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我们在这问题上的工作引发了一段插曲。1996年3月,在一篇上传于“数学档案”(arXiv)的文章中,伯克利的几何学者亚历山大·吉文特尔(Alexander Givental)声称就镜像猜想做出了证明。连、刘和我很细心地看了文章,但和其他人一样,我们没法搞清楚这篇文章的正确性,深感疑惑。和其他同行谈及此文时,他们大部分都有同感,虽然有些作者的朋友持不同意见,但是他们也没有办法将文章的内容解释清楚。
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我们曾请吉文特尔厘清某些至为晦涩的步骤,可是他的回答并不足以重构整个证明,因此我们决定从头开始。一个独立的镜像对称猜想的证明在一年之后面世。有人说吉文特尔的证明是这猜想第一个完整的证明,有人却说我们的证明才是第一个完整的证明,为这事件盖棺定论。我们或者可称这两篇论文的作者一起证明了这猜想。
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或许还是有些人要挑起纷争,但是我没有兴趣在这些事情上纠缠不清。我要解决数学上的重要问题,还有更大的困惑待我们去破解。镜像猜想的证明,使坎德拉斯的公式得到证实,可以看到不同次数曲线在五次三维形中的数目并不是随便的,它服从某些巧妙的数学式子,而这些式子却是由所谓镜像对称所启发,由物理学家找到的。这个猜想的证明可以说是一个里程碑,把物理上的直觉结果用另外的方法验证了,但它并没有触及镜像对称的本质。我一直在想如何用几何方法去解释镜像对称这种现象,这个同步进行的工作,在下文将会论及。
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1995年,我到意大利的里雅斯特参加了瓦法等人组织的镜像对称会议,在会议上见到爱德华·威滕,他告诉我他和乔·波尔钦斯基(Joe Polchinsky)及其他人在发展一种叫“膜”的新理论。膜指某些特殊种类的各种维数的曲面,如超对称的极小子流形之类,它们的重要性在弦理论和其他物理科目中日渐显现。物理学家对膜理论产生兴趣,理由之一是它大大地推广了弦理论,一维膜或所谓“一膜”,即等于弦。但这理论还有其他基本的对象,二膜状如薄膜或纸张,三膜如三维的空间,诸如此类。如此一来,学者手头研究的对象愈来愈多,理论亦愈丰富了。
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威滕谈到了其他物理学者斯特鲁明格、卡特琳·贝克尔(Katrin Becker)、梅拉妮·贝克尔(Melanie Becker)等人对膜理论的一些新想法,并问我这些想法从几何的观点看是否有意义及自然,我对他说那是再自然不过的。过了一会,才想起数学家劳森和 F.里斯·哈维(F. Reese Harvey)早就想到本质上相同的东西,只不过他们称之为特殊拉格朗日圆环(special Lagrangian cycles)而不叫膜罢了。
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我开始思考这些特殊拉格朗日圆环,是否和弦理论中的卡拉比—丘流形的内在结构有关。我从意大利回到哈佛后,迅即找到我的博士后埃里克·扎斯诺(Eric Zaslow)展开工作,其中我们取得进展的,是卡拉比—丘流形中的“子流形”,在镜像的卡拉比—丘流形中的对应物是什么。例如,一个三维的车胎,或甜甜圈,在镜像中变成一点。
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不久之后,斯特鲁明格来到哈佛的物理系工作。我们三人携手,尝试从几何上赋予镜像对称一个简单明白的解释,其中主要的成就是SYZ(斯特鲁明格—丘—扎斯诺)猜想,其内容是有关镜像对称如何生成,和如何构造镜像流形的。基本的做法是把一个六维的卡拉比—丘流形分拆成一族三维的特殊拉格朗日圆环,然后以一定的方法改变它们,再放回一处。如果一切步骤无误,就可以得到原来流形的镜像流形。斯特鲁明格、扎斯诺和我的方法,廓清了每对镜像流形之间微妙的几何关系,由此给出镜像对称如何起作用的线索。很多人看了我们1996年的文章后,都为如此简洁的方法而感到意外。
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斯特鲁明格指出:“有了SYZ猜想,镜像对称的神秘感褪了一层。数学家尤其喜爱它,因为它提供了镜像对称生成的几何图像,而他们可以用这些图像来解释从前弦理论提供的物理看法。”
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SYZ猜想,以提出者斯特鲁明格、丘成桐和扎斯诺命名。它描述如何把复杂的卡拉比—丘空间分拆成“子流形”。由于无法画出六维的卡拉比—丘流形,此处显示的是二(实)维的车胎或甜甜圈。构成甜甜圈的子流形是圆,这些圆沿着一条轴排列,这条轴构成空间B,它也是一个圆。空间B上每一点对应于不同的较小的圆,而整个流形(甜甜圈)即由所有这些小圆合成。(原图引自顾险峰和尹晓田)
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二十年过去了,猜想的一些特殊情况陆续得到证明,但一般的情况还有待证明。不过,所有迹象都显示,我们提出的方向是正确而且富于成果的。它仍是活跃的题目,你或可相信我的弟子,密歇根大学的季理真所言,这猜想乃是“整整一世代镜像对称工作者的指导原则”。我的另一个弟子梁乃聪持续地发表有关这猜想的美妙论文,并且宣称SYZ猜想和数论的朗兰兹纲领同样重要,指引着一代又一代的数学家在融合几何、分析和物理学的工作中努力。由西蒙斯基金会(吉姆·西蒙斯创立)资助的SYZ猜想和有关的“同态镜像对称”工作坊,每年都会举办好几次,哈佛、伯克利、布兰代斯、哥伦比亚、石溪、宾夕法尼亚、迈阿密等大学和法国的IHES,都有人来参加。
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我的同行连文豪说:“过去几年,镜像对称的几何方面和代数方面渐渐走近了,把镜像对称用一条(复杂的)公式来表达的工作渐见成果。”
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镜像对称对枚举几何、代数几何及其他很多数学分析都有惊人的、出乎意料的巨大影响。现在世界各地都常常召开有关镜像对称和镜对猜想的数学会议。数学舞台这精彩的一角来自弦理论,以及我的博士后格林和合作者普莱泽在1980年代后期的工作。回想起来,令人感到欣慰。虽然迄今,弦理论还未被公认为“无所不包的理论”,但它的应用已见于数学和物理的许多领域之中,在那些领域的研究正方兴未艾。想到这儿已令人激动,何况是身居其中呢。
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斯特鲁明格在1997年到了哈佛的物理系。我开始对他十年前引入的一系列方程感兴趣,这些方程和弦理论中的一些更广泛的解有关,并不局限于卡拉比—丘流形。卡拉比—丘流形是凯勒的,意味着它拥有一种内在的对称,但斯特鲁明格方程对非凯勒的流形也成立,我们对这类流形所知甚少。可以探索新的事物,这便是它把我吸引住的地方。在代数几何中,研究凯勒几何的工具甚多,但非凯勒几何的工具则甚为缺乏,可说仍是一片不毛之地。
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致力于这方面的研究,也是因为数学是测试弦理论正确性的一个好方法。由于牵涉的能量出奇地高和距离极度地接近,时至今日,人们仍无法设计实验来检测这个理论。故此,现在采取的做法是,假定它是对的,然后看看它能推演出什么数学的结果;如果推演出来的数学结果是合理的,则一开始时做出的假定便有些谱。当然,最终还是要从大自然中寻求答案,即以实验检测,但至少数学能告诉你走的方向大致对不对。直到今天,弦理论在数学上是没有矛盾的。
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斯特鲁明格的方程并不容易处理,不过弄了多年后,终于,我先和学生李骏(斯坦福教授),继与傅吉祥(曾任哈佛博士后,现为复旦大学教授)合作,找到了一些重要的解。
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傅的工作经多年才修成正果,他不屈不挠,终获成功。中国的学者来美国当博士后研究员,一般都急于求成,文章愈多愈好。(这种情绪,必须指出,并不限于中国学者,“不发表,便消亡”的心态对整个学术界都不利,恢宏或冒险的研究都不敢涉足了。)傅和我工作了两年,我们证明了方程有解。但是仔细检视后,发现别人发表的方程里面有一个符号搞错了,也就是说我们解决了和原来方程相差了一个负号的方程。我们有点失望,傅两手空空回国,以为白干了一场。可是后来,他重回哈佛,继续奋战,这回我们终于成功了,发表了几篇重要的论文。他也应邀在印度海得拉巴的国际数学家大会上发表演说,从此事业蒸蒸日上。我对他坚持到底的印象甚深,也为他的勇气所感动。
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这方面的研究还处于初期阶段,至今我们只能找到斯特鲁明格方程的特殊解。友人梅拉妮·贝克尔是得州A&M大学的弦理论专家,她跟我说,如果我能成功把斯特鲁明格方程的解都找出来,会是比求解卡拉比猜想更伟大的成就。当然,要解决这个难题,无论由我或由别人,成功是没有保证的。而且,卡拉比猜想在数学和物理上的重要性要用好多年才能参透。同样地,对斯特鲁明格方程的工作,就算能完成,也可能要花很长的时间,才能完全了解其中的深意。
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1997年12月,我带上友云和孩子们到华盛顿接受美国国家科学奖章。获得科学上的奖章,之前已经说过,既不会影响我的工作,也不会使我更努力。但这次和其他的奖都不同,它受到当时的美国总统克林顿的尊重,颁奖礼在白宫举行。这一届得奖者中,著名的学者有詹姆斯·沃森(James Watson),DNA双螺旋结构的发现者之一。我的两个孩子在学校都读过生物科,能够见到沃森,他们都很兴奋。我们都读过《双螺旋》一书,我觉得这书不错,尤其是沃森说得坦白,只是我对他与弗朗西斯·克里克(Francis Crick)拿走应归功于罗莎琳德·富兰克林(Rosalind Franklin)的功劳,却若无其事的态度不以为然,就算是再伟大的工作,这样做也不光彩啊。
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在白宫的盛会上,我碰到罗伯特·温伯格(Robert Weinberg),来自麻省理工的著名癌症专家。我和友云与他们夫妇寒暄了一会,他问我怎样看数学教育,我说这十分重要,但这个领域没有成功的原因,乃是所谓搞数学教育的人垄断了这个领域,而“大部分从事数学教育的人只研究如何教数学,而不讲求数学的内容、目标和意义”。温伯格答道:“我太太就是搞数学教育的。”对话的气氛立时僵起来了。
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比尔·克林顿出来讲话之前,副总统阿尔·戈尔给每位得奖者一份证书,我跟戈尔说了些“他是哈佛的毕业生,而我则是哈佛的教授”这类闲谈。但是他似乎听不清楚我在说什么,或是不明白,总之他没有回应。我们等克林顿等了许久,有些客人甚至不耐烦了。到了他最后终于出场时,其人和蔼亲切,片言只语便使四座如沐春风,我想这便是所谓的魅力了。虽然在判断和行为上偶有失误,但克林顿的魅力实在惊人。
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以前我拿到的如菲尔兹奖,数学界以外的人所知不多,但这个奖就不同了,媒体都做了报道。孩子们常常说我是地球上最闷蛋的人,我从事的研究又十分烦琐,这次看到父亲竟周旋于名人之间,更不要说美国的总统了。大儿子明诚说,“爸爸常常觉得自己了不起”,到目前为止都拿不出什么证据。但是现在他改观了,他对弟弟正熙说,“或者他确实很行”。
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在贝尔蒙特的邻居,是从来不会理睬我的。他们突然在地方新闻上,看到我获奖的消息,才知道这个难以了解又不大和邻人打交道的中国佬,原来非等闲之辈。和许多来自中国的人一样,我和美国这种郊区生活格格不入。我不玩网球和高尔夫球,也不碰美式足球和棒球,除了偶尔交谈外,没有什么和邻人交往的机会。虽然住处近在咫尺,内心却距千里之遥。这个奖并没有改变这种状况,但至少,他们对我的了解会多了一点,至少知道这人有着不平凡的成就。
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孩子也常抱怨说他们不适应,虽然我已经努力使他们参与种种“正常”的美式活动,带他们到迪士尼和海洋世界,还有圣迭戈动物园。我带他们到剑桥的新塘影院看电影,到附近的录像带店租流行电影看。我也开车载他们去城中到处走,练习或参加游泳、足球和其他运动的比赛,甚至带他们去滑雪。我整天坐在大楼里面做数学,而他们则在雪坡上滑行。正熙有次说没有孩子来我家玩,因为家中没有足够多的玩具。于是我们花了数百元,购置了各种时下流行的玩意,可是仍然吸引不到别家的孩子来。
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