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细心思考一下母亲最后的日子，我为她大半生辛勤工作、抚养我们而深感歉意。她为家庭差不多献出一切，很少为自己的需要和幸福着想。命蹇的兄长成煜需要她长期照料，几年前才去世。我原来期望母亲能安享晚年，含饴弄孙，闲时打理花草，或是做些赏心的事，但她太命苦了，没机会安享。
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母亲是传统的中国妇女。她重男轻女，深信只有儿子才能把家族繁衍下去。她常说我的成就等于她的成就，这是一种异常无私的看法，源自她从小培养的价值观。我全心全意把时间和精力倾注于事业时，深知扬名声、显父母的意义。即是说，愈能有所成就，愈能使父母开怀。父母的付出，激励我努力奋斗，追求卓越。在这方向上，我已不需要进一步的动力。自父亲逝世后，除了少年时荒废了少许日子，我一直在努力。
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这时在哈佛，一件令人振奋的工作开展了，它源于我的博士后布莱恩·格林。开始时我没怎么牵涉其中，但不久之后，它成了大热的潮流，很多人包括我都给卷进去了。
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格林来到哈佛不久，便和罗恩·普莱泽（Ronen Plesser）合作，后者是物理系卡姆朗·瓦法的研究生。他们在瓦法和其他物理学者包括兰斯·狄克逊（Lance Dixon）、多伦·热普内（Doron Gepner）、沃尔夫冈·莱尔歇（Wolfgang Lerche）、尼古拉斯·沃纳（Nicholas Warner）等人工作的基础上，仔细检视了六维的卡拉比—丘流形。前面说过，这些流形在弦理论中被视为附着在空间上的额外结构。两人把一个卡拉比—丘流形用一种特殊的方式转动，产生了另一个看起来非常不同的卡拉比—丘流形。他们发现这两个流形之间有某种关联，并拥有同样的物理规律。格林和普莱泽称这种现象为“镜像对称”，并就此在1990年发表了一篇论文，两个具有同一物理规律的卡拉比—丘流形被称为“镜像流形”。
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镜像对称的简单例子。双四面体（左）具有5个顶点和6个面，而三棱柱（右）则有6个顶点和5个面。这些常见的多面形可以用来构造卡拉比—丘流形及其镜像，其中组成的多面体，其顶点和面的数目和这个卡拉比—丘流形的内部结构有关。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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镜像对称是“对偶性”的一例，这种现象在弦理论或物理现象中很常见，相同的物理现象可以用两种看起来完全不相干的图像或模型来描述。这种想法令我想起中国古代哲学中“阴阳”的概念，尤其是道家强调貌似相反力量的互补和统一。对偶性在弦理论及其他方面都有惊人的启示，镜像对称在这方面尤其富有成果。
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格林和普莱泽取得突破的一年之后，得克萨斯大学的物理学家菲利普·坎德拉斯和三位合作者保罗·格林（Paul Green）、齐妮娅·德拉奥萨（Xenia de la Ossa）和琳达·帕克斯（Linda Parkes）就检验镜像对称进行了大量计算。在工作的过程中，他们利用镜像对称解决了一个长达百年的在“枚举几何”上的难题。枚举几何的主题是决定在几何空间或曲面上物体的数目。坎德拉斯等人解决的问题，具体来说，是要确定在一个五次三维形（quintic 3-fold）上能放进多少条曲线。这样的流形是最简单的卡拉比—丘流形，所谓五次是指空间由五次多项式的根所构成，而三维指这空间的复维数是3，即实维数为6。
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这个难题有时也被称作舒伯特问题。事缘19世纪后期，德国数学家赫尔曼·舒伯特（Hermann Schubert）首先破解了最简单的情况，即在五次三维形上能容纳多少条一次的曲线（即直线）。1986年，数学家谢尔登·卡茨（Sheldon Katz）确定了二次曲线（如圆形）在五次三维形上的数目，这个问题当然更难。坎德拉斯及其合作者攻坚的是更进一步的难题，即决定三次曲线能放进五次三维形的数目。
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镜像对称是这样发挥作用的。首先，在原来的五次三维形上，曲线有多少条很难计算，但在它的镜像流形上进行计算则容易得多，而这些镜像流形是格林和普莱泽早前找到的。正如格林所说，镜像对称提供了一种方法，可以“巧妙地重组计算，使一切变得容易”。通过在镜像流形而非在原来的流形上进行计算，坎德拉斯小组最终得到精确的结果：在五次三维形上能放进的三次曲线的数目为317206375。
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此图旨在说明在曲面上找曲线或直线的一般概念，图中的曲面和文内讨论的不同。图中显示的是19世纪枚举几何的一个著名结果，阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和乔治·萨蒙（George Salmon）证明在三次曲面上刚可容纳27条直线。其后赫尔曼·舒伯特推广了这个结果，后人称之为凯莱—萨蒙定理。（引自理查德·帕莱和3D—XplorMath Consortium，特此鸣谢）
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这立即引起我的关注，因为如果他们的结论是正确的话，那便足以说明镜像对称可用于其他枚举几何的问题上了。对我来说，好好搞清楚这个崭新的概念，顿时变成当务之急了。
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差不多就在这时，辛格问我可不可以在MSRI举办一个以数学物理为主题的会议。他原来的想法是把主题放在“规范场论”上，这比较接近量子场论和基本粒子。但当前镜像对称的新发展实在令人鼓舞，我提议把主题改变一下。辛格对这题目并不陌生，他刚在哈佛听过格林的演讲。我跟他再多说了一点详情，他立即同意以镜像对称为主题在MSRI搞一个一星期长的会议，时间是1991年5月，并提议我来当会议的主席。
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这次会议充满火药味。由于镜像对称早期的工作都是由物理学家如格林、普莱泽、坎德拉斯等人完成的，数学家不大相信这些结果，也不情愿把这些想法用于他们的领域如枚举几何和代数几何上去。说到底，这种犹豫不决的态度，背后源于数学家总觉得物理学家不够严谨。
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到了两位挪威数学家盖尔·埃林斯若德（Geir Ellingsrud）和斯泰因·阿里尔·斯特勒默（Stein Arild Strømme）在会上公布了他们对舒伯特问题的答案时，会场气氛一下子高涨起来。他们利用古典的代数工具，推算出答案2682549425，跟物理学家推导的数目相差很远，没有人能肯定哪个才是真正的答案。坎德拉斯、格林和其他镜像对称的拥戴者都不免面带愁容。我用他们的办法重新算了一次，但真的无法找到任何漏洞。但转过头来，不到一个月，埃林斯若德和斯特勒默发现他们用的计算机程序出了错，改正后再算一次，结果得出数字317206375，竟和坎德拉斯他们算的相同！这样，不只对镜像对称，就是对弦理论，大家都投下了信心的一票。
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坎德拉斯的工作其实更为广泛，他们找到的不仅仅是有关直线、圆等能放进五次三维形数目的公式，所有次数曲线数目的公式也找到了。这是一个强而有力、包罗万象的命题，对次数等于1、2和3的情况已经证明了，但其他次数还有待证明。1994年底，马克西姆·孔采维奇（Maxim Kontsevich）把这个命题的其中一部分加上数学的想法，提出了个猜想，名之为同态镜像猜想（homological mirror symmetry conjecture）。
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其实我一直在思考如何证明由镜像对称得到的舒伯特问题的公式，它和上述的同态镜像猜想具有不同的形式。坎德拉斯和他的合作者只能从物理猜想这个公式，但是没有严格的数学推导，顶多只能算是数学上的一个猜想。和曾做我博士后的连文豪和学生刘克锋探讨过后，我们决定放手一搏。这个题目除了本身的兴趣之外，证明也会赋予由弦理论所引发的镜像对称严格的数学基础，这便是我考究这问题背后的动机。
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我们在这问题上的工作引发了一段插曲。1996年3月，在一篇上传于“数学档案”（arXiv）的文章中，伯克利的几何学者亚历山大·吉文特尔（Alexander Givental）声称就镜像猜想做出了证明。连、刘和我很细心地看了文章，但和其他人一样，我们没法搞清楚这篇文章的正确性，深感疑惑。和其他同行谈及此文时，他们大部分都有同感，虽然有些作者的朋友持不同意见，但是他们也没有办法将文章的内容解释清楚。
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我们曾请吉文特尔厘清某些至为晦涩的步骤，可是他的回答并不足以重构整个证明，因此我们决定从头开始。一个独立的镜像对称猜想的证明在一年之后面世。有人说吉文特尔的证明是这猜想第一个完整的证明，有人却说我们的证明才是第一个完整的证明，为这事件盖棺定论。我们或者可称这两篇论文的作者一起证明了这猜想。
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或许还是有些人要挑起纷争，但是我没有兴趣在这些事情上纠缠不清。我要解决数学上的重要问题，还有更大的困惑待我们去破解。镜像猜想的证明，使坎德拉斯的公式得到证实，可以看到不同次数曲线在五次三维形中的数目并不是随便的，它服从某些巧妙的数学式子，而这些式子却是由所谓镜像对称所启发，由物理学家找到的。这个猜想的证明可以说是一个里程碑，把物理上的直觉结果用另外的方法验证了，但它并没有触及镜像对称的本质。我一直在想如何用几何方法去解释镜像对称这种现象，这个同步进行的工作，在下文将会论及。
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1995年，我到意大利的里雅斯特参加了瓦法等人组织的镜像对称会议，在会议上见到爱德华·威滕，他告诉我他和乔·波尔钦斯基（Joe Polchinsky）及其他人在发展一种叫“膜”的新理论。膜指某些特殊种类的各种维数的曲面，如超对称的极小子流形之类，它们的重要性在弦理论和其他物理科目中日渐显现。物理学家对膜理论产生兴趣，理由之一是它大大地推广了弦理论，一维膜或所谓“一膜”，即等于弦。但这理论还有其他基本的对象，二膜状如薄膜或纸张，三膜如三维的空间，诸如此类。如此一来，学者手头研究的对象愈来愈多，理论亦愈丰富了。
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威滕谈到了其他物理学者斯特鲁明格、卡特琳·贝克尔（Katrin Becker）、梅拉妮·贝克尔（Melanie Becker）等人对膜理论的一些新想法，并问我这些想法从几何的观点看是否有意义及自然，我对他说那是再自然不过的。过了一会，才想起数学家劳森和 F.里斯·哈维（F. Reese Harvey）早就想到本质上相同的东西，只不过他们称之为特殊拉格朗日圆环（special Lagrangian cycles）而不叫膜罢了。
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我开始思考这些特殊拉格朗日圆环，是否和弦理论中的卡拉比—丘流形的内在结构有关。我从意大利回到哈佛后，迅即找到我的博士后埃里克·扎斯诺（Eric Zaslow）展开工作，其中我们取得进展的，是卡拉比—丘流形中的“子流形”，在镜像的卡拉比—丘流形中的对应物是什么。例如，一个三维的车胎，或甜甜圈，在镜像中变成一点。
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