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二维的曲面早在19世纪已为人熟知。庞加莱猜想与三维球面有关，三维球面即是四维球的表面，对一般人来说有点难以想象。正如二维球面由在三维空间中所有和原点距离等于r的点所组成，这些点的坐标（x,y,z）满足方程式x2+y2+z2=r2；类似地，三维球面由所有四维空间中和原点距离等于r的点所组成，这些点的坐标（x,y,z,w）满足方程式x2+y2+z2+w2=r2。可以预见，通过研究这猜想，我们会对三维空间有更深刻的认识。不过，庞加莱早知这猜想的证明并不容易。他说：“这问题会领着我们走得很远。”的确，为了求解这个猜想，人们走过了漫漫长路。
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球面是个二维曲面，它是“单连通”的。这意味着球面上的闭曲线皆可无障碍地在其上缩成一点。
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这个问题的二维情况，早在庞加莱提出猜想前就解决了。高维的情况亦分别在不同的时期解决了。1962年斯蒂芬·斯梅尔对维数大于四的情况证明了猜想。1982年迈克尔·弗里德曼对四维的情况给出了证明，文章刊登在《微分几何学报》（见第七章）。然而，正如庞加莱所料，三维的情况最为棘手，困难在于高维空间能采用的方法并不适用于三维，三维空间相对局促，难以回旋。
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是以三维的庞加莱猜想，是众多失败证明的葬身之地，即如大西洋的百慕大三角，大量飞机和船只在那里长眠。数学家约翰·斯托林斯（John Stallings）曾于1960年证明了维数大于六时的猜想。1966年，他在一篇题为《如何不去证明庞加莱猜想》的文章中，洋洋洒洒地描述了他证明三维猜想时遭遇的种种挫折。
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我对这猜想早有兴趣，会时不时想一下。上面说过，1976年结婚前，我和友云、她父母驾车横跨美国时便如此。但我没有埋首于破解它，原因是从来没有破解猜想的灵感。庞加莱曾形容灵感如“漫漫长夜中的一霎电光，这一霎就是一切”。可是对这问题，在理查德·汉密尔顿创造里奇流之前，我期待的“一霎”始终没有到访过。但是它终于来了，照耀了汉密尔顿宏伟的思维，也照耀了我带领的团队。二十年的辛苦工作，完成了里奇流的奠基工作。然后那更强的电光再次照耀在佩雷尔曼身上，几何分析的力量再次震撼科学界！
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（a）置于车胎/甜甜圈上三个不同的回路（闭曲线）。只有右面的小回路能在车胎上缩成一点，所以车胎是“不连通”的。
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（b）围绕在车胎外圈的回路，由于中间的洞，并不能缩成一点。
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（c）这回路也不能缩成一点，除非把它切开，即改变了它的拓扑。
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我只是扮演了辅助性的角色。理查德·汉密尔顿声言佩雷尔曼“因里奇流获奖（菲尔兹奖），然而对建立整个里奇流的计划而言，没有人像丘的贡献那么大”。这话太客气了。没有人比汉密尔顿有更大的贡献才对。是他创造了整个方法，打下了基础，佩雷尔曼据此前进一步。我的贡献只是帮助汉密尔顿发展这个方法，因为打从一开始，我便看到它辉煌的前景。
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里奇流（见第七章）差不多是汉密尔顿一手一脚发展出来的。这种方法基于微分方程而非标准的拓扑方法，是热方程的一种几何形式。比如你用火枪喷射一块金属板，板上的喷射点很快就会变得很热。接着热便会逐渐从那小地方扩散开去，直到整块板达到热平衡，板上每点的温度都一样。
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里奇流是个类似的平均化过程。有别于使热均匀地分布，它把在几何空间中凹凸状物和不规则的东西都变得光滑。曲率大的区域的曲率逐渐变小，最后整体的曲率就变得均匀如球面了，而球面就是曲率为正常数的曲面。不过，有些凸状物比较顽固，不容易被熨平。恰恰相反，会出现尖刺和折叠，数学上称之为“奇点”，需要特殊的处理，我们会在下面讨论。
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汉密尔顿是在1980年代初着手从事这个计划的。我和他定期见面，讨论在研究当中迫切要解决的问题，提供意见，并指出相关的结果，包括我和李伟光早前完成的工作。总的来说，我会尽全力支持和激励他。我亦送了好几个学生去跟他学习和合作，希望能对这个以十年为期的大计有所贡献。打从1980年代起，我就跟汉密尔顿说，里奇流可能是破解庞加莱猜想的关键。也许不是只有我才看出这关系，又或者这个见解已再明显不过，但朗声说出来，汉密尔顿还是大受鼓舞。我指出，在流动过程中可能出现奇点，了解它们的数目和形状，是研究里奇流最大的挑战。
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在此研究中牵涉到的数学是复杂的微分方程，那是十分麻烦的，熟悉这方面的专家十分少。不过，其中的策略可以用比较直接的讲法来说明：先取一颇为圆的物体，将之放在里奇流内，看看在将曲率平均化的过程中，可否变成球面。而对一般的三维曲面，尤其是非常不规则的，在这个平均化的过程中或会出现钉状物即奇点，它们大部分都可以被拿掉，即利用如约翰·米尔诺引入的割补手术法等方法除去。只要这些步骤能在有限次内完成，就是行之有效的做法。
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但有一种奇点即像雪茄一般的凸状物，却不能用割补的方法除去。在里奇流流动的过程中，曲率一般而言在平均化，但在这些突触中却会不受控制地变大。汉密尔顿指出，所谓“雪茄”的出现，乃是证明庞加莱猜想最大的障碍。它们的出现，意味着利用里奇流不可能达至均匀态的几何，即空间等价于球面。
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但从另一方面看，或可证明这些难缠的“雪茄”根本不会出现，那么问题便会迎刃而解了。事实上，1996年时汉密尔顿已证明，假若“雪茄”不会生成，而且一般的割补方法又适用时，庞加莱猜想的正确性便成立了。我向他提议，处理这些奇点，证明它们不存在的方法，或在于早年我和李伟光研究热方程时，发展出来的一条有力的不等式。他同意了我的见解，并立即着手利用此法。多年后，在我的协助下，他把李—丘不等式推广到张量的情形，成为包含曲率张量的不等式，足以用于庞加莱猜想的证明。
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在里奇流下，凹凸不平的三维流形，其曲率会变得更光滑和更平均。数学家忧虑的是情况会不会出错，尤其是流形会否拉长出现“奇点”，其中连接两圆端的颈部变细而趋于折断。
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1996年，在哈佛数学系一次系务会中，我跟同事说汉密尔顿正向庞加莱猜想和几何化猜想进军，他到哈佛来会对此有帮助，而且对大学也有利。于是从1997年秋开始，汉密尔顿来哈佛当了一年的访问教授。我们定时交流，其后不断交换想法。他暑假会跑到夏威夷去，我也去了几趟。我们不谈里奇流时，他就跑到太平洋冲浪，享受洋流。而我则在海滩休息，当然没那么激烈危险啦。
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1999年，我任哥伦比亚大学的艾伦贝格访问教授，有更多时间与汉密尔顿一起工作。其后，哥伦比亚大学想聘请我，但我与妻子商量后，最终还是婉拒了。汉密尔顿和我仍紧密联系，他的工作步步推进，我有时也给予意见，似乎快到尾声了。2002年11月12日，在没有任何征兆的情况下，我收到格里沙·佩雷尔曼的电邮，我跟佩雷尔曼没有什么交往。汉密尔顿同时也收到类似甚至相同的电邮，其上写道：“附上论文，恳请指教。”文章在一天前上传到“数学档案”网站上，题为《里奇流中的熵公式及其几何应用》。
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据佩雷尔曼所言，文章给出了“几何化猜想证明的简介”。这消息使我，恐怕连同整个数学界，都大吃一惊，我对佩雷尔曼在研究这题目一无所知。几何化猜想比庞加莱猜想更为广泛，把后者包进去了。他之前让人记得的工作属于几何中完全不同的领域。事实上，他曾把他较为人知的一篇论文投寄《微分几何学报》，而我当时正是编辑。我们沟通得很好，佩雷尔曼紧密依从审稿员的意见，补充了证明的详情。
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人们有时称佩雷尔曼为隐士。他于1995年离开伯克利，回到圣彼得堡的家。他是如此低调，大部分人都不知他在干什么，是否还在做数学。
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