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数学家是有限的、有缺陷的生物，他们以毕生精力试图理解无限与完美。这样做必然会产生一些问题和误解。潮流与时尚，政治与迂腐，这一切都会影响数学知识跌跌撞撞的进步。然而，所有这些因素都不能影响数学的有效性。罗斯坦写道：“有许多不同的方法来证明一个圆的周长与其直径之比等于常数，人们称这个数为π。牧师、农夫以及建筑工人使用这个比率的初衷与目的不尽相同，因此，这个比率可以被叫作pi，或zed，或‘密尔沃基’（Milwaukee）。但这个数本身及其意义却不受文化机制的影响。”
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那么，数学如果确是一种通用语言，人们怎样用它来打招呼呢？关心SETI（Search for Extraterrestrial Intelligence，即寻找外星智慧）的科学家们对此已经提出了许多设想，并且认为最好的办法就是把我们的外星朋友看作是聪明的孩子，给他们数数。开始试验：一，二，三。
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就这样数——嘟，嘟-嘟，嘟-嘟-嘟，嘟-嘟-嘟-嘟——也许行得通，不过某些自然现象也很可能会产生这样的计数序列。有些外星智慧的探索者，如卡尔·萨根（Carl Sagan），则相信“可以明确是由智慧生物发出的”最简单的信号大概是头十几个素数组成的数列。难以想象自然出现的物理现象会发出这样的数列信号，同样难以想象一种有智慧的生物会不理解这种信号。
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人们自从会计数以来就对素数情有独钟。所谓素数就是只能被1和它自身整除的整数。头几个素数是2，3，5，7，11（习惯上1不算素数）。数15是一个合数，即非素数，因为它是3和5的乘积。素数常常被称作算术的原子，因为每一个整数要么是素数，要么可以用唯一的方式写成几个较小素数的乘积。（顺便说一句，这不是一个观察结果，而是一条定理。它对所有的整数都成立，但数学家们曾发明了一些奇异的数类，这条定理在这些数类中却不成立。）
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数学家生命的圆弧，往往能反映数学的历史。素数在数学发展的早期就已被发现，而像保罗·爱多士这样的青年数学家，他们的数学生涯往往也是从对素数发生兴趣开始的。确定一个数是素数还是合数是一种智力游戏，它呼唤像爱多士这样的计算奇才。在分解了成百上千个整数以后，这种游戏逐渐变得乏味，头角初露的数学家很可能会想知道是否存在最大的素数，或者说素数个数是否无限？请看看素数表，你能看出某种规律吗？如果看不出来，请不要懊丧。没有人能看出规律来。你会发现最初的几十个素数无规则地成群出现，相互间隔颇近。但当你往后看下去，素数之间的平均距离似乎不断增大。有时也会看到两三个靠得较近的大素数，但总的趋势是清楚的：越往后看，素数变得越稀疏。素数会不会穷竭？是否存在最大的素数？
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人类迄今知道的最大的素数于1998年1月27日被19岁的南加利福尼亚大学二年级学生罗兰·克拉克森（Roland Clarkson）发现。克拉克森在一台老式的奔腾200兆赫计算机上发现了有909 526位数字的素数，使用的程序由来自佛罗里达的计算机程序员乔治·沃尔特曼（George Woltman）编写。沃尔特曼的程序在寻找所谓的梅森素数，因法国神父马林·梅森（Marin Mersenne）在17世纪研究过这些数而得此名。梅森素数乃是那些比2的幂小1的素数，用符号表示就是2p-1。数3是一个梅森素数，因为它等于22-1；数7也是梅森素数（23-1）；还有31（25-1）和127（27-1）。在1635年以前人们一直以为只要p本身是素数，则2p-1就是素数，但这一年赫达里卡斯·雷吉乌斯（Hudalricus Regius）指出了211-1=2 047等于23×89。
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20世纪，数学家们发明了一些快速计算机算法来检验一个梅森数是不是素数。直到最近，寻找大梅森素数的工作常常是由一些工程师做的，这些工程师希望用他们的超速计算机来进行一次彻底的探索。但1996年沃尔特曼发布的“大型因特网梅森素数搜索”（GIMPS）程序，推翻了超级计算机的优越地位。全世界有数以千计的计算机迷下载了沃尔特曼的程序，并保存了一个检验梅森素数的程序模块。所有这些功能不强的桌上计算机联合起来发挥的威力，竟超过了速度最快的超级计算机，而其中有许多是为了沃尔特曼的GIMPS计划而从垃圾堆里捡回来的过时机型。不久GIMPS计划就旗开得胜，算出了一个有420 921位数字的素数。一年后GIMPS计划又取得了另一项成果。世界各地更多的计算机迷开始自愿贡献他们的业余计算机时间。多亏圣何塞的一位软件开发经理斯科特·库罗夫斯基（Scott Kurowski）编写的一个聪明的程序，寻找梅森素数变成了全自动过程。任何人只要有PC机就可以下载这个程序，让它在屏幕上安静地运行，使无数本来会被浪费的计算机空闲时间得到了有效利用。罗兰·克拉克森，这个以记忆π数字为业余爱好的小伙子，成为4 000多名参与者中幸运的赢家，他的计算机为他在数学史上争得了一席之地。但克拉克森知道他在那里不可能久留。寻找最大素数是永无尽头的，原因很简单：根本就不存在最大素数。素数的个数是无限的。
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关于素数无限性的证明，可以在数学乃至所有科学领域中迄今最有影响的著作之一欧几里得《几何原本》中找到。在欧几里得以前，数学只是一堆表面上自明的命题以及可以运用逻辑从中导出的推论。虽然进步很大，结果丰富，但这种方法的特殊性质掩盖了不同结果之间的关系，使进一步发展变得困难。
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欧几里得对这座库房进行了彻底的清理。他从定义一些基本对象出发，例如点、线、面等。他接着写下了一组涉及这些对象之间关系的命题，他认为这些命题是如此显而易见，对它们不需要证明。例如，一条这样的公理是说：如果两个对象分别与同一个对象相等，那么它们彼此相等。这命题似乎既明显，又不能归结为更简单的真理。如果说素数是算术的原子，那么公理就是推理的原子。从这些公理出发，运用简单的逻辑法则，欧几里得指出大量希腊人已知的几何与算术真理可以获得证明。
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两千多年来，欧几里得的数学知识一直被认为是良好教育的重要组成部分。托马斯·霍布斯(2)由于某种原因直到40岁时才开始注意《原本》，但他一读这本著作，便备感惊讶。约翰·奥布里(3)记述了这个偶然发生的故事，他写道：一天，“在一间绅士图书馆里，他打开了欧几里得《原本》，翻到第1卷命题47［毕达哥拉斯定理］，读了命题后他说：‘上帝啊！这是不可能的。’于是便去读该命题的证明，这使他回溯到他已经读过的一个命题。该命题又使他回溯到另一个读过的命题。如此反复，最后他终于相信这定理是真理。这使他爱上了几何学”。戴维·赫伯特·唐纳德（David Herbert Donald）则描述过亚伯拉罕·林肯的一个故事：“林肯像他的大多数同时代人一样，相信思维能力像肌肉一样，也可以通过严格的锻炼而得到加强……他设法搞到了一本欧几里得的《几何原本》并下决心亲自证明其中的一些定理和问题。1860年他不无自豪地报告说他曾研究并基本掌握了欧几里得《原本》的前六卷。”
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伯特兰·罗素（Bertrand Russell）回忆他11岁时初次接触欧几里得著作的情形，认为这是“我一生中最重大的事件之一，就像初恋一样令人陶醉。我不能想象世上还会有其他更甜美的东西。从那一刻起，直到我38岁，数学始终是我的主要兴趣和我的欢愉的重要源泉”。
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当保罗·爱多士的父亲给他讲解欧几里得关于素数无限性的证明时，他比罗素还小1岁。这使他终身为之着迷。这个证明，可以说是整个数学中最优美的证明之一，当然肯定是属于“天书”的证明之一。欧几里得的方法类似于毕达哥拉斯用来证明2的平方根是无理数的方法。他首先假设与他想要证明的命题相反的结论，然后看这会将他引向何处。换句话说，欧几里得假设存在一个最大的素数，记之为PN（如果使用PN这样的未知量使你感到不舒服，假想最大的素数是7或11，或其他某个小素数，这会帮助你澄清逻辑思路）。如果这一假设导致矛盾，那么逻辑结论必然是假设不对：不存在最大素数。
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证明的第一步是将所有的素数相乘而得到一个大数：
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A=2×3×5×7×11×……×PN
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A显然可以被每一个素数整除，这正是我们构造它的原则。现在将A加上1，然后考察所得的结果数，我们记之为P：
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P=A+1=（2×3×5×7×11×……×PN）+1
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P或者是素数，或者不是素数，二者必居其一。如果P是我们得到的素数，由于P显然大于PN，这与假设PN是最大的素数相矛盾。
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每个整数要么是素数，要么是素数的乘积。因此如果P不是素数的话它必能被某个素数整除。用2，3，5，7或其他任何一个不大于PN的素数除P（P=A+1），余数显然为1，这是因为A作为所有这些素数的乘积必然能被它们中任一个整除。于是如果P不是素数，它必定能被大于Pn的一个素数整除。但是我们已经假定没有这样的素数，因此假设P不是素数同样导致矛盾。所以不存在最大的素数，素数的个数是无限的。
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如果你不厌其烦地读了上述证明（我希望你确实读了），你可能会感到它真是步步为营。欧几里得的传家宝之一就是精练紧凑的数学推理。总得费时间琢磨分析，没有人能一目十行地阅读数学。即使对那些最流利的“演说者”来说，它也始终是一门外语。爱德华·罗斯坦曾简述原先由普林斯顿老一辈哲学家保罗·贝纳塞拉夫（Paul Benaceraf）提出的这样一个疑难：“如果数学知识超越时空，那么从深居时空之中的地球王国怎样才能得到它呢？”人类的大脑生而能做简单的算术和几何，其余则是后天的发明与创造。数学语言与方法在某种意义上是武装地球智慧生命使之能遨游数学知识宇宙的技术，其难以驾驭是不足为奇的。
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爱多士的父亲在使他相信素数有无限多之后，接着又向他展示了另一个漂亮的证明，这不仅促使他终身迷上了素数，而且激发了他后来的一些最著名的结果。父亲问道，两个相邻素数的间隔可以有多远？因为所有大于2的素数都是奇数（2必须刨去，因为按定义，素数就是能被1和其自身整除的数），所以两个大于2的相邻素数之差必定是一个偶数（可用某些小的素数来检验）。这个偶数能有多大呢？爱多士的父亲告诉他说可以找出任意长的整数区间，其中完全没有素数。
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例如，你想找出100个连续的合数（即非素数）。首先将从1到101所有的整数相乘，即1×2×3×…×101。数学家们称这个数为101阶乘，并记之为101！，这里惊叹号既是标准记号，同时也提示阶乘很可能是大得惊人的数字。101！就是一个有160位数字的数，约等于9.4×10159。与101！有关的一个有用的事实是：它是从1到101每一个整数的倍数。因为101！是2的倍数，它加上2所得的数也是2的倍数；101！是3的倍数，它加上3所得的数也是3的倍数。依次类推直至101。于是，从101！+2到101！+101这100个数中没有一个是素数。这种方法——数学家称之为构造方法——可以用来发现任意长的合整数区间。你想要1 000个相继的合数吗？很简单，从1 001！+2开始，到1 001！+1 001为止。不过请不要劳神把这些数写出来，因为它们都是2 568位长的数！
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素数却又可以互相非常靠近。像素数29和31，中间只隔了一个数，这样一对素数被称为孪生素数。一个著名的未决问题是：是否有无限多对孪生素数？目前已知最大的孪生素数是1994年借助于超级计算机发现的，这是一对4 932位长的数——697 053 813×216352±1。“很清楚是有无限多对孪生素数，但我想在最近的将来没有人能证明这一结果。”每当讲解数学难题时，爱多士总喜欢这样说，孪生素数猜想回绝了所有证明它的尝试，大多数数学家认为这样一个证明绝不会很快出现。
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综上所述，一方面素数之间可以相隔任意远，另一方面孪生素数又可能有无限多，这足以说明素数分布是多么不可捉摸！没有任何神奇的公式可以确切地告诉你哪些数是素数，哪些数不是素数。判别一个数是不是素数唯一可靠的办法是费力地用比它小的每个素数逐个相除。(4)高斯曾宣称，判定一个数是素数还是合数的问题是“算术中最重要也是最有用的问题之一……这门科学自身的尊严要求我们探索一切可能的方法来解决这个如此优美、如此著名的问题”。
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从父亲那儿听来的这些关于素数的证明与猜想，在年仅10岁的保罗·爱多士心中激起了对素数及其分布的终身迷恋，这将引出20世纪最优美、最出人意料的一些数学结果。第一个这样的结果7年后就问世了。然而，父亲的课程最重要的结果是使保罗意识到自己将会成为一名数学家，虽然他同样迷恋天上的星星，并认为自己也可能成为一名天文学家。