1705580110
字母a和b表示任意的两个整数。爱多士向劳拉说明，毕达哥拉斯同时要求将这个分数写成最简单形式。每个学生都知道，同一个分数可以有无限多种表达方式。例如17/12与34/24（上下同时乘以2）或51/36（上下同时乘以3）都表示同一个分数。当一个分数被写成最简式，它的分子与分母——在这里就是a和b——就没有公因子。
1705580111
1705580112
1705580113
因为分数被假定等于2的平方根，该分数的平方就应该等于2，这是一个数的平方根的本意。因此：
1705580114
1705580115
1705580116
1705580117
1705580118
两边同时乘以b2，这样重新调整后就得到：
1705580119
1705580120
a2=2b2
1705580121
1705580122
上述方程表示了一个明显的事实，即若一个分数等于2，那么其分子等于分母的2倍。但这还没完呢：分子a2必定是一个偶数，因为它是b2的2倍。b2的值在这里无关紧要，任一整数的2倍都是一个偶数。如果a2是偶数，那么a也必定是偶数；如果a是一个奇数，那么a2也必为奇数，因为任一奇数乘以一个奇数只能得到奇数。“对不对，劳拉？”爱多士问道，她点了点头。说a是一个偶数是什么意思呢？一个偶数就是一个可以被2整除的数，也就是说任何一个偶数都可以写成某个较小整数的2倍。如果a是一个偶数，它可以写成其他某个数的2倍，用c表示这个其他的数。因此a是偶数这一判断用符号表示就是
1705580123
1705580124
a=2c
1705580125
1705580126
我们真正感兴趣的是a2而不是a，但这并不成为问题。将上述方程两边平方，你将得到：
1705580127
1705580128
a2=4c2
1705580129
1705580130
换句话说，任何一个偶数的平方必定是4的倍数。但我们已经证明了a2等于b2的2倍。综上所述我们可以得出结论：
1705580131
1705580132
2b2=4c2
1705580133
1705580134
将此方程两边除以2得到：
1705580135
1705580136
b2=2c2
1705580137
1705580138
我们已经胜利在望了。这个方程的意思是说b2必为偶数，因为它是另外某个数的2倍。利用前面已经用过的推理，我们可以断言如果b2是偶数，则b也是偶数。到这一步，如果爱多士不欢呼一声“啊哈！”才怪呢，因为大功已经告成。我们已经证明了如果a/b等于2的平方根，那么a和b必定同为偶数。但a和b不能同时为偶数，因为我们一开始就强调了分数a/b是最简分数。一个分子分母都是偶数的分数绝不可能为最简分数，因为它的分子分母都可以被2整除。这是一个矛盾，说明我们最初的假设是错误的。
1705580139
1705580140
“瞧！假设是错误的，2的平方根不可能是有理数。”爱多士胜利地宣布。
1705580141
1705580142
但他的胜利稍纵即逝，因为劳拉不喜欢这一证明。她感到自己似乎受到了愚弄。爱多士生气地说：“我让你随时告诉我有哪一步不明白，可是你一句话也没说啊！”
1705580143
1705580144
“你为什么不一开始就告诉我这一切都是错的？”劳拉回敬道，爱多士愤然离开了她。瓦佐尼对这堂失败的数学课有点幸灾乐祸，他决定将记有爱多士解释的那张纸留作纪念。“我还记得阿尔伯特·爱因斯坦的最后几次讲演，其中有一次人们在讲演结束后将黑板卸下来送到史密森学会(6)。因此我请爱多士在这张纸上签字，以便当作历史文献保存下来。”
1705580145
1705580146
在劳拉看来，爱多士的不诚实之处是在于没有在一开始就说明他所假设的命题是错误的。实际上，爱多士是运用了数学家工具箱中最有力的武器——反证法。通过将最初的假设归结为一个谬论，他证明了与该假设相反的命题。毕达哥拉斯在开始的时候大概要比爱多士诚实：他假设的是一个他以自己全部的灵魂奉为真理的命题：2的平方根可以被写成某个分数。当他像爱多士在劳拉面前所做的那样从这个命题推出一系列结论之后，他发现了同样的矛盾。在人类所从事的其他领域里，人们会力图将这类矛盾扫进地毯下，但数学的逻辑却使这样的矛盾绝无藏身之地。毕达哥拉斯完全明白他苦心建造的、有理的宇宙不过是一个幻想。尽管他竭力保守秘密，但却无法抗拒这个可怕的真理。纯逻辑的力量迫使他接受他心底里不愿意接受的事实：天外有天，在他想象的有理世界之外，还有其他的世界！
1705580147
1705580148
保罗4岁时关于负数的发现，对他一生可谓影响深远。但在这一年晚些时候他又做出了他所谓“我的第二个重大发现”，这一发现却给他今后的岁月带来一种莫名的恐惧。当他有一次跟着母亲购物时，他突然意识到构成自己生命的年代序列不可能永远延续下去。虽然时间无限，个人的生命却有限。他后来因为所谓的存在性证明而名声斐然，但这却是一个不存在的证明。“我开始哭泣，我懂得了我迟早会死，”他说，“从那以后，我总是希望自己变得更年轻些。”
1705580149
1705580150
爱多士后来常常思考人终有一死这个问题，有时还开些玩笑。当他听说科学家们修正了他们对地球年龄的估计时，便特别有兴趣。有一次他做了一个报告，题目是“我的数学生涯：前25亿年回顾”。此话怎讲？“我小时候地球年龄被确定为20亿年，现在科学家们断定它的年龄应该是45亿年。因此让我多活了25亿年。当时听讲的学生画了一条时间轴，并画上我骑着一头恐龙。别人问我：‘恐龙是什么样子？’我后来想出了一个很妙的回答：‘我不记得了，因为你们知道老人只记得很久以前的事，恐龙生活在昨天，仅仅是1亿多年前。’”
1705580151
1705580152
在他60岁生日之前的几年里，即20世纪70年代的早期，爱多士开始在他的名字前加上PGOM这几个字母，他解释说这是表示Poor Great Old Man（可怜的伟大的老人）。到他60岁时他把这个前缀加长为PGOMLD，意思是Poor Great Old Man Living Dead（可怜的伟大的老活死人）。到65岁他又在后面加上两个字母AD，意思是Archaeological Discovery（考古发现）。70岁时加上了LD，意为Legally Dead（法定死人）。到75岁时又加上CD，表示Counts Dead（计作死人）。加最后这两个字是因为匈牙利科学院为了使院士的总数不超过200人，规定凡满75岁的院士必须退位，虽然一切特权仍可保留。在将近75岁时，爱多士对记者解释说最后那些首字母也许用不上了。“我大概不必面对那样的时刻，”他说，“［它们］也许只是有助于我的回忆。我已经很老了，身体又不好。我不知道我的身体发生了什么情况。也许到最后解决的时候了。”但他仍然是当时世界上最多产的数学家之一，仍然四处旅行，比最疲于奔命的喷气机乘客还要繁忙，虽然他常常用这样的话来结束他与合作者之间的数学讨论：“我们明天继续讨论……如果到时我还活着的话。”
1705580153
1705580154
4岁的保罗第一次意识到人终有一死。他是一个漂亮的男孩，有一双灰眼睛和一副严肃的表情。他那年轻的双亲，承受着被猩红热夺去了两个女儿的悲痛，倾全力来宠爱和保护他们的宝贝独子。疾病已不是他们最担心的事情，一场战争已经爆发。就在保罗出生那年，费迪南大公在萨拉热窝遇刺，奥匈帝国向塞尔维亚宣战。接着俄国卷了进来，向奥匈帝国宣战。战火迅速向德国、英国和法国蔓延。在保罗发现死亡的现实性的同时，世界大战正在到处残害着人们的生命。
1705580155
1705580156
战争爆发后的几周内，成千上万的匈牙利男子包括拉约什·爱多士应征入伍，被派往东线去与俄国人打仗。大批的人死于战场。伤员和俘虏经过千里跋涉，被俄国人押送到他们的拘留营。拉约什就是其中的一个。他在西伯利亚度过了整整6年的铁窗生活。
1705580157
1705580158
战争标志着匈牙利黄金时代的结束。大街上挤满了伤残的士兵，穷人们纷纷拥向布达佩斯的工业巨头开设的施食点。这些年里安娜·爱多士一直在外面工作，以便为保罗提供舒适的生活。1918年，奥匈帝国战败，二元君主统治随之解体。在米哈伊·卡罗伊（Mihály Károly）伯爵的领导下，一个新的、独立的匈牙利努力重振经济，保持独立，但这种努力并没有得到西方国家的支持。短短一年内匈牙利在几乎所有的边界上受到其邻国罗马尼亚、捷克斯洛伐克和南斯拉夫的入侵。灰心丧气的卡罗伊宣布辞职。他把匈牙利交给了以贝拉·库恩（Béla Kún）为首的一小群匈牙利共产党人，这些共产党人乐观地寻求苏联的支持。卡罗伊曾经寻求西方的帮助，库恩现在则向东看；二者都是匆匆的过客。
1705580159