞争,在顶尖的学报上发表论文难如登天。后来我们把它成功转投《微分几何学报》,我想陈先生或者曾在其间美言了几句,那自然很有帮助了。
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1970年对我而言,是值得纪念的一年。我首次发表了文章。文章被接受时的欢欣喜悦,遭拒绝时的垂头丧气,还有因优先权和功劳而导致的紧张心情,都教人难忘。
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