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罗：是你自己掷的呀？
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吉：没有一点疑问吗？
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罗：哦，我赢了——不是吗？
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吉：但是如果你输了呢？如果它们反面向上，就像刚才那样，一个接着一个，连续85次反面向上？
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罗：连续85次反面向上？
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吉：是的！你会怎么想呢？
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罗：嗯……嗯，那我首先要仔细看看你的硬币！
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涉及自身利益时，数学发挥了作用。吉尔登斯特恩说：“抛硬币时平均结果的稳定性依赖于一个原理或者毋宁说是一种趋势，或者让我们说是一种概率，无论如何，它实质上就是数学上可以计算的机会，能确保你不会输得太多而使自己沮丧，也不会赢得太多而使对手灰心。”棣莫弗的正态分布也许可以解释吉尔登斯特恩关于硬币被扭曲的怀疑，它给出了当一枚硬币被多次抛掷时各种期望结果的概率分布。
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借助于他的朋友牛顿最近发现的微积分知识和帕斯卡（Blaise Pascal）的计算技巧，棣莫弗发现了连续抛很多次硬币的每种可能结果的概率。正如所预料的，方程描绘了一条曲线，正面向上次数和反面向上次数相等处为曲线的峰点，而在峰点的两侧对称地下落。峰点任意一侧的正态曲线形如一座适于滑雪的小山。最初下落很陡，然后渐渐变得平缓。正面向上的次数介于30到60之间的概率，很简单，就是两个上下限间的曲线以下的面积。
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从正态分布曲线很容易看出，几组硬币的结果都集中在中央峰点周围的一个狭窄区域，峰点代表期望值。抛一枚硬币100次，平均期望值或者说中间值是50次正面向上。但是偏离这个中间值的各种结果也可能出现，为了使这种偏离定量化，棣莫弗发明了度量这些偏离的可能范围的一个概念，即所谓标准差。在正态分布中大约所有观察结果的2/3——68%——落在中间值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内。对于一枚公正的硬币来说，标准差等于次数平方根的一半。因此，抛一枚硬币100次，标准差是5，或者是100的平方根的一半。正面向上次数的2/3介于45与65之间；正面向上次数的95%介于40与60之间。
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图6-1 抛一枚硬币100次，正面向上的次数介于40与55次之间的概率是钟形正态曲线下面所给的面积。
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达尔文的外甥高尔顿（Francis Galton）(3)贴切地把正态分布描述为“不合理的最高法则”。确实，概率论历经3个世纪仍旧不遵守甚至最伟大的数学家的推理。在爱多士最后一次和朋友瓦佐尼在加利福尼亚州的圣罗沙停留时，瓦佐尼“不知出于什么原因”决定用当时流传的一个谜题考考爱多士的概率直觉。在当时，爱多士已是概率论方面的世界权威。他最大的成就之一就是“概率方法”，经常简称为“爱多士方法”。因此从某种意义上来说，爱多士的名字已成为概率论的同义语。瓦佐尼认为爱多士很快就会抓住蒙蒂·霍尔（Monty Hall）问题的核心，就像他解决许多更难的问题一样。但是瓦佐尼错了。
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当自称世界上最聪明的女人萨万特（Marilyn vos Savant）1991年9月把这个难题刊登在《大观》（Parade）杂志她的每周专栏上时，它在数学界已经流传几年了。这个问题是“公平交易”（Let’s Make a Deal）游戏节目主持人蒙蒂·霍尔喜欢玩的那些善意恶搞戏法的翻版。
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假设你是表演嘉宾，蒙蒂·霍尔让你从三扇门中任选一扇。其中一扇门的后面是丰厚的奖金——100万美元的金条，或者轻松的月球旅行，抑或你心里想要的随便什么东西。而另两扇门则是安慰奖——比方说一只山羊，不值多少钱。在蒙蒂·霍尔打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇藏有山羊的门。因为有两扇门的后面是山羊，所以无论你选择哪一扇门，蒙蒂·霍尔总可以牵出一只山羊。然后他再给你一次机会：你可以坚持最初的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门。这时你怎么做呢？
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瓦佐尼告诉爱多士正确的策略是应该换：“我以为我们可以进行下一个话题。但是令我惊讶的是，爱多士说不，无论换与不换都一样。”爱多士也掉进了曾使许多数学家上当的陷阱。这些数学家给萨万特发来一些措辞尖刻的信，他们后来也许会后悔。其中一位数学家甚至极为尴尬，在这里我们不提他的名字，他写道：“你别胡说八道了，让我解释一下吧：如果打开的门后是一只山羊，那么这个信息使余下任何一个选择的概率——没有理由认为这两个概率是不一样的——变为1/2。作为一名职业数学家，我对公众缺乏数学能力的状况十分忧虑。拜托你承认错误吧！以后要加倍小心。”其他数学家却不像这位数学家这样有礼貌。
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尽管教授对大众数学能力的忧虑是合理的，然而换一扇门确实是最好的选择。也许理解这个策略最容易的方式是要注意，你最初选择正确的门的概率是1/3，即使在蒙蒂·霍尔向你展示山羊之后，这个概率也不会变。由于你选择的门后有奖金的概率是1/3，因此另一扇门中奖的概率就是2/3。(4)这样转移将使你中奖的概率增加一倍。爱多士和所有给杂志写信的那些愤怒的数学家都没能理解，展示山羊其实提供了重要的信息。
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瓦佐尼用数学语言向爱多士解释了这个策略，但是爱多士仍旧不相信，像给萨万特写信的那些数学家一样，爱多士变得心烦意乱。“在这一点上，我感到很抱歉给爱多士出了这样一个问题。”瓦佐尼回忆道。他的解释令爱多士感到沮丧，爱多士终于拂袖而去。一小时后他又回来了，大声对瓦佐尼嚷道：“你根本没有告诉我为什么要换！你这是怎么回事？”当瓦佐尼在他的计算机上显示了模拟过程(5)，爱多士才深信这个策略的智慧。但是他仍旧为自己不能直觉地理解这个策略而感到沮丧。几天后爱多士亲密的朋友格雷厄姆——一位在贝尔实验室的数学家——向他解释了这个问题，直到他满意，这样他的心情才缓和下来。
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如果连爱多士这样伟大的数学家都被随机法则给愚弄了。那么可怜的吉尔登斯特恩还有什么希望呢？在一枚公平硬币的行为和蒙蒂·霍尔问题解法的背后是所谓的统计学独立的概念。像许多表面上很普通的英语单词一样，单词“独立”有一个精确的数学定义，词典的定义顶多只能给出一个近似的解释。像“群”、“域”和“信息”这些词汇，对于数学家和史学家来说，指的是不同的事物。这也许会导致很糟糕的一词多义，但也能引出非常精确的表述。当一个结果不影响另一个结果时，我们说两个事件是独立的。一枚硬币正面向上是独立于它先前有一次甚或连续85次正面向上。乐观一点看，吉尔登斯特恩可以把他的坏运气看作“对原理的一个宏观证明，即独立地抛一枚硬币出现正面向上或反面向上的可能性都是一样的，因此每一次都出现相同的结果也没有什么值得惊讶的”。
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要想知道两个独立的随机事件同时发生的概率，只需把这两个事件单独发生的概率相乘就可以了。这个规定就是对独立性的数学定义。因此，连续抛两次硬币正面都向上的概率为1/2×1/2=1/4，因为一枚硬币正面向上的概率为1/2，吉尔登斯特恩连续抛币85次正面向上的概率为1/2×1/2×1/2……（共85次），或者为1/285，大约等于1/（4×1025），这是一个如此巨大以致可以看作无穷大的数。即使他每秒钟能抛上兆次硬币，到所有星星都燃成灰烬时，吉尔登斯特恩也不能合理地预料会出现这样一连串的正面向上。要么是硬币不可靠，要么吉尔登斯特恩中了巨彩。
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当卡茨还在波兰时，他已经开始意识到，独立事件在数学这样的有序世界中也会发生。因此概率论的技巧也许适用于许多领域，没有人会怀疑机会在这些领域中所起的作用。例如，在数论里，整数的可整除性可以用概率的眼光去看待；因为一半的整数能被2整除，因此，任一数被2整除的概率是1/2。同样地，一数被3整除的概率是1/3，一数被6整除的概率是1/6，卡茨把这个简单观察写成这样的算术等式：
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这个等式不过是说一个数若被6整除，那么它一定能被2和3整除。但是写成这样的等式则提示了卡茨独立事件的概率乘法法则，与斯坦因豪斯一同工作时，卡茨已经知道“有独立事件的地方必有一个正态法则”。他开始感到，在整数的除数之间某处，必定隐藏有一条钟形曲线——正态分布的标记。但是在哪呢？
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理论家发现一个数值得研究的、有用而且有意思的性质是，看这个数有多少个独立的素因数，因为这能估计出它与素数有多接近。素数是指仅被1和它本身整除的数，它只有一个独立的素因数。10不是素数，因为它有两个独立的素因数，2和5；9只有一个独立的素因数，3；而30有三个独立的素因数，2，3和5。卡茨觉得就像抛硬币一样，正面向上的概率与先前抛币的结果无关。一个数被一个素数整除与它能否被另外的素数整除也无关。因此抛掷很多次硬币后，正面向上和反面向上的期望值遵守正态分布原理。对卡茨来说，独立素因数的个数也遵守同样的原理。换句话来说，卡茨猜测到如果检查小于1000 000的所有数，将会发现它们大多数都有相同个数的素因数，如同抛一枚硬币100次将大约发生50次正面向上。当然了，有时100次中可能会发生60次正面向上，仅发生5次的情况还是很少见的。与期望值的偏差遵守正态分布原理。同样的，卡茨推断出，一些数会有很多独立素因数，而另外一些却只有很少的几个，这些与平均值的偏差也遵守正态分布原理。
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