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在香港时，我视数学为抽象的东西，觉得愈抽象愈好，愈接近数学的精髓，这种想法并不成熟。我原先打算研习的，乃是抽象的题目如算子代数之类，它属于泛函分析的一支。在崇基书院时，受到讲师埃尔默·布罗迪（Elmer Brody）的启发而产生兴趣，我看了不少泛函分析的著作，甚至还写信给宾夕法尼亚大学的理查德·卡迪森（Richard Kadison）和麻省理工的欧文·西格尔（Irving Segal），向他们要论文的复印本，却并不知道他们其实都是这方面的权威。多年后，我与他们终于见面了，他们竟待我如老朋友，还请我吃晚饭呢。
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球体、立方体、棱锥等皆是不同的几何形体。但从拓扑的观点来看，这些看似不同的形体却是相同或“等价”的；它们都能通过拗弯、拉伸、挤压，即在不撕裂或不切割的情况下由一个变成另一个。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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从拓扑上看，一维空间本质上只有直线和圆两种。你可以把圆扭成各式各样的回路，但除非切断它，否则它不会变成直线。二维可定向的曲面则可按照其亏格分类。所谓亏格，简言之即曲面上洞的数目。如球面上没有洞，故亏格为0，车胎或甜甜圈只有一洞，亏格为1。就如圆和直线般，球面和甜甜圈在拓扑上不相同，你不能把球面变成甜甜圈，除非在中间剖开一个洞。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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虽然并没有走进那领域，但他们对我都很好。我对这科目的观感，到伯克利之后改变了。上泛函分析的研讨班时，已不复昔时的兴奋，而对另外的课却愈来愈兴趣盎然，和从前以为抽象是数学最高标准的偏见，也愈行愈远了。
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反之，我视数学非自成一国的学问，而是和大自然息息相关的知识。从几何中呈现的完美结构，更能看到数学和自然的融合。在某些情况中，这些结构甚至能绘画出来，这令它更容易为人理解。当然，到了更深的层次，就很难这样做了。
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正因如此，日子久了，我对几何的兴趣愈来愈大，也意识到之前对它的了解未免太肤浅了。这科目委实深奥而丰富，令人肃然起敬。它可以追溯至两千五百年前的毕达哥拉斯与四千年前的古埃及人和巴比伦人，我被它迷住了。
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可以这样说，莫里的微分方程课对我的影响最大。他讲的主题是偏微分方程，这些方程随着多个而非一个变量（如时间）变化。这些方程式极为重要，其中一个原因是，物理学中的主要定律，经由牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦诸人推导出的，都是以偏微分方程的形式表达出来的。这些方程中尤以“非线性”那一类最富挑战性。大部分偏微分方程都不能精确地来求解，或用公式表达，它们只能由困难的逼近过程决定下来。
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这个课程非常依赖于莫里自己写的书。从某种意义来看，这书写得并不好，里面的材料没经过充分的组织。可是另一方面，它的内容却着实精彩，就算有不足之处，这书仍然是本科目中的最佳之作。但这科并不受学生欢迎，大家都说里面的东西非常难，啃不动，莫里又要求学生在班上做报告，那对讲者和听众都不好受。我在班上坚持下去，心里知道，有朝一日这将是十分有用的。我十分用功，做了大量的计算，在这过程中获益良多。
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我脑海中隐隐浮现一个念头，就是以偏微分方程为经纬，把几何和拓扑联系起来。几何和拓扑通常被看成两个不同的科目，但我总觉得这种区分只是表象。几何能给出的，是局部的特写，就如用放大镜检视地球的表面；而拓扑却能提供宏观的图像，就如从外层空间看地球一般。可是说到底，两者观察的都是同一个行星，不同的观点互为补益而非相冲。
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因此之故，不明白为何人们总要在几何和拓扑之间划线，把两个领域分隔开来，有些人确实对此敏感得很。老实说，谁胜谁负根本不要紧，两者应该携手共进。我视所有不同的数学领域为同一织物的各部分，不会为外人附加于科目的界限所拘束，对各部分都感兴趣。正如我的美国朋友时不时这样说，“所有种种，一应俱全”（the whole enchilada）。对各部件的理解愈多，便知它们是糅合在一起的。然而，也要承认，出于某些不可知的原因，有些部件比其他对我更有吸引力。
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有必要指出的是，我并不是第一个沿着这思路走的人，高斯—博内定理在整个19世纪中发展，经过众人包括卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）、皮埃尔·博内（Pierre Bonnet）、瓦尔特·冯·戴克（Walther von Dyck）等人的努力，成功地把几何（或曲率）和曲面的拓扑联系起来。20世纪之初，亨利·庞加莱（Henri Poincaré）深化了几何和拓扑的联系，数十年后的海因茨·霍普夫（Heinz Hopf）和陈省身（后成了我在伯克利的导师）令这种联系更为稳固。我只不过在他们工作的基础上，在微分方程尤其是非线性的引进这方面，做了进一步努力。这方面的探究，属于后来“几何分析”的一部分，几何分析一词乃是美国数学学会和自然科学基金会为研究计划分类时引进的。
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几何分析的新意，在于把非线性偏微分方程用于微分几何。在微分几何中，利用微积分作为工具进行研究，已有好几百年了，至少可以追溯到莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在18世纪中晚期的工作。开始时，利用的是线性的微分方程，后来逐渐发展到利用非线性微分方程，这是不言而喻的，因为这些方程描述了事物细微、无限小的变动。在几何中，我们利用这些方程来量度曲率，并考究曲率在空间各点的变化。当空间的曲率“局部”地（即每一小片）确定后，我们便能对空间的“整体”有所认识。一边是曲率，即局部的几何或空间精准的形状；另一边是拓扑，即同一空间的概括形状——两者之间的联系使我着迷，构成我过去四十多年工作的重心。
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从本质上看，几何和拓扑两者的研究对象都是形状，而曲率是描述形状的凭借。一个充满了气的足球是球状物，但在拓扑上，它等同于未充满气、瘪下来的足球。完美的球状物只需通过空气的增加或减少，而不必撕裂或切割，就可以变成凹形的球。充满气的球形，其曲率为正的常数，即是说它的曲率点点都是相同的，但瘪下来的球的曲率则会随着球面上的点而变化。
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曲率是确定概括的形状（拓扑）和精确的形状（几何）之关键，这种联系在高维的情况下也是成立的，只不过曲率变了，有好几种情况比不同气压的球复杂和困难得多了。这就说明了为何曲率是如此强而有力的工具，多年来一直吸引着我。
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我们可以定义二维的球面，即为在三维空间中和某中心点等距离的所有点所构成的集合。但我们也可以纯粹利用曲率来描述它，这种做法比第一种的做法更有力，用途更广泛：它可以用来描述在高维空间中复杂的、卷曲的物体（或流形），这些物体不可能用简单的公式来表达。
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曲率也在物理中占有重要的地位，物理学建基于用微分方程式描述的定律。比如，质点的速度是它位置的变化率，加速度是速度的变化率。我们可以通过质点轨道的曲率，决定它所受的力，从而知道它的加速度。在高能加速器实验中，研究人员反过来通过分析路径的曲率来决定粒子的质量，从而断定那是什么粒子，而这不过是曲率在物理中的诸多应用之一。（同理，也可以想象人生的轨迹，从各个关键的转折点的“曲率”着眼，便可知整个人生的梗概。本人现在所做的陈述，便是如此。）
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概括而言，爱因斯坦关于广义相对论的方程式（我迟点才会学习）正是对宇宙曲率的描述。它由一组非线性的微分方程所组成，只要其中一个变量有细微的改变，都会导致不成比例的重大后果。很多现象能够用线性的方程来模拟，达到不错的效果。所谓“线性”，是指变化是符合比例的，且同一方程的两个解加起来仍是解。可是，我们身处的世界本质上是非线性的，这是永远不可能忽略的事实。
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比如，当气候突然变化，股市急剧波动，这时非线性方程就要登场了。非线性方程在广义相对论的领域中十分普遍，这里空间总是弯曲的，而有关的现象也是非线性的，没法子通融。不久之后，我便掌握了一种方法，作为研究几何的策略，有如在广义相对论中，我们利用描述局部的爱因斯坦方程式来了解宇宙的整体结构。
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虽然面对的乃是几何学中出名难搞的非线性方程，但我有幸走进了莫里的课堂。他可称为当今世上“非线性分析”的顶尖人物，非线性分析是微分学更进一步的学问。他的专长是非线性偏微分方程，我如饥似渴地吸收莫里所愿意传授的知识。幸好，他非常慷慨。
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想到把几何、拓扑和非线性分析共冶一炉，能有大用之际，我的兴致就更浓厚了。这时候，研究偏微分方程的人如莫里，和研究几何的人（包括身处同系的陈省身），双方几乎没有什么交流。很多几何学者都把偏微分方程留给分析学者，或如某权威所言的工程学者。诚然，莫里是一流的分析学家，但他对几何的兴趣不大，他只把几何看成偏微分方程的泉眼，源源不绝地向他输送饶有趣味的偏微分方程。而我却把过程倒过来，利用这些方程来解决几何上的难题，尤其是那些已尽试其他方法仍无寸功的项目。
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我认为把这些分开的线绾结在一起，会对几何和分析，还有拓扑，都有莫大的好处。我的想法很初步，开始时不知如何入手，也不知要往何处去。但我的信念逐渐坚定下来，至今犹未改变。
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回到1969年秋。当时，反越战示威在美国正闹得沸沸扬扬。伯克利是示威学生的重镇，很多学生和教员都在罢课罢工。当班上的学生太少时，斯帕尼尔便宣布不上课了。而莫里的微分方程课，学生不只是逃了几堂课而已。他们一个一个地退选，最后只剩下我一个人。当时初来乍到，并未牵扯进运动之中。然而，莫里坚持授课，他如常披上外套，系好领带，对着我一人讲课，犹如对着全班一样。事实上，他比平时还多了准备。他没有跟随原定的课程大纲，而是根据我的兴趣和水平，特意设定了内容。在拥有三万学生的大学里，很难想象有这样一对一的讲授。这确实是真正难得的机会，我觉得自己很幸运，能够得到大师的亲身传授。
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