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城市公园位于佩斯城中央，布达佩斯许多市民都喜欢在那里消磨午后的休闲时光。公园处在笔直而宽阔的安德拉西大街尽头。安德拉西大街是香榭丽舍大街的仿制品，而城市公园建造则受到了布洛涅森林公园的启发。城市公园与沿安德拉西大街通向公园的欧洲第一条地铁都是1896年匈牙利千年庆典工程的一部分。安德拉西大街与城市公园都比它们的法国原型要略微短些；同时前者不及香榭丽舍大街宽，而后者则比布洛涅公园多了些尘土。尽管如此，夏日的午后，人们还是喜欢上这儿来划船，参观动物园和马戏团，或是围绕着装饰性的城堡散步。冬天则可以在湖上滑冰。而无论冬夏，在一战后的数十年间，只要你知道上哪儿找的话，你都可以加入到一群青年男女中去，跟他们一起进行严肃的数学游戏。
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城市公园里那座瓦依达胡尼亚城堡，是一座外观凌乱的混合式建筑，一部体现各种匈牙利建筑风格的百科全书。在它的鹅卵石庭院中央，有一座巨大的青铜人物座像，雕塑中的人物脸部完全被厚袍上的头巾所遮掩，目光却显然注视着在他膝上铺开的一本大书，一本他正在孜孜不倦地撰写的著作。这是一座无名氏雕像，象征了一位想象中的中世纪匈牙利编年史作者。这座无名氏雕像是一个理想的聚会场所：容易找到，又远离闹区；这儿绿树成荫，周围有一圈长凳。在20世纪30年代初，爱多士每周都有一两次从他离公园不远的住所步行去这座雕像会见他的大学同学。他们在那里无话不谈，但主要的话题是数学。大家在长凳上坐下，无名氏雕像梦幻般地浮现在上方。他们模仿无名雕像的姿势，凝神俯视着膝上打开的笔记本。当这种非正式的讨论班刚刚开始时，无论是爱多士还是他的朋友们，都还没有在专业杂志上发表过一篇文章，他们都像无名氏一样默默无闻，虽然情况不久就有了变化。
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即使没有爱多士，这也是一群绝不比其他地方逊色的青年数学家。十来名大学生，定期在公园里聚会解决数学问题，但却从来没有把自己看成一个小组，小组这个称呼后来才出现。其中最著名的成员有保罗·图兰、蒂博尔·高洛伊（Tibor Gallai）和乔治·塞凯赖什，他们后来都成了第一流的数学家，并且都是爱多士最早的合作者。
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这些在雕像前聚会的数学家全是犹太人，虽然他们自己很少意识到这一事实。多年后，安德鲁·瓦佐尼在与爱多士的一次谈话中回忆往事时提到，他“感到在布达佩斯的非犹太人与犹太人之间隔着一堵墙”。爱多士说他从来没有注意到这一点，于是瓦佐尼便请他举几个当时结交过的非犹太人朋友的名字。爱多士一个也说不出来。“我从未想过这方面的问题。”他承认说。
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进大学后不久，爱多士就做出了他的第一个重要的数学贡献。他父亲向他讲解的素数的奇异分布，将爱多士引进了数论这个与整数性质有关的数学领域。在这方面爱多士并非独一无二，大多数数学家最初步入数学领域，都是受到优美的数论结果和富有魅力的数论问题吸引。数学中许多其他分支对门外汉却并不那么殷勤好客。例如在代数拓扑和群论中，你可能会花费数年的时间才能理解其中的问题，更不用说要掌握解决这些问题的技巧与方法了。另一方面，数论学家们感兴趣的问题，有许多却只需具备简单的算术知识就能理解，虽然这些问题解决起来极端困难。一个典型的例子是贝特朗假设(5)，爱多士的第一篇论文，讨论的正是这一假设。
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当儒勒·凡尔纳（Jules Verne）为某个科学问题所困惑时，他常常会求助于法国数学家约瑟夫·贝特朗（Joseph Bertrand），贝特朗是法国科学院院士，他在天体轨道问题和概率论方面做过很重要的工作，但最为人知的却是他1845年提出的一个富有启发性的猜想。这位时年22岁的数学家假设，在每个整数和它的2倍数之间至少有一个素数。容易验证贝特朗假设对较小的数是成立的。例如3和6之间有素数5；15和30之间有素数17，19，23和29。利用当时的数学用表，贝特朗可以对成千上万的数来验证他的猜想。这种验证会令人增强信心，但要使贝特朗的猜想升格为一条定理，则必须进行严格的证明。5年之后，俄国数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebychev）为贝特朗猜想找到了一个证明，这就是现在所称的切比雪夫定理(6)。
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切比雪夫关于贝特朗猜想的证明是对的，但却冗长难懂。有时困难的证明难以避免，但某些繁难的证明恰恰反映了对问题的本质还缺乏深入的了解。简化改进老的证明，这也是数学事业的重要部分，它往往能引出崭新的见解，用来解决新问题，建立更漂亮、更全面的理论。数学家吉安-卡洛·罗塔曾评论道：“在3 000余种刊登创造性数学研究结果的杂志中，翻阅任意一种，你很快就会发现：已发表的论文中难得有几篇解决了尚未解决的问题。绝大多数的数学研究论文关心的不是证明，而是重新证明；不是公理化，而是重新公理化；不是发明，而是统一与精炼；简言之，即托马斯·库恩（Thomas Kuhn）所谓的‘整理’（tidying up）。”在80多年的时间里，切比雪夫定理证明之困难似乎是理所当然的事情。但现在年轻的保罗·爱多士却看到了这个证明怎样可以得到“整理”。
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爱多士对切比雪夫定理的新证明非常简单，大学本科学生就能看懂。爱多士在大学的一个讨论班上报告了自己的证明，听众们本来都应该能听懂，但情况却并非如此。爱多士绝不是一个优秀的演讲者，至少在通常的数学意义上是如此，虽然在小范围或一对一的情况下他可谓是一个出色的教师。爱多士后来经常面对大群有鉴赏力的听众。这时他已变成一个演讲老手——他的演讲是数学、笑话和逸闻的混合，这使他的同事给他起了一个绰号叫“数学家中的鲍伯·霍普(7)”。但大学时代的爱多士还没有这样的口才。对参加讨论班的人来说，他们唯一听明白的是：爱多士认为他已得到切比雪夫定理的一个简洁的证明。爱多士的写作风格也好不了多少；没有人能看懂他撰写的论述其证明的那篇文章。“证明一条数学定理是一回事，将它表述出来使同事们能理解它又是另一回事，”爱多士承认道，“当时我还缺乏经验。”
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爱多士的父亲不能判断他儿子宣称的关于切比雪夫定理的证明是否正确，但他知道有人能。据安德鲁·瓦佐尼回忆，他说服了塞格德大学的一位教授、当时著名的匈牙利数学家拉斯洛·卡尔马（László Kálmár）“拨冗读一读爱多士的想法”。卡尔马花了一整天的时间审阅了这篇论文，下午3点，他走出办公室，并且如爱多士在无名氏小组的一位朋友马尔塔·斯韦德所说的那样，相信爱多士的证明“货真价实”。卡尔马用德文改写了这篇论文，并将它在一份小的数学杂志塞格德《学报》上发表出来。卡尔马并没有在文章上署名，但他的这种工作方式却成为爱多士今后所有合作的先声。正如爱多士的合作者之一阿瑟·斯通（Arthur H. Stone）所说：“保罗撰写合作论文的方式，对他来说主要是传达自己这方面论证的实质；至于实际完成论文，则是另一位合作者的事情了。（我相信大仲马也是采用了某种类似的做法写小说的。）”
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卡尔马在为爱多士的论文所写的引言中提到：爱多士的证明与伟大的印度数学家拉马努詹早先给出的一个证明有某种类似之处，这一联系成为激励爱多士前进的动力源泉。拉马努詹的生平是数学史上最动人的白手起家的故事。他1887年生于印度南部马德拉斯市郊一个贫寒的家庭，这个地区在北方佬眼里既落后又愚昧，与布达佩斯可以说有天壤之别。布达佩斯提供了为培养像保罗·爱多士这样的天才所需要的一切，而拉马努詹则是从过了时的教科书中自学数学，并发现了一些他自己也不知其价值的结果。最后他提笔给当时领头的英国数学家哈代写了一封信，介绍自己得到的一些定理并请求指导。这封信是这样开始的——
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亲爱的先生：
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首先请允许我自我介绍，我是马德拉斯港口信托事务所会计部的一名职员，年薪只有20英镑，现年23岁。我没有受过大学教育，但上过正规的中学。离开中学后我一直坚持利用业余时间钻研数学。我没有循着传统的大学课程踏步前进，而是独自开辟了一条新路。我对一般发散级数进行了专门研究，我所获得的结果被本地的数学家们称为“惊人的”。
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如果这封来自穷乡僻壤一位无名小职员的信中既谦恭又自傲的态度起初使哈代感到好笑，接下来的10页信笺却使他大为吃惊。“对哈代来说，拉马努詹的这10页定理好像是一座奇异的丛林，其中的树木似曾相识，却又如此奇怪，似乎是来自另一个星球，”罗伯特·卡尼格尔（Robert Kanigel）在其出色的拉马努詹传《认识无限的人》中这样写道。像几乎所有活跃的数学家一样，哈代经常收到一些怪人寄来的邮件，这些人相信他们已解决了三等分角、化圆为方或其他某个早已被数学家们证明是不可解的问题。拉马努詹用他那大而整齐、清晰的字迹写出来的这些结果是“惊人的”，但却不是显然不可能的。相反，他的这些方程看来是正确的。
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要写出这些看来是真正的数学的方程并不是轻而易举的事情。数学家们对老科幻影片中常常出现的满黑板潦草的公式符号总是斥为胡言乱语而不屑一顾。然而，正如其朋友斯诺（C. P. Snow）所说，当哈代终于抽出时间来审阅拉马努詹的方程时，那些“杂乱无章的定理”使他既惊又敬，“这些定理他从来未见过，也从未想到过”。哈代把他的同事和主要合作者利特尔伍德（J. E. Littlewood）请到他在剑桥三一学院的书房，来帮他验证拉马努詹那些奇怪的定理。正如卡尼格尔所描写的那样，到午夜时分，两位数学家已经相信“他们是在审读一位数学天才的论文”。不久哈代和利特尔伍德筹得了一笔经费，并邀请拉马努詹来到剑桥。拉马努詹在剑桥度过了他一生剩下的短暂岁月，33岁时死于肺炎。他在剑桥完成了一批数量不多但却是历史性的论文，同时还留下了一些写满结果的笔记本，这些结果至今还不断被人引用研究。
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卡尔马建议爱多士去查阅一下拉马努詹对切比雪夫定理的证明。爱多士钻进图书馆，“在拉马努詹全集中找到了这一证明，我立即以极大的兴趣读了这个证明……两个证明非常相似，而我的证明的优点也许是更为算术化。”爱多士阅读拉马努詹论文的经历导致了他对印度的终身兴趣和对印度数学家的长期支持；同时还引出了一则他喜欢说的玩笑话，这则玩笑话反映了爱多士的一种固执的念头：“我想印度语是最好的语言，因为两个最大的魔鬼衰老和愚蠢在其中发音几乎相同。‘Buda’是老，‘Budu’是蠢。”
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爱多士关于切比雪夫定理的证明是一流的成果，对于一个18岁的大学新生而言尤其如此。但正如卡尔马指出的那样，这个证明已被拉马努詹捷足先登。不过爱多士的证明却包含了一些新思想，利用这些思想他很快就以一种全新的方式推广了贝特朗假设。爱多士不久就证明了：在任一大于7的整数与它的2倍数之间至少有2个素数。有趣的是，爱多士的证明同时还告诉了我们关于这些素数的某些性质。根据这条定理，其中至少有一个素数用4除余数为3，同时必有另一个素数用4除余数为1。例如在10和它的2倍数即20之间有素数11，13，17和19。其中11和19被4除余数为3，而13和17被4除余数为1。该定理以及一些相关的推论已足以构成一篇博士论文，而爱多士写出这篇论文时还只是一个二年级的本科生。所有这些成果还使他在数学家内森·法恩（Nathan Fine）所写的一首小诗中赢得了一席之地：
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切比雪夫说过的，我再说一遍，
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在n与2n之间恒有一个素数！
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爱多士关于切比雪夫定理的工作引起了匈牙利以外一些数学家的关注。他很快开始与其中的几位通信，这些人包括曼彻斯特的数论大家路易斯·莫德尔（Louis Mordell），剑桥的理查德·拉多（Richard Rado）与哈罗德·达文波特（Harold Davenport），以及柏林的伊赛·舒尔（Issai Schur）。舒尔立即认识到了爱多士的天才，并开始给自己班上的学生讲授爱多士关于切比雪夫定理的证明，当时爱多士还不满20岁。
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当爱多士证明了舒尔关于过剩数的一个猜想以后，舒尔对他的才华便更赏识有加。毕达哥拉斯在探索数字的完美性时，最先注意到了过剩数（或盈数）。在毕达哥拉斯看来，一个数的完美性反映在它的因数上。如果一个数等于所有比它小的因数之和，毕达哥拉斯则称之为完全数。例如6是一个完全数，因为它有因数1，2，3，而它们相加恰好等于6。欧几里得还证明梅森素数——形如2p-1的素数——可通过一个简单的公式而与偶完全数联系起来。没有人知道是否存在奇完全数，但经验告诉我们不存在奇完全数。
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一个数，如果它所有的因数相加之和小于它自身，就叫不足数（或亏数）；而如果它所有的因数之和大于它自身，就叫过剩数（或盈数）。所有的素数都是不足数，因为它们唯一比自身小的因数是1。9也是一个不足数，因为其因数1和3相加得4。12则是一个过剩数，因为其因数1，2，3，4，6相加得16。你可以容易地验证18也是一个过剩数。
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舒尔的猜想关系到过剩数在全体整数中分布的稠密程度。数学家们用密度的概念来比较数集的大小，包括无限大的数集之大小。例如，偶数集的大小为二分之一，因为恰好有一半的整数是偶数；5的倍数全体所成的集合密度为五分之一。虽然素数有无穷多个，但素数集的密度却是零！也就是说，素数在全体整数中的分布是如此稀疏，以至于随机地选出一个整数，这个数为素数的概率趋于零；绝大多数的数都不是素数。(8)舒尔的猜想是说，过剩数的密度大于零。或者粗略地说，过剩数确实过剩。
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