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图5-2 在有4个顶点、5条边的图形中，必然有一个三角形
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一般的情况是，如果边数至多是顶点数平方的四分之一，那么在这个图形中就不存在三角形，证明这个结果并不特别困难（虽然也超出了本书的范围），但是如果要避免的不是三角形而是四边形，证明就变得困难多了。两年来，保罗·图兰逐渐感到这些极值问题——与形成结构的极值有关的问题——是如此引人入胜、魅力无穷和丰富多彩，它们本身是很值得研究的。他的一篇论文构成了极值图论这一新学科的基础。爱多士成为极值图论的领袖之一，在这一领域里到处充满他的定理和猜想。但爱多士仍旧很自责，因为他一直觉得自己“本来应该发明”他所支配的这一领域。
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爱多士会把他的失误和发明阴极射线管的物理学家克鲁克斯（Sir William Crookes）相提并论，克鲁克斯发现他的管子使密封在不透光封袋里的感光胶卷变模糊了。爱多士评论道，他根据这一观察得到的结论是人们不应该把胶卷放在阴极射线管附近。几年后，伦琴（Wilhelm Roentgen）以同样的方式弄坏了一些胶卷，而这个经历却导致他发明了X射线机。教训是什么呢？按照爱多士的看法，“适当的地点适当的时间还不够，你还应该在适当的时间有开放的思维”。
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爱多士另外一篇在组合论中引用图论的文章是他在曼彻斯特与拉多和一位年轻的中国数学家柯召合写的论文，这篇文章包括了著名的爱多士-柯-拉多定理。这篇文章写于1938年，但部分地因为当时数学界对组合论缺乏兴趣，所以迟至1961年才得以发表，成为一篇“瞬时经典”。
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爱多士已经习惯了乘车并且发现这是一个很好的工作地点，他经常访问剑桥大学和其他数学中心。他的门生博洛巴什（Béla Bollobás）在一本传记中写道：“自1934年以来，他几乎没有连续7个晚上在同一张床上睡过觉，他经常穿梭于曼彻斯特、剑桥、布里斯托尔、伦敦和其他大学之间。”
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在曼彻斯特这些年，爱多士与那些身在匈牙利的朋友仍旧保持亲密的联系，爱多士每年至少要回家3次，即圣诞节、复活节和暑假。与欧洲的其他地方一样，布达佩斯的政治形势也逐渐变得严峻起来。到1936年，爱多士的朋友拉斯洛·奥尔帕尔已经被监禁10次，他回忆道：“很多人劝我去巴黎继续学业，巴黎这时正值人民阵线执政。爱多士叔叔［爱多士的父亲］帮我凑足了去巴黎的旅费和第一学期的生活费用。”瓦佐尼后来也搬到巴黎。埃丝特和塞凯赖什后来则逃到上海。
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当电台报道变得越来越残酷时，爱多士开始计划逃离欧洲。1937年他申请普林斯顿高等研究所的研究基金，不料被他的同胞也是这个研究所的成员冯·诺伊曼告知：“尽管我们非常渴望你能前来访问”，但是时下没有经费。几个月后，下学年的拨款下来了，于是支付给爱多士1938—1939年访问期间的薪金1 500美元。
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1938年3月，希特勒的军队席卷奥地利，“元首”宣布奥地利并入第三帝国。那年夏天爱多士拜访了埃丝特和塞凯赖什。他们正在风景如画的比克山度假，朋友们都意识到他们也许永远不能再相见了。尽管过去了60多年，回首往事，塞凯赖什仍然十分痛苦。“那残酷的年代，乌云笼罩在欧洲的上空，爱多士毫不怀疑地认为，这里无论有什么样的机会，我们也应该离开（一年后我们果真都离开了）。爱多士甚至比英国首相张伯伦还有远见。告别的时刻到了，望着渐渐消失在烟尘中的汽车，我和埃丝特默然相对，哽噎无言。”为了说明恐怖的真实性，塞凯赖什讲述了格林瓦尔德（Géza Grünwald）的故事，他遇见格林瓦尔德时后者正在匈牙利的比克山漫游。格林瓦尔德是他们的另一个亲密的朋友，也是爱多士早期合作者之一。“几年后他在一个劳工集中营里死去，不是死在战场上，而是死在自己的同胞手里。”
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9月3日，希特勒竟然要求吞并苏台德地区，这是捷克斯洛伐克一个讲德语的地区。爱多士被震惊了。与他的朋友——其中许多后来都死于战争——还有他挚爱的阿普卡和安优卡匆匆告别之后，爱多士登上列车绕道而行，途经意大利、瑞士、巴黎，最后抵达伦敦。9月28日，爱多士乘“玛丽女王”号前往纽约，10月3日在去普林斯顿的路上经过埃利斯岛。以后的10年中，他再没有回过布达佩斯。
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(1)埃舍尔（M. C. Escher，1898—1972），荷兰版画家。——译者
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第六章 失乐园
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1938年10月4日当爱多士来到高等研究所（IAS）时，研究所刚好成立5周年。它位于新泽西州普林斯顿城的郊区，占地约1平方英里，四周树木环绕，远离外面世界的喧嚣。用其创建者——美国教育改革家弗莱克斯纳（Abraham Flexner）的话来说，这里是知识分子真正的“乐园”。
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8年前，弗莱克斯纳开始与后来成为慈善家的路易斯·班伯格（Louis Bamberger）及其胞妹卡罗琳·班伯格·富尔德（Caroline Bamberger Fuld）打交道。这对兄妹在那不久前一直是当时美国第四大零售连锁店班伯格公司的老板。就在1929年美国股票出现猛跌的一个黑色星期一之前6周，他们把连锁店转让给了梅西（R. H. Macy）公司，再度展现了他们创业时的敏锐洞察力和好运气。班伯格家族的慷慨大方就像他们的运气一样，他们决定用自己的钱财为那些曾帮助他们积累财富的人士——新泽西州的顾客们——做一些有益的事。他们的第一个念头是捐助一家医学院。于是兄妹俩拜访了弗莱克斯纳，他是一位以揭露医学院的腐败和欺诈而闻名的著名医生和教育者。
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对于如何最佳地利用这笔钱，弗莱克斯纳有他自己的想法。他向来访者描绘了他心目中研究所的蓝图，它与自毕达哥拉斯时代以来世界上任何研究所都不同。如同毕氏学园一样，弗莱克斯纳设想它将是“一个安全的避风港，在这里，学者和科学家把世界及其种种现象作为他们的实验场所，而不会被强行卷入近期的旋涡中”。美国有很多医科学校，但却没有一个像弗莱克斯纳所想象那样的研究所。班伯格兄妹立刻被他的想法迷住了。不久他们就开出了巨额支票，资助弗莱克斯纳去实现他的梦想。
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在欧洲，所谓“近期旋涡”是由法西斯主义引发的，而且正在失去控制地蔓延，许多世界上最优秀的科学家和数学家都急需一个安全的避风港。他们中间最重要的人物就是世界闻名的物理学家爱因斯坦。弗莱克斯纳的第一个漂亮之举就是与爱因斯坦签订合约聘请他为研究所的首席教授，这立刻提高了研究所在国际上的知名度。借助于爱因斯坦的威望，不必说丰厚的薪水和悠闲的工作条件——这里没有教学任务，因为研究所没有学生，只有教授和博士后“工作人员”——研究所不久就成为各个国家的知识界精英们所重视和愿意前往的地方。至少对数学家和理论物理学家是如此，因为他们的学科是最纯粹的，很少有学科能与之相比。当研究所的一位来访者要求看看爱因斯坦的实验室时，这位伟大的物理学家炫耀地从胸部口袋内掏出一支自来水钢笔，说道：“在这里。”这就是高等研究所让人喜欢的地方。
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对于爱多士来说，也许在每一方面研究所看起来都像弗莱克斯纳所许诺的乐园那样。后来成为研究所所长的奥本海默（J. Robert Oppenheimer）称它为“知识分子的宾馆”；与爱多士一起在研究所的另外一位匈牙利数学家哈尔莫斯（Paul Halmos）则说，它不过是一个“数学的乡村俱乐部”。“大家——包括我自己——在普林斯顿是如何搞研究的呢？”哈尔莫斯感到奇怪。
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长时间的散步，公共房间的闲聊，没完没了的围棋赛，不知道研究工作在什么时候进行。爱多士和其他数学家们在研究所迷上围棋是很容易理解的。这个古老的亚洲游戏表面上看起来很简单，只是在一个19×19矩形格子的交点处交替走黑石子和白石子（在研究所他们用图钉）。一局围棋，从本质上来看，不过是一个图论问题。如果像哈代所写的，“象棋是数学的赞美诗”，那么围棋就是大合唱。在一次象棋比赛中，一台专门用于下象棋的IBM“深蓝”超级计算机击败了世界冠军卡斯帕罗夫（Gary Kasparov），但是对于围棋这样的娱乐项目，即使最棒的下围棋的计算机甚至不能够击败一个优秀的业余棋手，起码在近期内不能做到，这也就是为什么围棋对于这些在研究所里从事脑力劳动的人来说是一个很好的娱乐活动的原因。
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在娱乐和游戏之外，哈尔莫斯、爱多士和其他科学家完成了数量惊人的工作。在爱多士传奇式的多产研究生涯中，研究所的一年半尤为突出。在所观察的每一领域，他都发现了要解决的问题并找到了要合作的同行。爱多士天生的数学才能甚至令研究所的那些精英都感到惊讶。曾经有一次，在“法恩楼”（Fine Hall）的公共休息室里，爱多士不经意地听到两位数学家在讨论维数论中的一个问题，这是拓扑学的一部分。而爱多士当时对此几乎一无所知。这两位数学家正在拼命地思索希尔伯特空间里有理点集的维数这个未解决的问题。那是什么意思并不重要，就连爱多士都没弄明白。想试运气的人会说答案要么是0要么是无穷大。而站在黑板旁的两位数学家——霍维茨（Witold Hurewicz）和沃曼（Henry Wallman），他们都是此领域的领头专家——对这问题却没有取得丝毫进展。
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“什么问题？”爱多士问道。两位数学家被突然打断，显得有点不耐烦，他们很快地做了解释。
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“维数是什么意思？”然后他又问道，显示出不可救药的无知。他也不清楚希尔伯特空间是怎么回事。为了让这位闯入者安静下来，沃曼匆匆说了一下维数的定义。他们如释重负，爱多士终于走了。但1小时之后他带着问题的答案回来了。令两位专家吃惊的是，答案竟然是1。爱多士的论文一年后发表了，哈尔莫斯写道，这是“对一个在数月前他还一无所知的学科的重要贡献”。
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爱多士一直把他在普林斯顿的那一年描述为他生涯中最为成功的一年。他继续发掘关于整数的那些出人意料的奇妙结果。例如，经过独自的努力，爱多士证明了任意多个连续整数之积不是一个完全平方数。结论看起来既简洁又清晰，使人再度信服数学结构的有序性。但是在同年的一篇标志着他的一项重大成果的文章里，爱多士阐述了在整数的表面规则的背后实际隐藏着混乱。当研究所最著名的居民爱因斯坦正在设法否定量子论从而证明上帝不会拿宇宙开玩笑时，爱多士与一位年轻的波兰数学家卡茨（Mark Kac）却证明“最高法西斯”正在与整数开玩笑。
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卡茨是刚从波兰来到这里的，他在约翰·霍布金斯大学与温特纳（Aurel Wintner）一起搞概率论方面的研究，后者是1930年移居美国的一位匈牙利数学家，然而数学不是卡茨来到这里的唯一原因。当时欧洲盛传一个笑话，一个人问另外一个人：“你是雅利安人吗，或者你正在上英语课吗？”卡茨不是雅利安人，因此在来巴尔的摩之前，他匆匆地、有点随意地学了一些英语。他的数学词汇量很大，但在吃饭时却遇到了麻烦；在餐馆里他点到的菜跟他想要的总是天差地别。他老在当地的一个杂货店里解决午餐，学会了跟着别人说“奶油芝士三明治和咖啡”，而且很清晰。服务员每一次都要问：“On toast？”(1)这超出了卡茨的语言能力，他傻乎乎地笑了一下，像是在思考。后来他查了一下袖珍词典，发现“toast”还有这个意思：“先生们，国王在此！”“从逻辑上来说，我想‘On toast’应该是某种敬称，我一直以为是这样。”卡茨写道。又过去了两周，每一次侍者都要问：“On toast？”他总是彬彬有礼地点一下头然后回答：“On toast！”一段时间后，卡茨感到有点不对，于是请教他的一位朋友。等他笑够之后，他的朋友问道：“你为什么不否定一次呢？这样你不就很快能知道‘On toast’是什么意思了？”“我不想冒不礼貌的危险。”卡茨回答道，随后又笑了。
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