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安娜·威廉生于1880年7月6日，是一个笃信犹太教的店主的女儿。安娜对犹太传统满怀矛盾的遵从，在一个斋戒日因她未婚夫的一次来访而结束。斋戒日是犹太人一年之中的神圣日子，一个禁食、忏悔和祈祷的日子。拉约什发现安娜一边禁食，一边在阅读莫泊桑的一本小说。拉约什以一个数学家的方式向她指出这两件事是矛盾的。安娜本人也是一个不赖的数学家，思考了一会儿以后，她接受了这一归谬法证明，并含着眼泪放弃了对犹太传统的遵从。至于她擦干泪水后是否立即停止了斋戒，就不得而知了。
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对一个匈牙利知识分子来说，决定成为一名高中教师，并不像在美国那样意味着前途暗淡。自从公元996年以来，匈牙利人就一直珍视他们的教育系统。当时圣阿达尔伯特（Adalbert the Saint）在从布拉格到罗马途中，在匈牙利逗留并建立了匈牙利的第一座慈善修道院和中学。在随后的1 000多年多灾多难的历史上，匈牙利大学所培养的无数优秀教师，对于保存这个民族的文化传统起到了很好的作用。
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到19世纪，匈牙利文化部长约瑟夫·厄特伏什（József Eötvös）决定引进非宗教性的启蒙学校，以迎接工业时代的挑战。为了完成这一任务，他起用了匈牙利大教育家莫尔·冯·卡尔曼，即，西奥多·冯·卡尔曼的父亲。卡尔曼在布达佩斯创办了明达预科学校，这是一所以德国的预科学校系统为模式的学校。卡尔曼开创的模式为历史上最成功的教育体制之一奠定了基础。这一成就为他在朝廷中赢得了一席之地，他被请去照管皇帝的子侄们的教育。弗朗茨·约瑟夫(1)最后授予他一个可世袭的贵族头衔，同时赠给冯·卡尔曼一座位于布达佩斯近郊的小葡萄园，封号为“冯·索洛斯基斯拉克”，意即“小葡萄”。卡尔曼的儿子后来写道：“我简称它为冯。即使对于像我这样的匈牙利人来说，一个头衔的全称也是很难发音的。”将一个学校教师封为贵族，这说明在匈牙利人心目中教育的地位有多么崇高。
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“据传说，”乔治·马克斯（George Marx）写道，“所有的火星人［出色的匈牙利人］都毕业于同一所预科学校，并且是同一个教师的学生。”这当然是夸张，但并不过分。摘取诺贝尔奖桂冠的化学家乔治·德·赫维西和乔治·奥拉（George Olah）都毕业于皮亚里斯特的罗马天主教会学校，毕业于同一所学校的还有物理学家罗兰·厄特伏什（Roland Eötvös），他关于自由落体加速度的工作启发了爱因斯坦的广义相对论。莫尔·冯·卡尔曼的明达预科学校培养的杰出人物中有他的儿子西奥多·冯·卡尔曼和爱德华·特勒。冯·诺伊曼和尤金·魏格纳则是路德预科学校“非凡的”教师拉斯洛·拉茨（Lásló Rátz）数学课上的同学。“我们的老师都很棒，”魏格纳后来回忆道，“数学老师尤其棒。他单独给约翰·冯·诺伊曼授课。他这样做是因为他认识到他将是一个伟大的数学家。”布达佩斯如今有一条拉茨·拉斯洛街（匈牙利人总把姓写在前头），却没有以冯·诺伊曼或魏格纳命名的大街。爱多士的父母选择的高中教师职业，在匈牙利要比在任何其他国家更受人尊重，其效果也是显而易见的。
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安娜于1905年与拉约什结婚，婚后几乎立即开始了一个真正的家庭。他们很快就有了两个女儿，玛格达（Magda）和克拉拉（Klára），她们是骄傲的父亲记忆中闪光的神童，年轻夫妇生活的乐趣。1913年3月，幸福的安娜又进了医院准备生产他们的第三个孩子。但就在安娜躺在医院里时，一场猩红热席卷了布达佩斯。3月26日，她生下了一个儿子，爱多士·帕尔（Eodös Pál），后来按西方习惯改叫保罗（Paul）。当安娜带着保罗从医院回到家里时，她的两个女儿却已死去。这对伤心透顶的夫妇便将他们全部的爱与精力都倾注到他们这个灰眼睛的男孩身上。后来保罗的母亲告诉保罗说，他的两个姐姐比他还要聪明。果真如此，这两个女孩确是超乎寻常了，因为爱多士4岁时已经是一个地道的数学神童。
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并不是所有的数学家生来就是神童。许多人，包括一些最伟大的数学家，童年生活平平，某一天偶尔解答了一道数学难题，或阅读了一本引人入胜的书，或遇到了一位伯乐老师，从此便对数学如痴如迷。另有一些人，像爱多士，或如古往今来最伟大的数学神童卡尔·弗里德里希·高斯，他们似乎天生就具有一种对柏拉图数的理念王国的神秘记忆。据数学史家贝尔（Eric Temple Bell）记载，高斯2岁时就以“奇童”（wonder child）出名，他那“惊人的智力使所有目睹其超常发展的人都印象深刻，感到不同凡响”。高斯3岁时，有一次坐在一张高凳子上看他父亲算账并将一列数字相加。当老高斯刚写完得数，卡尔·弗里德里希——从来没有人教过他记数和做加减法——却嚷起来：“爸，算错了，应该是……”父亲很快验算了一遍，证明小高斯是对的。
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关于高斯非凡的早熟，一个最脍炙人口的故事发生在他10岁的时候，当时高斯在比特纳（Büttner）先生开办的一所管理严格的学校上学。有一天，比特纳为了让他所照管的这些孩子们有事可干，便给他们布置了一道算题：把从1到100这100个数加起来。据说比特纳的题目还没有讲完，高斯就放下了他的写字石板，并宣布说“Ligget se！”——答数在这儿。在接着的一个小时里，所有其他的孩子都忙个不亦乐乎，他们算算写写，涂涂改改，还相互交头接耳，而小高斯却两手合抱安静地坐在那里。比特纳本打算将这个放肆的孩子狠狠揍一顿，但幸而先看了一下他那块石板，上面只写着一个数。“在这一天的其余时间里，高斯一直兴高采烈地向别人解释为什么他写下的这个数是正确答案，而其他孩子的答案都是错误的。”贝尔写道。高斯立即注意到了，如果考虑各个数的排列次序，那么加法1+2+3…+100做起来就会容易得多。他立即看出，这个数列的第一项与最后一项，即1和100加起来等于101：第二项与倒数第二项，即2和99加起来也等于101，这样配对直到50和51，数列中不再剩有其他任何的数。总共有50对这样的数，其中每一对数相加都得101，因此从1到100这些数相加的和是50×101=5 050。小高斯在1分钟之内就发现了今天数学家们所谓的“算术级数求和”法则。
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爱多士3岁时，他母亲——他总是叫她“安优卡”（Anyuka）——每当外出教书，便将他留给“小姐”（Fräulein）——可恨的德国家庭女教师——来照管。保罗学会计数为的是能数离下次暑假亲爱的安优卡回到自己身边还剩多少日子。从计数到算术只有一步之遥。没过多久，这孩子已经能做3至4位数的心算乘法，这给当时到过爱多士家的客人留下了极深的印象。
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爱多士后来在谈到自己早熟的计算能力时几乎总是轻描淡写。确实，历史上不乏心算奇才的记载，这些人的赫赫算功也许会使保罗相形见绌，但他们在其他方面的成就却微不足道。例如杰迪代亚·巴克斯顿（Jedediah Buxton），18世纪的一位著名计算高手，他能通过心算求出一个39位数的平方，虽然他只是偶尔为之：这任务花了他两个半月的时间。巴克斯顿以他的算技取悦当地酒吧的常客，他们奖给他整品脱的啤酒，他还对这种奖赏做了精确的记录。
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保罗当然对花式调酒毫无兴趣，他感兴趣的是数本身及它们如何相互搭配。3岁的保罗感到驾轻就熟的这些数可以很好地用来计数像日子、积木或蛋糕这样一些东西。数学家们称这些计数的数为正整数，这个熟悉的数列从1、2、3开始，而没有终结。公元前第三个千年的上半叶，苏美尔人的楔形文泥板已记载了人类对正整数的爱好，而这些数在4 000多年后成为保罗的第一批玩具。
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数是每个人最早的玩具。认知科学家最近发现，婴儿的大脑天生具有简单的算术能力。麻省理工学院认知科学家史蒂文·平克（Steven Pinker）在《心智如何工作》一书中写道：“数学是我们生来就有的能力。”发育是第一个数学老师。在出生几周以后，婴儿就已能注意到视线中的事物从2个变为3个这样的变化。5个月大的婴儿已经能做某些简单的算术。心理学家卡伦·温（Karen Wynn）让婴儿看一个米老鼠娃娃，然后将这个娃娃放到屏幕后面。接着她又公开地把第二个米老鼠娃娃放到屏幕后面。当温挪去屏幕后，孩子们朝它原来所在的方位看了一会儿，便失去了兴趣；他们本来就期望看到两个娃娃，当他们真的看到了两个娃娃，便不再注意这件事。温然后又重复了这一实验，不过这一次她在揭开屏幕前偷偷地撤掉了一个娃娃。当她亮出剩下的那个娃娃时，孩子们盯着看了相当长一段时间，温的戏法使他们感到惊讶。要欣赏温的戏法，那些婴儿必须懂得一个娃娃加一个娃娃等于两个娃娃。在另一个稍有变化的实验中，温将两个娃娃放到屏幕后面，然后做了一下取走一个娃娃的动作。当她挪去屏幕后，孩子们看到那里还放着两个娃娃，都露出了惊讶的神色。因为他们本以为那里应该只剩下一个娃娃。这一实验表明婴儿本能地意识到了2减1等于1。
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心理学家还证明了，其他一些数学概念，如“大于”、“小于”、简单计数、算术和几何等，也几乎都是与生俱来的。从事狩猎和采集的原始人为了生存并不需要更先进的数学，这也许就是为什么解微分方程的能力没有成为人类基因遗传信息的原因。这使爱多士的密友罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham），一位数学家和美国电话电报公司实验室的首席科学家，在被困难的问题搅得束手无策时，常常能聊以自慰。“我们头脑的设计使我们能躲风避雨，能采集野果，以及能逃脱杀身之祸，等等。我们的头脑能够做到这一切，但如今它面临着崭新的挑战——我们做得越来越好，但我们还要走很长的路才能适应新的生活。”
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“从进化论的角度看，儿童如果具有学习学校数学的先天智力准备，那将是出人意料的。”平克写道。因为这些数学是在某些近代文化中最近才发展起来的，它们产生颇晚，还来不及在我们的基因中形成遗传密码。学校数学是文化演进的产物，它要求诸如语言、阅读、书写等扩充人类智能的工具的发展。因此超越最初的直觉来学习数学是一件非常艰难的事情。“没有对难以掌握的数学专长的尊重（这在其他一些文化中并不少见），”平克说，“这种专长是不可能开花结果的。”数学专长在匈牙利比世界上任何其他地方都更受尊重，而在爱多士家又比匈牙利几乎任何其他地方都更受尊重。当保罗的数学才华刚刚崭露头角时，他就受到了大量的鼓励，以促使其开花结果。
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在保罗4岁时，有一天，一位客人在看了保罗当场心算他已活过的秒数以及其他一些数学表演后，感到十分惊讶，便决定难一难这个孩子。“100减去250等于多少？”这位客人问。
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保罗静默了片刻，暂时迷失在一个奇妙的天地里。但他很快找到了答案，高兴地喊出来：“比0少150！”这看来是一件小事，但在以前并没有人向保罗介绍过负数，而负数这一概念曾引起数学家和哲学家们数千年的激烈争论。保罗在顷刻间便得出结论，认为必定存在着与正整数相反的另一串数列。更令人印象深刻的是，他高兴地意识到了这一事实的重要性，他的数学玩具箱由于增加了负数而忽然变得无限巨大。“这是一个独立的发现。”爱多士不无骄傲地解释说。
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早些时代的人如若知道保罗的这一发现，大概会感到不可思议。根据约翰·康韦（John Conway）和理查德·盖伊（Richard Guy）所说：“当负数刚被提出的时候，它们被认为是不可能的数。-3只苹果是什么意思呢？-3当然不是‘真正’的数！但如今人们对于负的温度和负的银行存款余额这类说法就不会觉得不合理了。”数学家利奥波德·克罗内克尔（Leopold Kronecker）曾经说过：“上帝创造了整数，其余的一切都是人的工作。”这“其余的”也成为保罗·爱多士一生的工作对象；在那一天，他成了一名数学家。
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数学家的活动使外界感到神秘。人们经常猜想数学家们整天冥思苦想的是数。许多数学家确是如此，但绝不是所有的数学家。更一般地说——借用数学家们特别喜欢的语言——数学家研究“数学对象”的性质与相互关系。要请一位数学家来确切地解释什么是“数学对象”，这有点像请一位诗人解释什么是诗歌，或让音乐家解释什么是爵士乐一样。关于最后的这个问题，路易斯·阿姆斯特朗(2)回答道：“如果你一定要问，也绝不会知道答案。”
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诗人和音乐家的激情与鉴赏力是从儿歌与小调开始的，而数学家的热情则始于计数。数是最早的和最简单的数学对象。
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最早的数学家已经湮没在时间的长河之中，然而苏美尔的泥板文书却清楚地表明了人类创造数学的冲动可以追溯到遥远的古代。数可以被用来计数牛群，丈量土地和编制历法。最初人们只需要整数；没有一个牧羊人会数出几分之一只羊。但土地、日子以及德拉克马(3)是可以划分的，分数——整数之比——曾使古代的学童们感到繁难。数概念的扩展构成了数学史的重要部分。当4岁的保罗·爱多士独立地发现负数时，他实际上是重演了古代数学史的某个片段。
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数可能是为了制订日历和从事商业而发明的，但对古人来说它们同时也揭示了宇宙的模式。在数字神秘主义者手中，数被用来构建各种奇异的宇宙模型，这些模型似乎解释了宇宙的有序性，虽然按现代观点看可能是歪曲的解释。例如，据古希腊作家普鲁塔克记载，埃及坚持认为奥西里斯(4)之死发生在阴历17日，是月亏之时。毕达哥拉斯也憎恨17这个数，这不仅是因为它与奥西里斯之死有关，而且因为他通过一种古怪的分析证明了这个数在算术上是有缺陷的。他解释说，17这个数的问题在于它“介于正方形数16与长方形数18之间，而这两个数是平面数中仅有的使周长与其所围面积相等的数”。对毕达哥拉斯来说，所有的数都有几何意义；平面数表示边长为整数的长方形和正方形的面积。一个边长为4个单位的正方形面积为4×4=16，周长则为4+4+4+4=16。一个3×6的长方形的面积是18，其周长为6+3+6+3=18。正如毕达哥拉斯正确地观察到的那样，它们是具有这种性质的仅有的两个平面数。现代数学家会把这类事情看作是趣味代数练习。但毕达哥拉斯却认为这样的数字模型反映了宇宙的设计。一位历史学家评论说，由于对这类数字戏法的癖好，毕达哥拉斯可以说是“百分之十的天才，百分之九十的胡诌”，但毕达哥拉斯的天才却导致了近代数学的诞生。
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毕达哥拉斯于公元前580年左右出生于希腊的萨摩斯岛。他后来成为一名四处游历的学者，足迹遍及埃及、巴比伦，也许还到过印度。他可能参观过古代世界七大奇迹的大多数地方，接触了那里的许多神秘教义和宇宙学说。回国后他在意大利南部建立了一个秘密的数学家与神秘主义者团体。毕达哥拉斯学派的人过着禁欲苦行的生活，不沾肉食，甚至连豆子也不吃，因为它形状像睾丸。毕达哥拉斯学派的口号是：“万物皆数。”他们所谓的数是指整数及由整数之比组成的分数。现代术语也尊奉这一信条；这些数在今天称为“有理数”。毕达哥拉斯学派崇拜他们的数并相信这些数具有神奇的性质。他们有许多看法确实是“胡诌”。然而毕达哥拉斯及其追随者对有理性的崇拜导致了他们最伟大的成就，同时也使他们最终蒙受了耻辱。
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毕达哥拉斯学派所知道的大部分数学在古代世界已酝酿了1 000多年。实用几何发展起来的一套技巧，可以帮助人们丈量田地、修筑寺庙和编制历法，这一切都做得很漂亮。例如毕达哥拉斯最负盛名的命题，“毕达哥拉斯定理”，对巴比伦人来说是早已经知晓的事实。这条定理备受中学几何教师的青睐，《绿野仙踪》故事中的稻草人却将它说走了样。
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图2-1 现代所知最古老的数论文献，Plimpton 322：一块刻于公元前1900至前1600年间的巴比伦泥板文书。该泥板书包含了一张所谓的毕达哥拉斯三元数组表，毕达哥拉斯三元数组是指各边数皆为整数的直角三角形的边长，诸如3、4和5或5、12和13等。
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