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1705578301 有一段日子,母亲的病况改善了,肿瘤似在消退之中。1991年初,我回到哈佛教学,成瑶则陪伴母亲。但是,到了5月课完了,她的癌细胞又活跃起来了,我立即赶回加州陪伴。我们见了医生,他带来了不幸的预测,已无能为力了。现在,只剩下一个主要的决定,那就是:“要不要以必要的手段来维持生命呢?”母亲说不,以巨大的痛苦来稍稍延长那必然到来的一刻并不值得,她只想再一次看看孙儿,我们便让孙儿看她去了。我答应她走后会照顾弟弟妹妹。
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1705578303 母亲于1991年6月2日去世,享年七十,以现代的标准来说是早了些。古语有云:“人生七十古来稀。”这句话或者已经过时。美国人的平均寿命是七十六,她没能活过这年纪。
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1705578305 她离开前向亲友道别,感谢他们的支持和关爱。而差不多所有近亲,包括儿女、孙儿,都于弥留的时刻在床边守候。母亲很痛楚,但看见孩子到来后安静了些。眼看所有儿女和他们的孩子们都得到很好的照顾,她神态变得安详。儿孙围绕在旁,她从此亦无牵挂,不久就去世了。
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1705578307 我们花了几天安排葬礼。那个曾经提议我养鸭的大舅住在加州的奥克兰,他没有出席仪式,舅母代表他来了。她对母亲的逝世,并没有任何哀伤的表示。她解释道:“我没有早些来,看见垂死的人会令人不快。”在这样的场合说这样的话当然不合礼数,但毕竟这是她的心里话。其他人则神情肃穆。十岁的明诚把我们的悲恸写在信上:“今天是非常、非常悲伤的日子,笑声都变成了悲泣。”
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1705578309 母亲葬礼刚过,我们便要决定如何安放她的骨灰。最理想的做法,乃是把骨灰葬在香港,和父亲在一起,可惜未能实现。我们也想过把父亲的骨灰移葬美国,但想深一层,父亲和美国全无渊源,他从未学过英语,也没想过来美国居住。最后,我们在洛杉矶的坟场买了一块小小的土地,把母亲的骨灰葬在那里,近邻有不少炎黄子孙在长眠。有些长辈说,不要葬得这么快,要先等一段日子。我们不懂那些玄妙的传统规矩,到知道时,已经为时已晚了。
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1705578311 只有在这些葬礼事宜都办妥后,才真正感受到丧母的悲恸。我悲痛欲绝,仿佛和父亲过世时相似。只是现在父母皆离我而去,有疑虑时,家中已无长辈可以提供意见,我必须负起维护家族的责任。冷静下来,便知要面对这现实,因为兄弟姊妹散布在不同的地方,很难聚在一起。
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1705578313 细心思考一下母亲最后的日子,我为她大半生辛勤工作、抚养我们而深感歉意。她为家庭差不多献出一切,很少为自己的需要和幸福着想。命蹇的兄长成煜需要她长期照料,几年前才去世。我原来期望母亲能安享晚年,含饴弄孙,闲时打理花草,或是做些赏心的事,但她太命苦了,没机会安享。
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1705578315 母亲是传统的中国妇女。她重男轻女,深信只有儿子才能把家族繁衍下去。她常说我的成就等于她的成就,这是一种异常无私的看法,源自她从小培养的价值观。我全心全意把时间和精力倾注于事业时,深知扬名声、显父母的意义。即是说,愈能有所成就,愈能使父母开怀。父母的付出,激励我努力奋斗,追求卓越。在这方向上,我已不需要进一步的动力。自父亲逝世后,除了少年时荒废了少许日子,我一直在努力。
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1705578317 这时在哈佛,一件令人振奋的工作开展了,它源于我的博士后布莱恩·格林。开始时我没怎么牵涉其中,但不久之后,它成了大热的潮流,很多人包括我都给卷进去了。
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1705578319 格林来到哈佛不久,便和罗恩·普莱泽(Ronen Plesser)合作,后者是物理系卡姆朗·瓦法的研究生。他们在瓦法和其他物理学者包括兰斯·狄克逊(Lance Dixon)、多伦·热普内(Doron Gepner)、沃尔夫冈·莱尔歇(Wolfgang Lerche)、尼古拉斯·沃纳(Nicholas Warner)等人工作的基础上,仔细检视了六维的卡拉比—丘流形。前面说过,这些流形在弦理论中被视为附着在空间上的额外结构。两人把一个卡拉比—丘流形用一种特殊的方式转动,产生了另一个看起来非常不同的卡拉比—丘流形。他们发现这两个流形之间有某种关联,并拥有同样的物理规律。格林和普莱泽称这种现象为“镜像对称”,并就此在1990年发表了一篇论文,两个具有同一物理规律的卡拉比—丘流形被称为“镜像流形”。
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1705578324 镜像对称的简单例子。双四面体(左)具有5个顶点和6个面,而三棱柱(右)则有6个顶点和5个面。这些常见的多面形可以用来构造卡拉比—丘流形及其镜像,其中组成的多面体,其顶点和面的数目和这个卡拉比—丘流形的内部结构有关。(原图引自顾险峰和尹晓田)
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1705578326 镜像对称是“对偶性”的一例,这种现象在弦理论或物理现象中很常见,相同的物理现象可以用两种看起来完全不相干的图像或模型来描述。这种想法令我想起中国古代哲学中“阴阳”的概念,尤其是道家强调貌似相反力量的互补和统一。对偶性在弦理论及其他方面都有惊人的启示,镜像对称在这方面尤其富有成果。
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1705578328 格林和普莱泽取得突破的一年之后,得克萨斯大学的物理学家菲利普·坎德拉斯和三位合作者保罗·格林(Paul Green)、齐妮娅·德拉奥萨(Xenia de la Ossa)和琳达·帕克斯(Linda Parkes)就检验镜像对称进行了大量计算。在工作的过程中,他们利用镜像对称解决了一个长达百年的在“枚举几何”上的难题。枚举几何的主题是决定在几何空间或曲面上物体的数目。坎德拉斯等人解决的问题,具体来说,是要确定在一个五次三维形(quintic 3-fold)上能放进多少条曲线。这样的流形是最简单的卡拉比—丘流形,所谓五次是指空间由五次多项式的根所构成,而三维指这空间的复维数是3,即实维数为6。
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1705578330 这个难题有时也被称作舒伯特问题。事缘19世纪后期,德国数学家赫尔曼·舒伯特(Hermann Schubert)首先破解了最简单的情况,即在五次三维形上能容纳多少条一次的曲线(即直线)。1986年,数学家谢尔登·卡茨(Sheldon Katz)确定了二次曲线(如圆形)在五次三维形上的数目,这个问题当然更难。坎德拉斯及其合作者攻坚的是更进一步的难题,即决定三次曲线能放进五次三维形的数目。
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1705578332 镜像对称是这样发挥作用的。首先,在原来的五次三维形上,曲线有多少条很难计算,但在它的镜像流形上进行计算则容易得多,而这些镜像流形是格林和普莱泽早前找到的。正如格林所说,镜像对称提供了一种方法,可以“巧妙地重组计算,使一切变得容易”。通过在镜像流形而非在原来的流形上进行计算,坎德拉斯小组最终得到精确的结果:在五次三维形上能放进的三次曲线的数目为317206375。
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1705578337 此图旨在说明在曲面上找曲线或直线的一般概念,图中的曲面和文内讨论的不同。图中显示的是19世纪枚举几何的一个著名结果,阿瑟·凯莱(Arthur Cayley)和乔治·萨蒙(George Salmon)证明在三次曲面上刚可容纳27条直线。其后赫尔曼·舒伯特推广了这个结果,后人称之为凯莱—萨蒙定理。(引自理查德·帕莱和3D—XplorMath Consortium,特此鸣谢)
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1705578339 这立即引起我的关注,因为如果他们的结论是正确的话,那便足以说明镜像对称可用于其他枚举几何的问题上了。对我来说,好好搞清楚这个崭新的概念,顿时变成当务之急了。
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1705578341 差不多就在这时,辛格问我可不可以在MSRI举办一个以数学物理为主题的会议。他原来的想法是把主题放在“规范场论”上,这比较接近量子场论和基本粒子。但当前镜像对称的新发展实在令人鼓舞,我提议把主题改变一下。辛格对这题目并不陌生,他刚在哈佛听过格林的演讲。我跟他再多说了一点详情,他立即同意以镜像对称为主题在MSRI搞一个一星期长的会议,时间是1991年5月,并提议我来当会议的主席。
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1705578343 这次会议充满火药味。由于镜像对称早期的工作都是由物理学家如格林、普莱泽、坎德拉斯等人完成的,数学家不大相信这些结果,也不情愿把这些想法用于他们的领域如枚举几何和代数几何上去。说到底,这种犹豫不决的态度,背后源于数学家总觉得物理学家不够严谨。
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1705578345 到了两位挪威数学家盖尔·埃林斯若德(Geir Ellingsrud)和斯泰因·阿里尔·斯特勒默(Stein Arild Strømme)在会上公布了他们对舒伯特问题的答案时,会场气氛一下子高涨起来。他们利用古典的代数工具,推算出答案2682549425,跟物理学家推导的数目相差很远,没有人能肯定哪个才是真正的答案。坎德拉斯、格林和其他镜像对称的拥戴者都不免面带愁容。我用他们的办法重新算了一次,但真的无法找到任何漏洞。但转过头来,不到一个月,埃林斯若德和斯特勒默发现他们用的计算机程序出了错,改正后再算一次,结果得出数字317206375,竟和坎德拉斯他们算的相同!这样,不只对镜像对称,就是对弦理论,大家都投下了信心的一票。
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1705578347 坎德拉斯的工作其实更为广泛,他们找到的不仅仅是有关直线、圆等能放进五次三维形数目的公式,所有次数曲线数目的公式也找到了。这是一个强而有力、包罗万象的命题,对次数等于1、2和3的情况已经证明了,但其他次数还有待证明。1994年底,马克西姆·孔采维奇(Maxim Kontsevich)把这个命题的其中一部分加上数学的想法,提出了个猜想,名之为同态镜像猜想(homological mirror symmetry conjecture)。
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1705578349 其实我一直在思考如何证明由镜像对称得到的舒伯特问题的公式,它和上述的同态镜像猜想具有不同的形式。坎德拉斯和他的合作者只能从物理猜想这个公式,但是没有严格的数学推导,顶多只能算是数学上的一个猜想。和曾做我博士后的连文豪和学生刘克锋探讨过后,我们决定放手一搏。这个题目除了本身的兴趣之外,证明也会赋予由弦理论所引发的镜像对称严格的数学基础,这便是我考究这问题背后的动机。
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