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活在现代社会，数学在很多地方日益重要，其中包括生物、化学、经济、工程，当然还有物理，我们不能再对应用数学坐视不理。以前的很多大数学家，如欧拉、高斯、黎曼、庞加莱和希尔伯特等，他们都曾涉足应用领域。有鉴于此，我向外筹募捐款，开拓应用数学的职位。哈佛的院长和教务长都热烈支持这想法，他们十分期望校内有更多跨科目的研究。具体而言，CMSA能填补数学系空白的领域，加上系内同事迈克尔·霍普金斯（Michael Hopkins）、克利福德·陶布斯、姚鸿泽，还有应用数学家和物理学家迈克尔·布雷内（Michael Brenner）、统计学家刘军等的帮助，我们已经有了一个很好的开始。
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诚然，本人绝大部分工作都是和“纯粹”的数学有关的，但在偶然的场合中也会钻研一些“不纯粹”的数学。早在1990年代初期，我和加州大学圣迭戈的金芳蓉一起在图论方面做了些工作，图的研究对各式各样的物理、生物和社会系统中的演化过程很有用。另外，我也跟弟弟成栋在非线性控制论中发表过一些论文，控制论是应用数学的分支，在工业上有广泛的应用。当芒福德离开哈佛到布朗大学时，我接收了他在计算机方面的学生顾险峰。我们和其他人把我们从前在做几何分析时用到的工具，如保角几何和蒙日—安培方程等，应用到计算机图像的研究上去，从而得到医学影像包括脑影像好些有趣的新成果。
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这方面的工作也惬意，它让我换换新鲜的口味。我对在哈佛开始了应用和跨科目的数学研究亦很高兴。但这些都只是旁枝，纯粹数学一直是，在可见的将来也是我主要追求的目标和至爱。纵使有时会扩展一些，但我始终认为，数学中最美好的和最精要的内容在于它的纯粹和基本。十多年来，我花了不少工夫投入弦理论的一个项目之中，这项目是1990年代中期开始的。
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镜像对称指出了弦理论和枚举几何的密切关系。我期望弦理论跟数论也能对上，有理由相信这将有大用。我的信心部分来自卡拉比—丘流形乃是弦理论的核心（见第八章），一维的卡拉比—丘流形即“椭圆曲线”理论是数学中极深奥的一支，和数论有莫大关系。卡拉比—丘流形是椭圆曲线的高维版本，对这些流形透彻的认识将会把物理（以弦理论的形式）带进数论，反之亦然。所以说这会是条康庄大道，并不太牵强。
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扎斯诺和我在这方面开了个头。在1996年的一篇论文中，我们确定了在K3流形上有理曲线（rational curves）的数目。K3流形是二维的卡拉比—丘空间，即复二维的椭圆曲线。上述的数目是个整数，和η函数有关。η函数是数论中重要的概念，由狄德金于1877年引入。可惜我们的分析只适用于一小类即亏格为0的曲线，笼统地说，即是没有洞的曲线（或曲面）。哈佛物理学家瓦法和另外三人对如何在三维卡拉比—丘空间上确定高亏格曲线的数目做出重要贡献。在他们工作的基础上，2004年我和当时的博士后山口智对枚举函数的结构给出新的看法。直到今天，我还跟其他人在一起思考这个项目，我相信枚举函数有朝一日会成为η函数的某种推广。这类联系愈多，弦理论和数论的关系就愈紧密，为弦理论在数论中的各种应用打下了基础。
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在另一项探讨弦理论和数论关系的工作中，连文豪和我证明了在五次的卡拉比—丘空间中，当那些定义方程的次数不是5的倍数时，它们对应的曲线的数目必定是125的倍数。这发现回答了赫伯特·克莱门斯（Herbert Clemens）在代数几何上的一个问题。过去十年间，我们也利用镜像对称启发出来的想法，尝试计算某些积分的周期，这些周期和某个可追遡至欧拉的问题有关，问题迄今未完全解决。
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我深信弦理论会给数论开辟新的途径，目前看见的只是皮毛的工作而已。关键的发展也许由别人而非本人得到，但也无所谓，能够吸引人向这个方向走，我已心满意足了。
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前面已经说过，空闲的时候，例如在驾车时或在牙医诊所里，我喜欢有一篮子不同的问题供思考或浮想联翩。目前放在篮子上的几件东西中，就有上面讲过，来自弦理论的斯特鲁明格方程。人们对非凯勒流形所知不多，这些方程会对此很有帮助。数学上最大的进步，并不在于解决难题，因为这样只会使某些研究领域完结，而在于开辟了全新的、各式各样的问题以供探索。
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庞加莱猜想却是个不愿踊跃去碰的题目，一旦把围绕着这个猜想的许多争议抛诸脑后，实在高兴得很。但有时仍忍不住想到它，因为还抱着一丝丝的怀疑，如果大声说出来，又会招惹麻烦了。或者你可以说这是妖言惑众，但我真的不肯定证明已完全明确。前面已讲过多次，我相信佩雷尔曼对三维空间奇点的形成和结构有杰出的贡献，完全有资格得到菲尔兹奖（只是他不接受）。要知道，先是庞加莱指出了方向，然后汉密尔顿艰辛地打下了基础，最后佩雷尔曼带领大家走得更远。这样看来，无可置疑地，佩雷尔曼立了大功，我也想知道他在里奇流中发展出来的技巧可以走多远。而我亦不能忘记另一种方法，即利用多年前我和米克斯、理察、西蒙等发展出来的极小曲面技巧，能否把问题廓清。
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2003年，佩雷尔曼告诉《科学》的记者达娜·麦肯齐（Dana Mackenzie）说：在有关专家检视这些文章完毕之前，便向公众宣布几何化猜想和庞加莱猜想都得到了证明，可说是言之过早。现今说证明为正确的所谓专家，大部分都不是这个领域的人，而佩雷尔曼自己也从数学界隐退，可说是巨大的损失。问题是，里奇流的专家并不多，佩雷尔曼的证明结尾处最为晦涩，至今我尚未碰见过一个专家说完全了解。
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2006年左右，一位对这题目熟悉的数学家访问哈佛，他来到我的办公室，责难我对佩雷尔曼的证明说三道四。但在我的诘问之下，他也承认不能完全掌握证明的后半部。我不是要驳倒他，只不过他承认了就归了类。事实上，我不知道有谁，包括汉密尔顿在内，能完全懂得那证明，自忖也只能归在那一类。据我所知，没有人利用佩雷尔曼在文章后半部引入的技巧，成功地解决过其他有意思的题目。这事实意味着其他数学学者并不完全掌握这工作，以及其中的方法。
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汉密尔顿七十多岁了，他告诉我，证明庞加莱猜想仍然是他的梦想。这可不是说佩雷尔曼错了。作为一个真正独立的人，汉密尔顿不会沿着别人的足迹走，也不会替别人的论文“以线把点连起来”。过去三十五年的心血已倾注于此，他只想凭一己之力去完成它。
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我总觉得问题并非绝不含糊地解决了，或者要留待涵盖异常广泛的定理出现后，才能扫清这些迷雾。对这问题提出异议，在现实上是非常危险的做法。但为了问题的本身，为了数学上的真理，我还是希望知悉我们走到了哪里。如果这样会遭鄙视，就由他吧。半个世纪前我选择了数学这条道路，说到底还是数学比较重要，别人的看法没这么要紧。
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我的几何人生（丘成桐自传） 第十二章 东风西风
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方程数字，都说平生意。
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物象星河留人醉，黑洞思量无寐。
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依约往事难留，恰如代序春秋。
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豪杰不知何去，大江依旧东流。
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——《清平乐》，2016年
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1969年初次踏足美国时，我只是一个从未出过门的二十岁小伙子，那清澈高远的蓝天给我很深的印象。我对前途充满憧憬，仿佛看到终有一天，数学的神秘面纱将会为我揭开。
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十年后首次踏足中国，那是自孩提时就离开，已经全无印象的国度，我却心潮澎湃，不禁俯身触摸地上的泥土，似要和这个父辈生长的地方建立联系，其后我确实如此做了。我不是个大情大性的人，时时都会收摄心神，那次我竟会有如此的举动，连自己也感到惊讶。
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现在每年我都会往返中美数次，而且早已习以为常。每次到访都有些新的感受，我不会从社会的角度去批判，也并非对这两个迥异的文化有何伟大的见解，只是留意到一些细微的变化，是以前没有见过的。
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我生活起居中的某些细节，无论去到哪儿都不会改变，但另外有些则完全不同。在执笔的当下，正是2017年秋天，我休假一年，在北京的清华大学以我的名字命名的数学科学中心访问。我不喝咖啡，但会整天喝茶，尤其是中国茶，因此随身携带不少，到哪儿去都一样。我对数学的态度也不变，无论是在北京标准时间，回到哈佛的东部时间，或是介于两者之间如格林尼治的平均时间，皆是如此。
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