1705578350
1705578351
我们在这问题上的工作引发了一段插曲。1996年3月，在一篇上传于“数学档案”（arXiv）的文章中，伯克利的几何学者亚历山大·吉文特尔（Alexander Givental）声称就镜像猜想做出了证明。连、刘和我很细心地看了文章，但和其他人一样，我们没法搞清楚这篇文章的正确性，深感疑惑。和其他同行谈及此文时，他们大部分都有同感，虽然有些作者的朋友持不同意见，但是他们也没有办法将文章的内容解释清楚。
1705578352
1705578353
我们曾请吉文特尔厘清某些至为晦涩的步骤，可是他的回答并不足以重构整个证明，因此我们决定从头开始。一个独立的镜像对称猜想的证明在一年之后面世。有人说吉文特尔的证明是这猜想第一个完整的证明，有人却说我们的证明才是第一个完整的证明，为这事件盖棺定论。我们或者可称这两篇论文的作者一起证明了这猜想。
1705578354
1705578355
或许还是有些人要挑起纷争，但是我没有兴趣在这些事情上纠缠不清。我要解决数学上的重要问题，还有更大的困惑待我们去破解。镜像猜想的证明，使坎德拉斯的公式得到证实，可以看到不同次数曲线在五次三维形中的数目并不是随便的，它服从某些巧妙的数学式子，而这些式子却是由所谓镜像对称所启发，由物理学家找到的。这个猜想的证明可以说是一个里程碑，把物理上的直觉结果用另外的方法验证了，但它并没有触及镜像对称的本质。我一直在想如何用几何方法去解释镜像对称这种现象，这个同步进行的工作，在下文将会论及。
1705578356
1705578357
1995年，我到意大利的里雅斯特参加了瓦法等人组织的镜像对称会议，在会议上见到爱德华·威滕，他告诉我他和乔·波尔钦斯基（Joe Polchinsky）及其他人在发展一种叫“膜”的新理论。膜指某些特殊种类的各种维数的曲面，如超对称的极小子流形之类，它们的重要性在弦理论和其他物理科目中日渐显现。物理学家对膜理论产生兴趣，理由之一是它大大地推广了弦理论，一维膜或所谓“一膜”，即等于弦。但这理论还有其他基本的对象，二膜状如薄膜或纸张，三膜如三维的空间，诸如此类。如此一来，学者手头研究的对象愈来愈多，理论亦愈丰富了。
1705578358
1705578359
威滕谈到了其他物理学者斯特鲁明格、卡特琳·贝克尔（Katrin Becker）、梅拉妮·贝克尔（Melanie Becker）等人对膜理论的一些新想法，并问我这些想法从几何的观点看是否有意义及自然，我对他说那是再自然不过的。过了一会，才想起数学家劳森和 F.里斯·哈维（F. Reese Harvey）早就想到本质上相同的东西，只不过他们称之为特殊拉格朗日圆环（special Lagrangian cycles）而不叫膜罢了。
1705578360
1705578361
我开始思考这些特殊拉格朗日圆环，是否和弦理论中的卡拉比—丘流形的内在结构有关。我从意大利回到哈佛后，迅即找到我的博士后埃里克·扎斯诺（Eric Zaslow）展开工作，其中我们取得进展的，是卡拉比—丘流形中的“子流形”，在镜像的卡拉比—丘流形中的对应物是什么。例如，一个三维的车胎，或甜甜圈，在镜像中变成一点。
1705578362
1705578363
不久之后，斯特鲁明格来到哈佛的物理系工作。我们三人携手，尝试从几何上赋予镜像对称一个简单明白的解释，其中主要的成就是SYZ（斯特鲁明格—丘—扎斯诺）猜想，其内容是有关镜像对称如何生成，和如何构造镜像流形的。基本的做法是把一个六维的卡拉比—丘流形分拆成一族三维的特殊拉格朗日圆环，然后以一定的方法改变它们，再放回一处。如果一切步骤无误，就可以得到原来流形的镜像流形。斯特鲁明格、扎斯诺和我的方法，廓清了每对镜像流形之间微妙的几何关系，由此给出镜像对称如何起作用的线索。很多人看了我们1996年的文章后，都为如此简洁的方法而感到意外。
1705578364
1705578365
斯特鲁明格指出：“有了SYZ猜想，镜像对称的神秘感褪了一层。数学家尤其喜爱它，因为它提供了镜像对称生成的几何图像，而他们可以用这些图像来解释从前弦理论提供的物理看法。”
1705578366
1705578367
1705578368
1705578369
1705578370
SYZ猜想，以提出者斯特鲁明格、丘成桐和扎斯诺命名。它描述如何把复杂的卡拉比—丘空间分拆成“子流形”。由于无法画出六维的卡拉比—丘流形，此处显示的是二（实）维的车胎或甜甜圈。构成甜甜圈的子流形是圆，这些圆沿着一条轴排列，这条轴构成空间B，它也是一个圆。空间B上每一点对应于不同的较小的圆，而整个流形（甜甜圈）即由所有这些小圆合成。（原图引自顾险峰和尹晓田）
1705578371
1705578372
二十年过去了，猜想的一些特殊情况陆续得到证明，但一般的情况还有待证明。不过，所有迹象都显示，我们提出的方向是正确而且富于成果的。它仍是活跃的题目，你或可相信我的弟子，密歇根大学的季理真所言，这猜想乃是“整整一世代镜像对称工作者的指导原则”。我的另一个弟子梁乃聪持续地发表有关这猜想的美妙论文，并且宣称SYZ猜想和数论的朗兰兹纲领同样重要，指引着一代又一代的数学家在融合几何、分析和物理学的工作中努力。由西蒙斯基金会（吉姆·西蒙斯创立）资助的SYZ猜想和有关的“同态镜像对称”工作坊，每年都会举办好几次，哈佛、伯克利、布兰代斯、哥伦比亚、石溪、宾夕法尼亚、迈阿密等大学和法国的IHES，都有人来参加。
1705578373
1705578374
我的同行连文豪说：“过去几年，镜像对称的几何方面和代数方面渐渐走近了，把镜像对称用一条（复杂的）公式来表达的工作渐见成果。”
1705578375
1705578376
镜像对称对枚举几何、代数几何及其他很多数学分析都有惊人的、出乎意料的巨大影响。现在世界各地都常常召开有关镜像对称和镜对猜想的数学会议。数学舞台这精彩的一角来自弦理论，以及我的博士后格林和合作者普莱泽在1980年代后期的工作。回想起来，令人感到欣慰。虽然迄今，弦理论还未被公认为“无所不包的理论”，但它的应用已见于数学和物理的许多领域之中，在那些领域的研究正方兴未艾。想到这儿已令人激动，何况是身居其中呢。
1705578377
1705578378
斯特鲁明格在1997年到了哈佛的物理系。我开始对他十年前引入的一系列方程感兴趣，这些方程和弦理论中的一些更广泛的解有关，并不局限于卡拉比—丘流形。卡拉比—丘流形是凯勒的，意味着它拥有一种内在的对称，但斯特鲁明格方程对非凯勒的流形也成立，我们对这类流形所知甚少。可以探索新的事物，这便是它把我吸引住的地方。在代数几何中，研究凯勒几何的工具甚多，但非凯勒几何的工具则甚为缺乏，可说仍是一片不毛之地。
1705578379
1705578380
致力于这方面的研究，也是因为数学是测试弦理论正确性的一个好方法。由于牵涉的能量出奇地高和距离极度地接近，时至今日，人们仍无法设计实验来检测这个理论。故此，现在采取的做法是，假定它是对的，然后看看它能推演出什么数学的结果；如果推演出来的数学结果是合理的，则一开始时做出的假定便有些谱。当然，最终还是要从大自然中寻求答案，即以实验检测，但至少数学能告诉你走的方向大致对不对。直到今天，弦理论在数学上是没有矛盾的。
1705578381
1705578382
斯特鲁明格的方程并不容易处理，不过弄了多年后，终于，我先和学生李骏（斯坦福教授），继与傅吉祥（曾任哈佛博士后，现为复旦大学教授）合作，找到了一些重要的解。
1705578383
1705578384
傅的工作经多年才修成正果，他不屈不挠，终获成功。中国的学者来美国当博士后研究员，一般都急于求成，文章愈多愈好。（这种情绪，必须指出，并不限于中国学者，“不发表，便消亡”的心态对整个学术界都不利，恢宏或冒险的研究都不敢涉足了。）傅和我工作了两年，我们证明了方程有解。但是仔细检视后，发现别人发表的方程里面有一个符号搞错了，也就是说我们解决了和原来方程相差了一个负号的方程。我们有点失望，傅两手空空回国，以为白干了一场。可是后来，他重回哈佛，继续奋战，这回我们终于成功了，发表了几篇重要的论文。他也应邀在印度海得拉巴的国际数学家大会上发表演说，从此事业蒸蒸日上。我对他坚持到底的印象甚深，也为他的勇气所感动。
1705578385
1705578386
这方面的研究还处于初期阶段，至今我们只能找到斯特鲁明格方程的特殊解。友人梅拉妮·贝克尔是得州A&M大学的弦理论专家，她跟我说，如果我能成功把斯特鲁明格方程的解都找出来，会是比求解卡拉比猜想更伟大的成就。当然，要解决这个难题，无论由我或由别人，成功是没有保证的。而且，卡拉比猜想在数学和物理上的重要性要用好多年才能参透。同样地，对斯特鲁明格方程的工作，就算能完成，也可能要花很长的时间，才能完全了解其中的深意。
1705578387
1705578388
1997年12月，我带上友云和孩子们到华盛顿接受美国国家科学奖章。获得科学上的奖章，之前已经说过，既不会影响我的工作，也不会使我更努力。但这次和其他的奖都不同，它受到当时的美国总统克林顿的尊重，颁奖礼在白宫举行。这一届得奖者中，著名的学者有詹姆斯·沃森（James Watson），DNA双螺旋结构的发现者之一。我的两个孩子在学校都读过生物科，能够见到沃森，他们都很兴奋。我们都读过《双螺旋》一书，我觉得这书不错，尤其是沃森说得坦白，只是我对他与弗朗西斯·克里克（Francis Crick）拿走应归功于罗莎琳德·富兰克林（Rosalind Franklin）的功劳，却若无其事的态度不以为然，就算是再伟大的工作，这样做也不光彩啊。
1705578389
1705578390
在白宫的盛会上，我碰到罗伯特·温伯格（Robert Weinberg），来自麻省理工的著名癌症专家。我和友云与他们夫妇寒暄了一会，他问我怎样看数学教育，我说这十分重要，但这个领域没有成功的原因，乃是所谓搞数学教育的人垄断了这个领域，而“大部分从事数学教育的人只研究如何教数学，而不讲求数学的内容、目标和意义”。温伯格答道：“我太太就是搞数学教育的。”对话的气氛立时僵起来了。
1705578391
1705578392
比尔·克林顿出来讲话之前，副总统阿尔·戈尔给每位得奖者一份证书，我跟戈尔说了些“他是哈佛的毕业生，而我则是哈佛的教授”这类闲谈。但是他似乎听不清楚我在说什么，或是不明白，总之他没有回应。我们等克林顿等了许久，有些客人甚至不耐烦了。到了他最后终于出场时，其人和蔼亲切，片言只语便使四座如沐春风，我想这便是所谓的魅力了。虽然在判断和行为上偶有失误，但克林顿的魅力实在惊人。
1705578393
1705578394
以前我拿到的如菲尔兹奖，数学界以外的人所知不多，但这个奖就不同了，媒体都做了报道。孩子们常常说我是地球上最闷蛋的人，我从事的研究又十分烦琐，这次看到父亲竟周旋于名人之间，更不要说美国的总统了。大儿子明诚说，“爸爸常常觉得自己了不起”，到目前为止都拿不出什么证据。但是现在他改观了，他对弟弟正熙说，“或者他确实很行”。
1705578395
1705578396
在贝尔蒙特的邻居，是从来不会理睬我的。他们突然在地方新闻上，看到我获奖的消息，才知道这个难以了解又不大和邻人打交道的中国佬，原来非等闲之辈。和许多来自中国的人一样，我和美国这种郊区生活格格不入。我不玩网球和高尔夫球，也不碰美式足球和棒球，除了偶尔交谈外，没有什么和邻人交往的机会。虽然住处近在咫尺，内心却距千里之遥。这个奖并没有改变这种状况，但至少，他们对我的了解会多了一点，至少知道这人有着不平凡的成就。
1705578397
1705578398
孩子也常抱怨说他们不适应，虽然我已经努力使他们参与种种“正常”的美式活动，带他们到迪士尼和海洋世界，还有圣迭戈动物园。我带他们到剑桥的新塘影院看电影，到附近的录像带店租流行电影看。我也开车载他们去城中到处走，练习或参加游泳、足球和其他运动的比赛，甚至带他们去滑雪。我整天坐在大楼里面做数学，而他们则在雪坡上滑行。正熙有次说没有孩子来我家玩，因为家中没有足够多的玩具。于是我们花了数百元，购置了各种时下流行的玩意，可是仍然吸引不到别家的孩子来。
1705578399