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图4-8 如果这个凸外壳是一个三角形，可以画出一个凸四边形ABCD
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Quod erat demonstrandum.我们成功了。我们已经分析了5点的每一种可能的排列方式并证明了每一种排列方式是如何包含一个凸四边形的。
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对埃丝特来说，这个证明简直是“像儿戏一样简单”。她认识到，有意思的是：“这是一种新问题。我想那就是它的真正价值。”埃丝特难题把几何学与组合学结合了起来。组合学是与计数有关的数学分支。爱多士可能是20世纪最重要和最多产的组合学家，其厚厚的有关此学科的经典论文集名叫《计数的艺术》（The Art of Counting）。在爱多士之前，组合学只是一堆为数不多和互不关联的技巧与问题。伟大的数学家偶尔会涉猎组合学，但他们大部分的精力花费在其他领域之中。在这个世纪里，多亏爱多士，这个学科才作为一个有自己的权利、自己的教科书和期刊及国际会议的数学领域而出现。组合学对通信网络及计算机设计也很重要，而且几乎在科学技术的每一个分支中都有应用。爱多士在这些领域的影响尽管间接但却是巨大的。例如，已经有了专门研讨爱多士对计算机科学的兴趣的会议，尽管他从未写过一篇与计算机有关的论文。他也是贝尔实验室数学小组备受尊敬的常客，尽管他从未写过一篇有关通信网络的论文。对爱多士来说，研究组合学也像所有其他的兴趣一样，是为数学而研究数学。爱多士对这个领域的兴趣正是从埃丝特的问题开始的。
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埃丝特把她的难题带到无名氏雕像下说给她的朋友们听。他们很快地解决了这个问题并推广到一般情形。在经过一番努力之后，他们证明了，当9个点随心所欲地散布在平面上，必然会出现一个凸五边形。如果有足够多个点，那么凸六、七、八或其他边数的多边形也是必然的吗？如果是这样，确切地说在每种情况下需要多少点呢？这些是更难的问题，显然已不可能有“像儿戏一样”的解法。爱多士和塞凯赖什都立即被这个问题迷住了。像埃丝特一样，他们也看出来这是一类新问题。但塞凯赖什回忆说，他还有另一个与几何学或组合学无关的更深层次的动机。“我没有其他的感觉，我想解决这个问题，因为它是埃丝特提出来的。”他后来回忆说。塞凯赖什认为，爱多士对这个问题的兴趣也是受了对问题创造者的更深层次和更人性化的兴趣所激发。“我确信，如果有人提出这样的看法，他将会表示强烈反对，但那并不意味着这种看法不对。”塞凯赖什说。
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爱多士一直特别喜欢埃丝特，他爱怜地称她为埃泼西，即他常用的数学式昵称“埃泼西龙”的缩写形式。更重要的是，爱多士的母亲认可埃丝特并欢迎她到家里来。“我非常相信，如果爱多士娶了埃丝特，这个老妈妈一定会非常高兴，”塞凯赖什猜测，“据我看，埃丝特曾有过让爱多士结婚的绝佳机会。但是这很复杂。没有发生此事对这个世界来说也许更好些，因为他能够真正地把自己投入到数学中去。”
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当爱多士想让塞凯赖什去听一个新的证明或猜想时，他就会像吟诗一般哼道，“塞凯赖什·乔，快开动你聪明的头脑，”乔是其名字乔治的缩称，塞凯赖什总是以此在数学论文上署名。在埃丝特提出其推广的问题两周之后，塞凯赖什终于获得了一次反击的乐趣，命令爱多士：“E. P.，快开动你聪明的头脑！”他发现了一个巧妙的方法来证明他们的猜想——当足够多的点随机地散布在平面上，则必然会形成一个具有特定边数的凸多边形。
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为了证明他们的猜想，塞凯赖什已经重新发现了一条定理，而他自己却没有意识到。这条定理于1928年已由一位博学多才的英国青年弗兰克·拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey）发表。拉姆齐生于1903年并在英格兰的剑桥长大，他是莫德林（Magdalene）学院院长、数学家阿瑟·拉姆齐（Arthur S. Ramsey）的儿子。弗兰克的弟弟是坎特伯雷的大主教。在其短短的一生中——他在27岁生日前一个月死于慢性肝功能紊乱——拉姆齐仅写了少量的数学、哲学及经济学论文，而其中多数都成为经典。
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像爱多士一样，拉姆齐在家里由母亲教育。在几年的家庭教育之后，拉姆齐离家进入温切斯特公学，在那里他的才华很快崭露头角。一天拉姆齐向朋友们宣布他想学习德语。他回家拿来一本语法书和一本字典，几周之后他竟可以阅读和批评奥地利物理学家、哲学家马赫（Ernst Mach）的原版书《感觉的分析》（Analysis of Sensations）了。
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拉姆齐很快地读完温切斯特公学，进入剑桥的三一学院。他最终获得数学科目一等成绩应该没有问题，但拉姆齐不知疲倦的头脑是任何学科都限制不了的。他才16岁的时候，剑桥的经济学家们聚集在一起商量如何使他们的思想经受住拉姆齐敏捷而深刻的研究。凯恩斯（John Maynard Keynes）称拉姆齐“以惯于处理更大难题的轻松手段掌握了我们这门科学的技术方法”。
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对拉姆齐来说似乎没有什么事情是太困难的。凯恩斯称拉姆齐所写的两篇有关经济学的论文中的第二篇是“曾经对数理经济学做出过最重要贡献的文献之一”。拉姆齐也写了一些与维特根斯坦（Wittgenstein）的逻辑悖论有关的重要文章，他还有一些论文对概率论给出了创造性的解释。不过他最重要的工作是在数理逻辑领域，这方面的研究使他发现了后来又被塞凯赖什重新获得的那条定理。具有讽刺意味的是，后来成为他名声的主要来源的拉姆齐理论，正如罗纳德·格雷厄姆和乔尔·斯潘塞（Joel Spencer）在《科学美国人》上一篇介绍该理论的文章所说，“对于他所未能得到的一般情形的证明却是不必要的”。
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拉姆齐的论文是解决怀特海（Alfred North Whitehead）与罗素在他们不朽的著作《数学原理》中提出的一些基本问题的尝试。受欧几里得几何学的启发，怀特海与罗素试图在他们的书中证明，全部数学都能从一套固定的公理集合与逻辑规则推导出来。德国数学家希尔伯特（David Hilbert）把这个思想推进了一步，并猜想你可以（至少在原则上）发现一个能够自动地判断数学命题之真假的程序。换言之，计算机可以用于决定任何数学判断真实与否。这里，关键在于“原则上”这个词。数学家们无须为他们的生计而害怕，因为这样的计算机即使存在也不可能提供像“天书”中那种优美而富有启发性的证明；哪怕是最简单的定理，计算机的证明也会是极端冗长与丑陋的，并且不能提供指导与启发。罗素和怀特海在《数学原理》中对等式1+1=2的形式证明就是出名地冗长含糊。按照希尔伯特所希望的程序，一台计算机可能需要几千年的时间才能判定一个命题是真还是假，但希尔伯特数学信念的要素，恰恰在于相信这样一个证明——任何证明——必定存在。“我们常常在内心听到这样的召唤：存在一个问题，去寻找它的答案。你可以运用纯推理找到答案，因为在数学里没有ignorabimus。”没有永远的不可知。
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几年之后，英国数学家艾伦·图灵（Alan Turing）发展了库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）所开创的工作，粉碎了希尔伯特的信念，他证明了即使是在原则上，给机器编制程序然后让它去确定所有判断的真假也是不可能的。在一篇论文中，哥德尔证明了存在不可判定的数学命题，即既不能证明也不能证否的命题。这篇论文在数学与哲学王国里引起的震撼，至今余波未平。
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拉姆齐是在尝试去做由希尔伯特提出而后来被哥德尔与图灵证明不可能的事情时发现他的定理的。如若不是塞凯赖什重新发现了这条定理，它也许至今仍鲜为人知。爱多士很快发现了拉姆齐的论文，因为从他还是一个本科生的时候起他就习惯于阅读手头能够得到的每一种数学期刊。
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尽管拉姆齐定理的数学陈述使用了抽象难懂的形式主义语言，但当我们在晴朗的夜晚仰望苍穹时，就能够理解其重要性。乍看起来，明亮的繁星似乎是随机地散布在天空中，经过仔细的观察之后也许会发现，星星似乎描绘出各种图形的轮廓：直线与矩形、五边形和圆。古代的占星家把这些图形看成是诸神和猛兽驰骋天穹的身影，并且认为星星的排列方式显示了一只隐藏的巨手的杰作。拉姆齐的定理提出了一个更加合理的解释。对拉姆齐来说，像我们在天空中所看到的那些形状不仅是可能的，而且只要随机散布的星星数目足够多，那么它们还是必然的。正如美国数学家默慈金（Theodore S. Motzkin）指出，拉姆齐的理论证明了完全的混乱无序是不可能的。
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为了向外行的读者解释拉姆齐的定理，爱多士常常借助于一个众所周知的派对（party）问题。6个人被邀请参加一个私人聚会，有生人有朋友。在这些客人中是否总有3个人都是朋友，或总有3个人都是生人？
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有许多方法可以解决这个问题。最简单的方法可能是首先把它转变成与一个图有关的问题，与欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时的做法类似。在这种情况下，用顶点或点代表派对参与者。若两个人彼此相识，就用实心的边或线把他们连接起来；否则用虚线连接。每一个顶点与其他各顶点都有一条实线或虚线相连。如果一个图里每一个顶点都与其他的顶点相连，这种图叫作完全图。
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如果3个人都互相认识，图中就会包含一个实线三角形；如果3人皆相互陌生，则图中将包含一个虚线三角形。派对问题于是被简化为：图中的边能否用这样的方法画出来，使得其中既无实线三角形也无虚线三角形。
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图4-9 派对问题里的关系用一个图来代表。朋友之间由实线相连，生人之间由虚线相连。能否画出一个图形既无实线三角形也无虚线三角形？
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回答这个问题的一个方法就是仔细地检查每一个可能的派对图，看看是否存在既无实线三角形也无虚线三角形的图。这么做有多困难？图形中包含15条边。（你能够用两种方法确定这些边的数目，要么从图上直接数出它们，要么注意6个顶点中的每一个顶点与另外的5个顶点相连，这样共给出30条边。但是这个方法把每一个顶点都数了2次——AB和BA都包括进去了，因此你必须除以2，这样就给出了正确答案——15条边。）15条边中的每一条都要么是实线要么是虚线，因而图的总数就第一条边来说是2，就第二条边来说则要乘以2，就第三条边来说要再乘以2倍，如此直到第十五条边。即为2的15次幂或215，这样产生了32 768个图形！计算机可以迅速地检查所有的这些图，但是许多人在远远没有完成这种检查之前可能头发就掉光了。
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稍微借助一点逻辑就能避免这样的自动脱发。首先把你的注意力集中于一个顶点。具体地，将这个顶点记为A。
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像其他所有顶点一样，顶点A由实线或虚线与其他每一个顶点相连。显然这5个边中至少有3个必是实的或必是虚的——如果实边数少于3，则虚边数就会大于3。在图4-10中，我们从A引出3条实边（如果我们假定这些边是虚的，则论证相同）。剩余的边无关紧要。
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图4-10 如果从A引出的3条边是实（或虚）线，避免实（或虚）线三角形的结果却产生了虚（或实）线三角形。