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牢记我们在努力避免画出实线三角形或虚线三角形。如果EC，ED或DC这3条边中有一条是实线，结果就会产生一个实线三角形。因此这3条边中必须是没有一条实线：所有3条边必须是虚线。但是这些边本身却构成了一个三角形ECD！在极力避免画出实线三角形的同时却画出了一个虚线三角形。如果我们以与A相连的3条虚线开始我们就会被迫画出一个实线三角形。这恰恰是我们所要着手证明的：在包含6个点（人）的完全图（派对）中，必定有一个实线三角形（3个人互相认识）或一个虚线三角形（3个人互相陌生）。
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拉姆齐的定理是派对问题的推广。这个定理说，随着派对越来越大，相互认识或相互陌生的人群也会越来越大，这是不可避免的。这些不断增加的、巨大的、必然的朋友或生人群具有与克莱因问题中的凸多边形或天空中的星座相应的结构。
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爱多士喜欢在演讲中指出，能确保一群人中有3个朋友或3个生人的拉姆齐数（派对的大小）的计算是相当简单的，但随着朋友或生人数目的增加，这个问题就会迅速变得极其困难。数学家们用符号R（3，3）来表示一个其中必有3人互为朋友或3人互相陌生的派对的大小。即使没有敏锐的洞察力，一部计算机也能通过机械地检查不同大小的派对直到获得所求答案：一个6人的派对。即使在很慢的计算机上这也无须很长时间，因为6个人的不同派对的数目仅为32 768。
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现在我们问，为了保证总是有4个相互认识的朋友的人群或4个相互陌生的人的人群，这个派对应该有多大呢？换言之，R（4，4）是多少？已经证明了答案是18，尽管如爱多士所说，这个证明“不再那么简单”。现在确实需要依靠聪明与机智了，因为一张具有18个点的图可以有大约1.14×1046种表示方式。要想对这个令人目眩的数字有一个印象，需要不切实际的比喻。有一个这样的比喻是，即使你身体里的每一个原子都是一部高速计算机，让这些计算机一齐开动起来，在相当于宇宙年龄的时间内都无法算出这个解来。这就是数学推理的力量，用推理代替蛮力。
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但数学推理的力量很快又被这个派对问题超越。没有人确切地知道需要多大的派对才能保证由5个相互认识的朋友或不认识的生人组成的小集团必然存在。世上最聪明的数学家们半个多世纪的工作已经把答数限制在42与50之间。在其关于拉姆齐理论的讲座中，爱多士乐于用他杜撰的离奇故事使听众对问题难度的惊人增长留下印象：“设想有一个恶魔威吓人类：要么告诉我5人问题的答案，否则我就毁灭整个人类……我们最好是乖乖地用数学和计算机尽力计算出答案。但如果他拿6人问题相威胁，那么我们能做的最好的事情就是在他毁灭人类之前把他毁灭，因为对6人问题我们束手无策。如果我们已经聪明到足以获得其数学证明，我们就可以将恶魔打入地狱了。”
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当爱多士努力研读隐藏在SF之书中的拉姆齐数时，其他人则在绞尽脑汁试图揭开另一本书字里行间的秘密。拉姆齐定理和机会逻辑能够确保他们取胜。迈克尔·德罗斯宁（Michael Drosnin）在其畅销书《圣经密码》（The Bible Code）中发展了耶路撒冷希伯来大学里普斯（Eliyahu Rips）的工作，挖掘了埋藏在《圣经》中的信息。通过使用一部计算机扫读希伯来《圣经》中的304 805个字母，德罗斯宁宣称发现了足够的预言和征兆来挑起约书亚、诺斯特拉达莫斯及神奇卡纳克的共同嫉妒(6)。德罗斯宁通过检查《圣经》中固定间距的字母来找出他的信息。下面是一个并非取自德罗斯宁大作的例子，研究一下英王钦定版（KJV）《圣经·出埃及记》中的一段话（31：28）：“And hast not suffered me to kiss my sons and my daughters? thou hast now done foolishly in so doing.”从“daughters”（女儿）中的R开始跳过4个字母（忽略空格和标点）到“thou”（你）中的O，再跳过4个字母到“hast”（已经）中的S，如此等等。结果得到单词“ROSWELL”（罗斯韦尔）(7)，以“thou”中的U开始，跳过7个字母得到F，接着再跳过另外7个字母得到O。于是，单词UFO隐藏在包含ROSWELL的同一段文字之中，有人认为这证明《圣经》预言了新墨西哥沙漠外星人的到来。
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德罗斯宁通过使用计算机使自己摆脱冗长乏味的搜索，发现了许多似乎很重要的单词和词组并列贯穿在《圣经》之中。例如他发现，隐藏单词“达拉斯”（Dallas）(8)挨着“肯尼迪”（Kennedy）。使用这种技术，德罗斯宁声明已经发现了与人类历史上几乎每一个事件和人物有关的预言：拉宾遇刺，海湾战争，阿道夫·希特勒，比尔·克林顿，等等等等。
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隐藏在《圣经》字里行间的“预言”与古代人在沙漠的天空中见到的星座是一样的。尽管不可能去证明这些星座是被上帝或诸神之手撒在天空中的，拉姆齐的理论告诉我们，如果给定足够的字母或星星，这一切都是必然的。物理学家、怀疑论者托马斯（David Thomas）研究了英王钦定版《圣经》《战争与和平》以及其他著作，既有圣典亦有凡作，从其中的文句搜索预言。与德罗斯宁研究希伯来《圣经》的情形一样，他在这些著作中也发现了大量的信息。一些支持《圣经密码》的人问道：“这样惊人的巧合怎么会是随机机会的产物呢？”对这些支持者的问题托马斯用一个他认为是真正的问题来回答：“这样惊人的巧合为什么不能是对大量随机数据进行大量试验的必然结果呢？”
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20世纪70年代，由太空望远镜发射回来的照片提供了另一个思考拉姆齐理论重要性的机会。1976年7月，海盗1号轨道器在搜寻合适的登陆地点时，拍摄了一张火星上塞东尼亚平原的照片。由轨道器拍摄的山脉照片中有一张极似人或猿的面孔。
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图4-11 弗兰克·拉姆齐在火星上？
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美国航空和航天局（NASA）发表了这张塞东尼亚面孔的照片，因为它认为这张照片比海盗号为多沟的火星表面拍摄的其他许多照片都更引人注目和令人惊叹。NASA的科学家对随之而来的公众怒潮并无思想准备。许多人坚持认为这张面孔是人工制造的，当作一个信息放在火星上等着地球人来发现。于是掀起了一场小小的运动，试图解释这张面孔及由目光敏锐并富有想象力的探索者们发现的其他形貌。如果这些人有更好的理解力的话，他们想必会知道，海盗号探测器拍摄的就是拉姆齐的面孔，或至少是他的理论的面孔。
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拉姆齐定理所能做的不仅仅是解释欺骗与错觉。按塞凯赖什的想象，从研究散布在欧几里得平面上的点到探索诸如生命起源这样的宇宙问题只是一步之遥。“遗传密码给你一些指令，这相当于说‘点在平面上’，树上突然出现一片树叶”，这与凸多边形出现在平面上是一样的必然。塞凯赖什喜欢告诉他的学生，无须太多的逻辑步骤，“你就能从这样幼稚的问题转移到与我们的存在有关的最大的谜。从某种程度上说，整个生命就是一种方式，拉姆齐定理多少触及了这个问题。确实，我努力说服他们，永远不要听信别人说这类问题的研究只不过是一种无用之举”。
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爱多士从来不需要说服，他立即被塞凯赖什的证明所吸引和鼓舞，并迅速地发现了他自己的一个巧妙证明，一个不需要使用拉姆齐定理的证明。爱多士的证明有一个优点，就是提供了一个对为了确保给定边数的凸多边形的存在所需点数的更加精确的估计。埃丝特已经发现为保证一个凸四边形需要有5个点。他们的朋友之一毛考伊（E. Makai）证明，当任意9个点散布在平面上时，其中有5个点将必然地构成一个凸五边形。有人注意到埃丝特·克莱因问题的解5等于2×2+1，即22+1，而且毛考伊的解9等于2×2×2+1，或23+1。数学直觉令爱多士、塞凯赖什和克莱因（无人知道是谁首先想到）猜想，为确保一个凸六边形（6个边）的存在，所需的点数为2×2×2×2+1=24+1=17。还没有人能证明17个点是足够的。然而，就在这两个点数的基础上，年轻的数学家们又大胆地陈述了对这个问题的推广：n条边的凸多边形必然出现，如果有2（n-2）+1或更多个点散布在平面上。尽管塞凯赖什说他们“坚信这是正确的值”，但至今仍没有人能够证明这个猜想。
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在成功地解决了埃丝特的问题之后，塞凯赖什回忆说：“我和埃丝特之间的亲密关系已没有任何障碍。”至于爱多士，他回忆道：“他与这整个事情有着某种感情联系，于是便让自己全身心地投入到拉姆齐理论之中，并成为这个理论的最伟大的专家和支持者。”拉姆齐理论——这个术语是爱多士给出的——已成为数学的一个独立领域。
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爱多士与塞凯赖什的论文将成为他最早的和最光芒四射的宝石之一，并且在其余生中，他一直醉心于拉姆齐理论及组合几何学。但是，爱多士对论文所解决的这个问题的情感将伴着对问题的提出者和第一个解决者的情感永远萦绕心间。塞凯赖什和克莱因一年之后订婚了。爱多士对这个结局如同对论文中获得的数学结果一样感到幸福，他总是把埃丝特的难题称为“幸福结局问题”。塞凯赖什与埃丝特于1936年结婚。“我记得婚礼那一天，”爱多士说，“恰巧是我获悉维诺格拉多夫（Vinogradov）证明了非同寻常的哥德巴赫猜想的翌日。”这说明了他的思维是怎样把所有的事件都与数学联系在一起。
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(1)贝热拉克（Cyrano de Bergerac，1619—1655），法国讽刺作家和戏剧家。他是电影《大鼻子情圣》主人公的原型，1654年为木梁砸中，一年后过世，但死因未明。——译者
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(2)爱多士应用他最伟大的发明之一“概率方法”，证明了具有希东所指定的性质的整数列是存在的。但他不能构造出一个这种数列的例子，因而他向能够解决此问题的人悬赏300美元。此奖迄今无人认领，但像爱多士生前提供的所有奖金一样，此项奖金将会由他的朋友们建立的基金会支付给任何有资格获得它的人。——原注
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(3)又名“约当曲线定理”，是法国数学家约当（M. C. Jordan，1838—1922）提出的。——译者
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(4)尽管爱多士所写的论文比欧拉多，但欧拉写了大量关于物理、天文和其他相关领域的作品。他的著作集共有70多卷，远远超过了爱多士发表的著作。另一方面，爱多士每一年要写几千封数学信件，如果这些信件也都出版的话，相信能够向欧拉的记录提出挑战。——原注
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(5)为避免混淆，不许3点共线。——原注
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(6)约书亚（Joshua），《圣经》中的人物，继摩西之后犹太人的首领；诺斯特拉达莫斯（Nostradamus，1503—1566），占星学家，预言家，此人宣称自己有预见未来的能力；神奇卡纳克（the Amazing Karnak）可能是指脱口秀节目中约翰尼·卡森（Johnny Carson）扮演的神奇人物，能够通过占卜获得未知问题的答案。——译者
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(7)美国新墨西哥州沙漠城市，1947年7月有不明飞行物坠毁于此。——译者
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(8)美国城市，美国前总统肯尼迪（1917—1963）在此遇刺身亡。——译者
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