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此图旨在说明在曲面上找曲线或直线的一般概念，图中的曲面和文内讨论的不同。图中显示的是19世纪枚举几何的一个著名结果，阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）和乔治·萨蒙（George Salmon）证明在三次曲面上刚可容纳27条直线。其后赫尔曼·舒伯特推广了这个结果，后人称之为凯莱—萨蒙定理。（引自理查德·帕莱和3D—XplorMath Consortium，特此鸣谢）
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这立即引起我的关注，因为如果他们的结论是正确的话，那便足以说明镜像对称可用于其他枚举几何的问题上了。对我来说，好好搞清楚这个崭新的概念，顿时变成当务之急了。
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差不多就在这时，辛格问我可不可以在MSRI举办一个以数学物理为主题的会议。他原来的想法是把主题放在“规范场论”上，这比较接近量子场论和基本粒子。但当前镜像对称的新发展实在令人鼓舞，我提议把主题改变一下。辛格对这题目并不陌生，他刚在哈佛听过格林的演讲。我跟他再多说了一点详情，他立即同意以镜像对称为主题在MSRI搞一个一星期长的会议，时间是1991年5月，并提议我来当会议的主席。
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这次会议充满火药味。由于镜像对称早期的工作都是由物理学家如格林、普莱泽、坎德拉斯等人完成的，数学家不大相信这些结果，也不情愿把这些想法用于他们的领域如枚举几何和代数几何上去。说到底，这种犹豫不决的态度，背后源于数学家总觉得物理学家不够严谨。
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到了两位挪威数学家盖尔·埃林斯若德（Geir Ellingsrud）和斯泰因·阿里尔·斯特勒默（Stein Arild Strømme）在会上公布了他们对舒伯特问题的答案时，会场气氛一下子高涨起来。他们利用古典的代数工具，推算出答案2682549425，跟物理学家推导的数目相差很远，没有人能肯定哪个才是真正的答案。坎德拉斯、格林和其他镜像对称的拥戴者都不免面带愁容。我用他们的办法重新算了一次，但真的无法找到任何漏洞。但转过头来，不到一个月，埃林斯若德和斯特勒默发现他们用的计算机程序出了错，改正后再算一次，结果得出数字317206375，竟和坎德拉斯他们算的相同！这样，不只对镜像对称，就是对弦理论，大家都投下了信心的一票。
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坎德拉斯的工作其实更为广泛，他们找到的不仅仅是有关直线、圆等能放进五次三维形数目的公式，所有次数曲线数目的公式也找到了。这是一个强而有力、包罗万象的命题，对次数等于1、2和3的情况已经证明了，但其他次数还有待证明。1994年底，马克西姆·孔采维奇（Maxim Kontsevich）把这个命题的其中一部分加上数学的想法，提出了个猜想，名之为同态镜像猜想（homological mirror symmetry conjecture）。
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其实我一直在思考如何证明由镜像对称得到的舒伯特问题的公式，它和上述的同态镜像猜想具有不同的形式。坎德拉斯和他的合作者只能从物理猜想这个公式，但是没有严格的数学推导，顶多只能算是数学上的一个猜想。和曾做我博士后的连文豪和学生刘克锋探讨过后，我们决定放手一搏。这个题目除了本身的兴趣之外，证明也会赋予由弦理论所引发的镜像对称严格的数学基础，这便是我考究这问题背后的动机。
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我们在这问题上的工作引发了一段插曲。1996年3月，在一篇上传于“数学档案”（arXiv）的文章中，伯克利的几何学者亚历山大·吉文特尔（Alexander Givental）声称就镜像猜想做出了证明。连、刘和我很细心地看了文章，但和其他人一样，我们没法搞清楚这篇文章的正确性，深感疑惑。和其他同行谈及此文时，他们大部分都有同感，虽然有些作者的朋友持不同意见，但是他们也没有办法将文章的内容解释清楚。
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我们曾请吉文特尔厘清某些至为晦涩的步骤，可是他的回答并不足以重构整个证明，因此我们决定从头开始。一个独立的镜像对称猜想的证明在一年之后面世。有人说吉文特尔的证明是这猜想第一个完整的证明，有人却说我们的证明才是第一个完整的证明，为这事件盖棺定论。我们或者可称这两篇论文的作者一起证明了这猜想。
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或许还是有些人要挑起纷争，但是我没有兴趣在这些事情上纠缠不清。我要解决数学上的重要问题，还有更大的困惑待我们去破解。镜像猜想的证明，使坎德拉斯的公式得到证实，可以看到不同次数曲线在五次三维形中的数目并不是随便的，它服从某些巧妙的数学式子，而这些式子却是由所谓镜像对称所启发，由物理学家找到的。这个猜想的证明可以说是一个里程碑，把物理上的直觉结果用另外的方法验证了，但它并没有触及镜像对称的本质。我一直在想如何用几何方法去解释镜像对称这种现象，这个同步进行的工作，在下文将会论及。
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1995年，我到意大利的里雅斯特参加了瓦法等人组织的镜像对称会议，在会议上见到爱德华·威滕，他告诉我他和乔·波尔钦斯基（Joe Polchinsky）及其他人在发展一种叫“膜”的新理论。膜指某些特殊种类的各种维数的曲面，如超对称的极小子流形之类，它们的重要性在弦理论和其他物理科目中日渐显现。物理学家对膜理论产生兴趣，理由之一是它大大地推广了弦理论，一维膜或所谓“一膜”，即等于弦。但这理论还有其他基本的对象，二膜状如薄膜或纸张，三膜如三维的空间，诸如此类。如此一来，学者手头研究的对象愈来愈多，理论亦愈丰富了。
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威滕谈到了其他物理学者斯特鲁明格、卡特琳·贝克尔（Katrin Becker）、梅拉妮·贝克尔（Melanie Becker）等人对膜理论的一些新想法，并问我这些想法从几何的观点看是否有意义及自然，我对他说那是再自然不过的。过了一会，才想起数学家劳森和 F.里斯·哈维（F. Reese Harvey）早就想到本质上相同的东西，只不过他们称之为特殊拉格朗日圆环（special Lagrangian cycles）而不叫膜罢了。
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我开始思考这些特殊拉格朗日圆环，是否和弦理论中的卡拉比—丘流形的内在结构有关。我从意大利回到哈佛后，迅即找到我的博士后埃里克·扎斯诺（Eric Zaslow）展开工作，其中我们取得进展的，是卡拉比—丘流形中的“子流形”，在镜像的卡拉比—丘流形中的对应物是什么。例如，一个三维的车胎，或甜甜圈，在镜像中变成一点。
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不久之后，斯特鲁明格来到哈佛的物理系工作。我们三人携手，尝试从几何上赋予镜像对称一个简单明白的解释，其中主要的成就是SYZ（斯特鲁明格—丘—扎斯诺）猜想，其内容是有关镜像对称如何生成，和如何构造镜像流形的。基本的做法是把一个六维的卡拉比—丘流形分拆成一族三维的特殊拉格朗日圆环，然后以一定的方法改变它们，再放回一处。如果一切步骤无误，就可以得到原来流形的镜像流形。斯特鲁明格、扎斯诺和我的方法，廓清了每对镜像流形之间微妙的几何关系，由此给出镜像对称如何起作用的线索。很多人看了我们1996年的文章后，都为如此简洁的方法而感到意外。
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斯特鲁明格指出：“有了SYZ猜想，镜像对称的神秘感褪了一层。数学家尤其喜爱它，因为它提供了镜像对称生成的几何图像，而他们可以用这些图像来解释从前弦理论提供的物理看法。”
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SYZ猜想，以提出者斯特鲁明格、丘成桐和扎斯诺命名。它描述如何把复杂的卡拉比—丘空间分拆成“子流形”。由于无法画出六维的卡拉比—丘流形，此处显示的是二（实）维的车胎或甜甜圈。构成甜甜圈的子流形是圆，这些圆沿着一条轴排列，这条轴构成空间B，它也是一个圆。空间B上每一点对应于不同的较小的圆，而整个流形（甜甜圈）即由所有这些小圆合成。（原图引自顾险峰和尹晓田）
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二十年过去了，猜想的一些特殊情况陆续得到证明，但一般的情况还有待证明。不过，所有迹象都显示，我们提出的方向是正确而且富于成果的。它仍是活跃的题目，你或可相信我的弟子，密歇根大学的季理真所言，这猜想乃是“整整一世代镜像对称工作者的指导原则”。我的另一个弟子梁乃聪持续地发表有关这猜想的美妙论文，并且宣称SYZ猜想和数论的朗兰兹纲领同样重要，指引着一代又一代的数学家在融合几何、分析和物理学的工作中努力。由西蒙斯基金会（吉姆·西蒙斯创立）资助的SYZ猜想和有关的“同态镜像对称”工作坊，每年都会举办好几次，哈佛、伯克利、布兰代斯、哥伦比亚、石溪、宾夕法尼亚、迈阿密等大学和法国的IHES，都有人来参加。
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我的同行连文豪说：“过去几年，镜像对称的几何方面和代数方面渐渐走近了，把镜像对称用一条（复杂的）公式来表达的工作渐见成果。”
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镜像对称对枚举几何、代数几何及其他很多数学分析都有惊人的、出乎意料的巨大影响。现在世界各地都常常召开有关镜像对称和镜对猜想的数学会议。数学舞台这精彩的一角来自弦理论，以及我的博士后格林和合作者普莱泽在1980年代后期的工作。回想起来，令人感到欣慰。虽然迄今，弦理论还未被公认为“无所不包的理论”，但它的应用已见于数学和物理的许多领域之中，在那些领域的研究正方兴未艾。想到这儿已令人激动，何况是身居其中呢。
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斯特鲁明格在1997年到了哈佛的物理系。我开始对他十年前引入的一系列方程感兴趣，这些方程和弦理论中的一些更广泛的解有关，并不局限于卡拉比—丘流形。卡拉比—丘流形是凯勒的，意味着它拥有一种内在的对称，但斯特鲁明格方程对非凯勒的流形也成立，我们对这类流形所知甚少。可以探索新的事物，这便是它把我吸引住的地方。在代数几何中，研究凯勒几何的工具甚多，但非凯勒几何的工具则甚为缺乏，可说仍是一片不毛之地。
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致力于这方面的研究，也是因为数学是测试弦理论正确性的一个好方法。由于牵涉的能量出奇地高和距离极度地接近，时至今日，人们仍无法设计实验来检测这个理论。故此，现在采取的做法是，假定它是对的，然后看看它能推演出什么数学的结果；如果推演出来的数学结果是合理的，则一开始时做出的假定便有些谱。当然，最终还是要从大自然中寻求答案，即以实验检测，但至少数学能告诉你走的方向大致对不对。直到今天，弦理论在数学上是没有矛盾的。
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斯特鲁明格的方程并不容易处理，不过弄了多年后，终于，我先和学生李骏（斯坦福教授），继与傅吉祥（曾任哈佛博士后，现为复旦大学教授）合作，找到了一些重要的解。
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