1705580700
当卡茨在波兰跟随伟大的数学家斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）学习时，他就被概率论深深吸引了，尤其是正态分布，后来的学生都很清楚它是一个近似于钟形的曲线。对无论哪一领域的随机事件，这一钟形曲线都会有类似的凸起。如测量一组12岁孩子的身高：大部分人都集中在平均值左右，当身高与平均值离得越远，高个子和矮个子的人数越少。同样的曲线也可以描述人类的智商分布——多数人的智商都在曲线的峰点100附近，像研究所爱多士那些人应该分布在峰点右侧的一个狭窄区域。人的寿命和掷钱币也可以用正态分布来描述。古老楼梯的光滑踏板由于多年无数次的践踏而被磨损，呈现出倒置的钟形。中间凹陷的部分最深，因为大多数的人都踩在中央，而两边则逐渐变浅，这是数学原理的物理表现。
1705580701
1705580702
正态分布是法国数学家棣莫弗（Abraham De Moivre）于1733年发现的。1685年棣莫弗18岁的时候，路易十四取消了过去颁布的南特诏书，这是一份在天主教为主体的法国保证那些新教徒公民权利的诏书。棣莫弗是一个新教徒，为追求他的信仰而被打入监狱。两年后获释，出狱后他从法国逃亡到了英国。而在英国，1688年的“光荣革命”之后，法律剥夺了那些天主教徒的权利。棣莫弗定居在英国，却无法获得一个学术职位。因此他主要靠教数学来维持自己的生活。几乎每天下午，在他讲完课之后，都能在圣马丁巷的斯劳特咖啡馆找到他。他在这里向那些掷骰子、玩牌和卖保险的赌徒们卖弄他在概率问题上的专长。
1705580703
1705580704
棣莫弗对赌徒们急于想知道的一个问题非常感兴趣：如何鉴别一枚硬币是否公正？一枚公正的硬币落在地上时正面向上的可能性和正面向下的可能性应该是一样的。抛100次硬币应该发生50次正面向上。但那只是一个平均值，有时可能是43次向上，有时可能是62次。事实上，介于0到100之间的任何结果都是可能的，但是有些结果是不太可能的。判断是否公正的关键是要知道各种结果的可能性。在汤姆·斯托帕德（Tom Stoppard）的话剧《罗森克兰茨和吉尔登斯特恩之死》(2)中，两个主角用掷硬币来赌，这枚硬币也许是公平的也许不是。吉尔登斯特恩赌反面向上，当硬币连续85次正面向上落在地上时，可以理解吉尔登斯特恩沮丧的心情。他质问罗森克兰茨，但对方看起来并不觉得有什么不妥。
1705580705
1705580706
吉：没有问题吗？不停一下吗？
1705580707
1705580708
1705580709
1705580710
罗：是你自己掷的呀？
1705580711
1705580712
吉：没有一点疑问吗？
1705580713
1705580714
罗：哦，我赢了——不是吗？
1705580715
1705580716
吉：但是如果你输了呢？如果它们反面向上，就像刚才那样，一个接着一个，连续85次反面向上？
1705580717
1705580718
罗：连续85次反面向上？
1705580719
1705580720
吉：是的！你会怎么想呢？
1705580721
1705580722
罗：嗯……嗯，那我首先要仔细看看你的硬币！
1705580723
1705580724
涉及自身利益时，数学发挥了作用。吉尔登斯特恩说：“抛硬币时平均结果的稳定性依赖于一个原理或者毋宁说是一种趋势，或者让我们说是一种概率，无论如何，它实质上就是数学上可以计算的机会，能确保你不会输得太多而使自己沮丧，也不会赢得太多而使对手灰心。”棣莫弗的正态分布也许可以解释吉尔登斯特恩关于硬币被扭曲的怀疑，它给出了当一枚硬币被多次抛掷时各种期望结果的概率分布。
1705580725
1705580726
借助于他的朋友牛顿最近发现的微积分知识和帕斯卡（Blaise Pascal）的计算技巧，棣莫弗发现了连续抛很多次硬币的每种可能结果的概率。正如所预料的，方程描绘了一条曲线，正面向上次数和反面向上次数相等处为曲线的峰点，而在峰点的两侧对称地下落。峰点任意一侧的正态曲线形如一座适于滑雪的小山。最初下落很陡，然后渐渐变得平缓。正面向上的次数介于30到60之间的概率，很简单，就是两个上下限间的曲线以下的面积。
1705580727
1705580728
从正态分布曲线很容易看出，几组硬币的结果都集中在中央峰点周围的一个狭窄区域，峰点代表期望值。抛一枚硬币100次，平均期望值或者说中间值是50次正面向上。但是偏离这个中间值的各种结果也可能出现，为了使这种偏离定量化，棣莫弗发明了度量这些偏离的可能范围的一个概念，即所谓标准差。在正态分布中大约所有观察结果的2/3——68%——落在中间值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内。对于一枚公正的硬币来说，标准差等于次数平方根的一半。因此，抛一枚硬币100次，标准差是5，或者是100的平方根的一半。正面向上次数的2/3介于45与65之间；正面向上次数的95%介于40与60之间。
1705580729
1705580730
1705580731
1705580732
1705580733
图6-1 抛一枚硬币100次，正面向上的次数介于40与55次之间的概率是钟形正态曲线下面所给的面积。
1705580734
1705580735
达尔文的外甥高尔顿（Francis Galton）(3)贴切地把正态分布描述为“不合理的最高法则”。确实，概率论历经3个世纪仍旧不遵守甚至最伟大的数学家的推理。在爱多士最后一次和朋友瓦佐尼在加利福尼亚州的圣罗沙停留时，瓦佐尼“不知出于什么原因”决定用当时流传的一个谜题考考爱多士的概率直觉。在当时，爱多士已是概率论方面的世界权威。他最大的成就之一就是“概率方法”，经常简称为“爱多士方法”。因此从某种意义上来说，爱多士的名字已成为概率论的同义语。瓦佐尼认为爱多士很快就会抓住蒙蒂·霍尔（Monty Hall）问题的核心，就像他解决许多更难的问题一样。但是瓦佐尼错了。
1705580736
1705580737
当自称世界上最聪明的女人萨万特（Marilyn vos Savant）1991年9月把这个难题刊登在《大观》（Parade）杂志她的每周专栏上时，它在数学界已经流传几年了。这个问题是“公平交易”（Let’s Make a Deal）游戏节目主持人蒙蒂·霍尔喜欢玩的那些善意恶搞戏法的翻版。
1705580738
1705580739
假设你是表演嘉宾，蒙蒂·霍尔让你从三扇门中任选一扇。其中一扇门的后面是丰厚的奖金——100万美元的金条，或者轻松的月球旅行，抑或你心里想要的随便什么东西。而另两扇门则是安慰奖——比方说一只山羊，不值多少钱。在蒙蒂·霍尔打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇藏有山羊的门。因为有两扇门的后面是山羊，所以无论你选择哪一扇门，蒙蒂·霍尔总可以牵出一只山羊。然后他再给你一次机会：你可以坚持最初的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门。这时你怎么做呢？
1705580740
1705580741
瓦佐尼告诉爱多士正确的策略是应该换：“我以为我们可以进行下一个话题。但是令我惊讶的是，爱多士说不，无论换与不换都一样。”爱多士也掉进了曾使许多数学家上当的陷阱。这些数学家给萨万特发来一些措辞尖刻的信，他们后来也许会后悔。其中一位数学家甚至极为尴尬，在这里我们不提他的名字，他写道：“你别胡说八道了，让我解释一下吧：如果打开的门后是一只山羊，那么这个信息使余下任何一个选择的概率——没有理由认为这两个概率是不一样的——变为1/2。作为一名职业数学家，我对公众缺乏数学能力的状况十分忧虑。拜托你承认错误吧！以后要加倍小心。”其他数学家却不像这位数学家这样有礼貌。
1705580742
1705580743
尽管教授对大众数学能力的忧虑是合理的，然而换一扇门确实是最好的选择。也许理解这个策略最容易的方式是要注意，你最初选择正确的门的概率是1/3，即使在蒙蒂·霍尔向你展示山羊之后，这个概率也不会变。由于你选择的门后有奖金的概率是1/3，因此另一扇门中奖的概率就是2/3。(4)这样转移将使你中奖的概率增加一倍。爱多士和所有给杂志写信的那些愤怒的数学家都没能理解，展示山羊其实提供了重要的信息。
1705580744
1705580745
瓦佐尼用数学语言向爱多士解释了这个策略，但是爱多士仍旧不相信，像给萨万特写信的那些数学家一样，爱多士变得心烦意乱。“在这一点上，我感到很抱歉给爱多士出了这样一个问题。”瓦佐尼回忆道。他的解释令爱多士感到沮丧，爱多士终于拂袖而去。一小时后他又回来了，大声对瓦佐尼嚷道：“你根本没有告诉我为什么要换！你这是怎么回事？”当瓦佐尼在他的计算机上显示了模拟过程(5)，爱多士才深信这个策略的智慧。但是他仍旧为自己不能直觉地理解这个策略而感到沮丧。几天后爱多士亲密的朋友格雷厄姆——一位在贝尔实验室的数学家——向他解释了这个问题，直到他满意，这样他的心情才缓和下来。
1705580746
1705580747
如果连爱多士这样伟大的数学家都被随机法则给愚弄了。那么可怜的吉尔登斯特恩还有什么希望呢？在一枚公平硬币的行为和蒙蒂·霍尔问题解法的背后是所谓的统计学独立的概念。像许多表面上很普通的英语单词一样，单词“独立”有一个精确的数学定义，词典的定义顶多只能给出一个近似的解释。像“群”、“域”和“信息”这些词汇，对于数学家和史学家来说，指的是不同的事物。这也许会导致很糟糕的一词多义，但也能引出非常精确的表述。当一个结果不影响另一个结果时，我们说两个事件是独立的。一枚硬币正面向上是独立于它先前有一次甚或连续85次正面向上。乐观一点看，吉尔登斯特恩可以把他的坏运气看作“对原理的一个宏观证明，即独立地抛一枚硬币出现正面向上或反面向上的可能性都是一样的，因此每一次都出现相同的结果也没有什么值得惊讶的”。
1705580748
1705580749
要想知道两个独立的随机事件同时发生的概率，只需把这两个事件单独发生的概率相乘就可以了。这个规定就是对独立性的数学定义。因此，连续抛两次硬币正面都向上的概率为1/2×1/2=1/4，因为一枚硬币正面向上的概率为1/2，吉尔登斯特恩连续抛币85次正面向上的概率为1/2×1/2×1/2……（共85次），或者为1/285，大约等于1/（4×1025），这是一个如此巨大以致可以看作无穷大的数。即使他每秒钟能抛上兆次硬币，到所有星星都燃成灰烬时，吉尔登斯特恩也不能合理地预料会出现这样一连串的正面向上。要么是硬币不可靠，要么吉尔登斯特恩中了巨彩。