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问题是卡茨对数论了解很少，不久就遇到了他无法解决的困难。于是，他就把这个未完成的问题放在一边，直到1939年3月他从巴尔的摩乘车到普林斯顿做报告。爱多士也在听众当中，但是当他发现卡茨谈论的是概率论时，他对这个学科知之甚少就像卡茨不了解数论一样，他开始打瞌睡。报告快结束时，卡茨说了一个词“素因数”，爱多士就像一个恋人突然听到他爱人的名字一样，立刻清醒了。爱多士打断卡茨，要求他再说一遍困难所在。“不到几分钟，甚至报告还没结束，他打断了谈话，并宣布问题已经解决了。”卡茨写道，爱多士给出的证明是正确的。
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这个偶然合作的结果就是众所周知的爱多士-卡茨定理，这个定理阐述了小于N的整数所含独立素因数的个数与一枚硬币抛N次正面向上的个数遵守同样的曲线分布。或者就这个问题而论，它和苏格兰士兵胸围的分布曲线相似。后来在《机会谜题》（Enigmas of Chance）这部迷人的回忆录中，卡茨写道：“亲爱的读者，如果我说这是一个美丽的定理，请原谅我的不谦虚。它标志着正态分布原理自此进入了数论领域……这门古老的学科产生了一个新的分支。”
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这个“新的分支”在随后的10年中一直没能建立起来。尽管爱多士和卡茨的文章在1940年就发表了，但是10多年来并没有引起注意。二次大战的混乱毫无疑问使人忽略了这篇文章，但是这篇文章的新奇性或许起了更大的作用。爱多士-卡茨定理是很少见的交叉学科联姻的一个结果，这是爱多士的专长；新诞生的分支就是概率数论，10年前它看起来也许就像是一个矛盾的修辞。正如哈代所写的：“317是素数并不是由于我们这样认为，或者我们以这种或那种方式来形成我们的思维，而是因为它本来就是这样的，因为数学实在就是以这种方式建立的。”正如数学家乔尔·斯潘塞所解释的：“数219没有两个素因数的概率是0.93——然而它绝对地确实有两个素因数，3和73。这确实有些让人惊讶——从统计上来说，答案似乎像是‘最高法西斯’在抛硬币。”在以后的多次合作中，爱多士总是以他广博的知识和开放的头脑起到了关键的催化剂作用。卡茨感到除了爱多士或许没有人能帮助他实现他的想法。“当然不是必须在1939年，但仅把一个数论学家和一位概率论专家放在一起是不够的。必须是我和爱多士：因为爱多士在他的领域几乎是独一无二的，他完全理解［挪威数学家］布朗（Viggo Brun）的数论方法，这个方法起了决定性作用，它融合了许多深刻的因素，而我则通过斯坦因豪斯［卡茨的导师］的眼睛看出了独立事件和正态原理。”
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爱多士在作为研究所成员期间曾与卡茨在约翰·霍布金斯大学的导师温特纳合写了一篇很有潜力的文章，后来成为概率数论的基础。他还通过通信与图兰合写了一篇关于插值论的论文，插值理论就是通过已给的几个点来估计函数值的方法。尽管创造力喷涌而出，但爱多士从没有与研究所的数学家们共同发表过一篇论文，这也许是他后来在研究所前景不佳的一个重要的先兆。
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爱多士经常与杰出的逻辑学家库尔特·哥德尔交谈。他们两人都是虔诚的柏拉图主义者，完全认为数学的对象——点、素数、多项式和其他一切——就像金鱼或胶子一样真实。哥德尔说道：“对于我来说，关于这些对象的假定如同关于物质世界对象的假定一样是合法的，有很多原因使我们相信它们的存在。”在哥德尔看来，数学之书尽管没有装订，却和国会图书馆的任一卷书一样真实，虽然几年以前他已经证明了这本书的某些页必然是空白或缺失的；在任何公理系统中一定存在这样的命题，它既不能被证明也不能被证否。哥德尔定理的意思是：甚至在数学学科——确定性的最后避难所里——也不是所有的真理都是可知的，不是所有的问题都能解决的。并非所有问题都值得爱多士费心，因为他知道总是会有很多问题，足够他忙的了。对于哪个问题是可能解决的，他有一定的直觉。他喜欢引用以色列一位最优秀的数学问题高手谢拉赫（Saharon Shelah）的一句名言：“我是一位机会主义者，我尽我所能而已。”这种态度也可以说明爱多士对那些相对新而未被开发的领域如组合数学的偏爱。“如果数论中有我能做的，我一定会去做的，”有一次他解释道，“但是你看，数论中的一些问题是极其难的，许多经典问题是非常非常难以取得进展的。组合数学是一个比较新的领域，有许多问题我们还是可能解决的。”
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哥德尔的逻辑思维差点使他不能成为美国公民。在准备美国公民资格的考试时，哥德尔比任何高等法院的法官更关注美国宪法的逻辑。他发现了一些自相矛盾之处，并得出结论说，按照美国宪法——民主的标准公理——可以将美国合法地转变为一个独裁国家。他的朋友警告他在考试时不要说出这个结论。然而，当考官同情地说哥德尔曾经是“一个魔鬼独裁统治下的公民，但幸运的是，这事在美国不会发生”，哥德尔跳起来纠正他。“相反，”他说，“我知道这事将会怎样在美国发生。”幸亏他的朋友竭力制止他，直到考官让他宣誓成为一名美国公民。
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哥德尔对自己要求很严，发表的文章很少。这惹恼了爱多士。“他本来能做更多的事情，”爱多士说道，“他已经有了选择公理具有独立性的证明［这是集合论中的重要问题］，但他不喜欢这个证明。”他们共同研究哲学家莱布尼茨（Leibniz），莱布尼茨对牛顿创造微积分所使用的无穷小的批判在今天的数学家中间仍旧能引起共鸣。爱多士欣赏与哥德尔的谈话，同时又发现这些谈话使自己恼怒。爱多士训斥哥德尔说：“你成为一名数学家，是为了让人们来研究你，而不是要你去研究莱布尼茨。”
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毫不奇怪，爱多士一直认为他的同胞，活泼而文雅的冯·诺伊曼，是他所遇到的最出色的数学家之一——每个人都会这样认为的。在冯·诺伊曼6岁时，他就能用古希腊语同他的父亲开玩笑，并能心算8位数的乘除法。为了显示他非凡的记忆力，他看一眼布达佩斯电话簿中的一页，然后就能说出上面每一个人的名字、电话号码和地址。一次，他的朋友问他是否看过《双城记》，几年前他曾看过，为了证明这一点，他就开始背诵第一章，直到他的朋友不想再听为止。他刚刚20岁时，就在可靠的数学基础上建立了物理学的新量子理论，并发现了这样一个事实：原来似乎截然不同的两个理论——薛定谔（Erwin Schrödinger）的波动方程和海森伯格（Werner Heisenberg）的矩阵理论——实际上是同一个理论。冯·诺伊曼后来发明了数字计算机、博弈论、自复制自动机和大量开创性的数学理论，既有纯粹数学又有应用数学。
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每位数学家都记得一个关于冯·诺伊曼思维敏捷的生动故事。例如，有一次，冯·诺伊曼在晚会上，女主人勇敢地向他提出一个谜题：两列火车在同一轨道上以每小时30英里的速度相对而行，且相距1英里，这时栖在一列火车前面的一只苍蝇以每小时60英里的速度朝着另一列火车飞去。当它飞到另一列火车时，它又迅速地飞回来。它一直这样飞过去飞回来，直到两列火车不可避免地发生碰撞。现在问这只苍蝇共飞了多少英里？
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大多数人，尤其是懂得一点数学的人，都是先计算出它每一来回所飞的路程，然后把这些结果累加起来。这会涉及无穷级数求和的问题，做起来并不难，但就是麻烦，费时——大多数人只需笔和纸就够了。实际上这里有一个技巧。首先计算出两列车要经过多长时间才能碰撞。因为每列车的速度是每小时30英里，因此它们各自行驶半英里后就会发生碰撞，这也就是说，1分钟后碰撞就将发生。而苍蝇每小时飞60英里，1分钟飞行1英里。太容易了。
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几乎在女主人刚解释完问题的同时，冯·诺伊曼就答道：“1英里。”
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“太让我惊讶了，你这么快就算出来了，”她说道，“大多数数学家都没能看出这里面的技巧，而是用无穷级数去计算，这花费了他们好几分钟。”
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“什么技巧？我也是用无穷级数算的。”冯·诺伊曼回答道。
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更令人为之倾倒的是，除了具有火星人的智慧，冯·诺伊曼还是一个很风趣的家伙——迷人，穿着时髦，而且总是派对的中心人物。在一本关于高等研究所的有趣的小册子《谁将入主爱因斯坦的办公室？》中，雷吉斯（Ed Regis）写道：“他举办过无数次派对，全都是研究所最出色的派对。他喜欢女人和跑车。他爱开玩笑，喜欢写打油诗，说一些灰色小故事。他喜欢噪音、墨西哥食物、美酒和金钱。你不可能不喜欢这样一个人。”
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“冯·诺伊曼的反应速度和理解力当然是非同寻常的，”爱多士承认，“他能很快领会一个证明，即使那不属于他研究的领域。”一次爱多士告诉冯·诺伊曼他关于插值论方面的一个定理的证明。爱多士说道：“这确实不是他搞的方向，他对此并不感兴趣。”然而冯·诺伊曼彬彬有礼地听着，最后说：“这个证明好像有错。”冯·诺伊曼离开后，爱多士又仔细检查一下证明，令他惊讶的是，冯·诺伊曼是正确的。尽管爱多士很尊敬冯·诺伊曼，但是两位数学家从未合作过，因为无论是在数学兴趣还是个人风格上两人实在是太不相同了。
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在这极为多产的一年之后，爱多士震惊地得知，他在研究所的职位不能续聘了。爱多士把这一拒绝当作对个人的侮辱接受下来。实际上在研究所续聘取决于很多因素，甚至地位极高的权威人士也无法控制。例如，因费尔德（Leopold Infeld）——爱因斯坦的助手，一名出色的物理学家——也没有获得续聘。尽管爱因斯坦在研究所具有神圣的地位，他还是无法为因费尔德争取到1937—1938学年哪怕600美元的薪金。“我尽了最大的努力，”雷吉斯引用爱因斯坦当时对因费尔德所讲的话，“我告诉他们你是多么的优秀，并说我们正在做一项很重要的科学工作。但是他们争辩道他们没有足够的资金……我不知道他们的理由有多少是真的。我用了很强硬的言辞，以前我从未这样说过。我告诉他们按照我的想法，他们正在做一件很不公平的事……但没有人帮助我。”
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爱多士的一个亲密朋友和合作者内桑森（Melvyn Nathanson）回忆道，爱多士声称他是唯一一位被研究所解雇的人。在那时，爱多士感到几乎每一个人都至少被续聘一年。至于他未被续聘的原因还不得而知。部分原因也许与内桑森所谓的“怪癖名声”有关。可以想象爱多士平时的形象，有时精力旺盛，胳膊在空中飞舞，但紧接着，他也许会在讲座时打瞌睡，为解出某道题不停地擦黑板，或者沉溺于围棋之中——并不十分适合弗莱克斯纳的超脱乐园。
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爱多士所喜欢并搞得很出色的那类数学也不适合研究所的风格。爱多士对数学上近期的发展趋势并不感兴趣：他年轻时所精通的数学现在在他的手里仍然蕴涵着无穷的宝藏，那么为什么不去继续开采它呢？内桑森总结道：“他年轻时仿佛就已经成为数学某一部分的精通者，而这部分也是数学中最为美丽的一个篇章，他在这些领域的技巧和想象力是如此深刻，不用走出太远，就能开辟出一条永不干涸的溪流。对于其他人而言，他们的想象力不够深或者技巧不够精，因而需要学习更多的数学，才能产生想法和新的定理。”
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也许真的是因为钱。1939年10月30日，研究所数学部主任维布伦（Oswald Veblen）给研究所的理事马斯（Herbert Mass）写了一封措辞诚恳的信，希望国家协调委员会提供资金支持爱多士直到他找到一个长期职位。在他的信中，维布伦把爱多士描述为“一个高尚的人”。“我们本来预计他在这里任命结束时会回到英格兰，但由于战争这已经不可能了，尽管莫德尔教授和其他英国数学家急于想为他做一些事。”维布伦写道。如果把这种期望与不断增加的优秀逃难者联系起来，也许可以解释爱多士未被续聘的原因。维布伦说爱多士在研究所和在约翰·霍布金斯大学一样都是一个受欢迎的人，他曾被约翰·霍布金斯大学授予荣誉成员。“不幸的是，”维布伦在他的信中解释道，“无论高等研究所还是约翰·霍布金斯大学都不能为爱多士提供这一年的薪金。”维布伦要求协调委员会提供1 000美元支持爱多士，这比爱因斯坦为因费尔德争取的还要多。维布伦认为这些足以使爱多士维持到其他单位为他提供一个新的职位。
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国家协调委员会设法提供了750美元，足以维持爱多士在1939—1940学年第二个学期的费用了。爱多士非常珍惜这一有可能使他在今后10余年里成为研究所长期成员的机会，但一场关于本来应该是爱多士最大胜利的激烈争论使他不得不承认，这已永远不可能。当乐园的大门在他身后关上时，爱多士很不情愿地重新开始了他的数学之旅。
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(1)“Cheese on toast”是英国流行的简餐，将芝士放在一片面包上烤至融化。——译者
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(2)这是荒诞派剧作家斯托帕德的成名作，将名著《哈姆雷特》中的两个小人物截出侧写这出悲剧。两人在回丹麦的路上遇到了很多怪事。——译者
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(3)实际上高尔顿是达尔文的堂弟。——译者
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(4)一些人发现如果将问题稍做改动，就很容易理解这个策略了。假设不是三扇门而是1 000 000扇门供你选择，在你选完一扇之后，蒙蒂·霍尔打开余下的藏有山羊的999 998扇门。这样问题就变得很清楚了，转移确实是最好的策略，毕竟，你最初选择有奖金的门的概率是1/1 000 000。现在你明白，要么你极幸运，在几乎是天文数字中选中了正确的，要么奖金在剩下那扇未打开的门的后面。——原注
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(5)对于那些仍然不相信并且还不熟悉计算机的人（瓦佐尼使用一个Excel表单），用玩纸牌模拟蒙蒂·霍尔问题是一个好想法。仅经过12次试验后，转移策略的高明之处就显而易见了。——原注
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