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借助于他的朋友牛顿最近发现的微积分知识和帕斯卡（Blaise Pascal）的计算技巧，棣莫弗发现了连续抛很多次硬币的每种可能结果的概率。正如所预料的，方程描绘了一条曲线，正面向上次数和反面向上次数相等处为曲线的峰点，而在峰点的两侧对称地下落。峰点任意一侧的正态曲线形如一座适于滑雪的小山。最初下落很陡，然后渐渐变得平缓。正面向上的次数介于30到60之间的概率，很简单，就是两个上下限间的曲线以下的面积。
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从正态分布曲线很容易看出，几组硬币的结果都集中在中央峰点周围的一个狭窄区域，峰点代表期望值。抛一枚硬币100次，平均期望值或者说中间值是50次正面向上。但是偏离这个中间值的各种结果也可能出现，为了使这种偏离定量化，棣莫弗发明了度量这些偏离的可能范围的一个概念，即所谓标准差。在正态分布中大约所有观察结果的2/3——68%——落在中间值的一个标准差范围内，95%落在两个标准差范围内。对于一枚公正的硬币来说，标准差等于次数平方根的一半。因此，抛一枚硬币100次，标准差是5，或者是100的平方根的一半。正面向上次数的2/3介于45与65之间；正面向上次数的95%介于40与60之间。
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图6-1 抛一枚硬币100次，正面向上的次数介于40与55次之间的概率是钟形正态曲线下面所给的面积。
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达尔文的外甥高尔顿（Francis Galton）(3)贴切地把正态分布描述为“不合理的最高法则”。确实，概率论历经3个世纪仍旧不遵守甚至最伟大的数学家的推理。在爱多士最后一次和朋友瓦佐尼在加利福尼亚州的圣罗沙停留时，瓦佐尼“不知出于什么原因”决定用当时流传的一个谜题考考爱多士的概率直觉。在当时，爱多士已是概率论方面的世界权威。他最大的成就之一就是“概率方法”，经常简称为“爱多士方法”。因此从某种意义上来说，爱多士的名字已成为概率论的同义语。瓦佐尼认为爱多士很快就会抓住蒙蒂·霍尔（Monty Hall）问题的核心，就像他解决许多更难的问题一样。但是瓦佐尼错了。
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当自称世界上最聪明的女人萨万特（Marilyn vos Savant）1991年9月把这个难题刊登在《大观》（Parade）杂志她的每周专栏上时，它在数学界已经流传几年了。这个问题是“公平交易”（Let’s Make a Deal）游戏节目主持人蒙蒂·霍尔喜欢玩的那些善意恶搞戏法的翻版。
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假设你是表演嘉宾，蒙蒂·霍尔让你从三扇门中任选一扇。其中一扇门的后面是丰厚的奖金——100万美元的金条，或者轻松的月球旅行，抑或你心里想要的随便什么东西。而另两扇门则是安慰奖——比方说一只山羊，不值多少钱。在蒙蒂·霍尔打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇藏有山羊的门。因为有两扇门的后面是山羊，所以无论你选择哪一扇门，蒙蒂·霍尔总可以牵出一只山羊。然后他再给你一次机会：你可以坚持最初的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门。这时你怎么做呢？
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瓦佐尼告诉爱多士正确的策略是应该换：“我以为我们可以进行下一个话题。但是令我惊讶的是，爱多士说不，无论换与不换都一样。”爱多士也掉进了曾使许多数学家上当的陷阱。这些数学家给萨万特发来一些措辞尖刻的信，他们后来也许会后悔。其中一位数学家甚至极为尴尬，在这里我们不提他的名字，他写道：“你别胡说八道了，让我解释一下吧：如果打开的门后是一只山羊，那么这个信息使余下任何一个选择的概率——没有理由认为这两个概率是不一样的——变为1/2。作为一名职业数学家，我对公众缺乏数学能力的状况十分忧虑。拜托你承认错误吧！以后要加倍小心。”其他数学家却不像这位数学家这样有礼貌。
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尽管教授对大众数学能力的忧虑是合理的，然而换一扇门确实是最好的选择。也许理解这个策略最容易的方式是要注意，你最初选择正确的门的概率是1/3，即使在蒙蒂·霍尔向你展示山羊之后，这个概率也不会变。由于你选择的门后有奖金的概率是1/3，因此另一扇门中奖的概率就是2/3。(4)这样转移将使你中奖的概率增加一倍。爱多士和所有给杂志写信的那些愤怒的数学家都没能理解，展示山羊其实提供了重要的信息。
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瓦佐尼用数学语言向爱多士解释了这个策略，但是爱多士仍旧不相信，像给萨万特写信的那些数学家一样，爱多士变得心烦意乱。“在这一点上，我感到很抱歉给爱多士出了这样一个问题。”瓦佐尼回忆道。他的解释令爱多士感到沮丧，爱多士终于拂袖而去。一小时后他又回来了，大声对瓦佐尼嚷道：“你根本没有告诉我为什么要换！你这是怎么回事？”当瓦佐尼在他的计算机上显示了模拟过程(5)，爱多士才深信这个策略的智慧。但是他仍旧为自己不能直觉地理解这个策略而感到沮丧。几天后爱多士亲密的朋友格雷厄姆——一位在贝尔实验室的数学家——向他解释了这个问题，直到他满意，这样他的心情才缓和下来。
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如果连爱多士这样伟大的数学家都被随机法则给愚弄了。那么可怜的吉尔登斯特恩还有什么希望呢？在一枚公平硬币的行为和蒙蒂·霍尔问题解法的背后是所谓的统计学独立的概念。像许多表面上很普通的英语单词一样，单词“独立”有一个精确的数学定义，词典的定义顶多只能给出一个近似的解释。像“群”、“域”和“信息”这些词汇，对于数学家和史学家来说，指的是不同的事物。这也许会导致很糟糕的一词多义，但也能引出非常精确的表述。当一个结果不影响另一个结果时，我们说两个事件是独立的。一枚硬币正面向上是独立于它先前有一次甚或连续85次正面向上。乐观一点看，吉尔登斯特恩可以把他的坏运气看作“对原理的一个宏观证明，即独立地抛一枚硬币出现正面向上或反面向上的可能性都是一样的，因此每一次都出现相同的结果也没有什么值得惊讶的”。
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要想知道两个独立的随机事件同时发生的概率，只需把这两个事件单独发生的概率相乘就可以了。这个规定就是对独立性的数学定义。因此，连续抛两次硬币正面都向上的概率为1/2×1/2=1/4，因为一枚硬币正面向上的概率为1/2，吉尔登斯特恩连续抛币85次正面向上的概率为1/2×1/2×1/2……（共85次），或者为1/285，大约等于1/（4×1025），这是一个如此巨大以致可以看作无穷大的数。即使他每秒钟能抛上兆次硬币，到所有星星都燃成灰烬时，吉尔登斯特恩也不能合理地预料会出现这样一连串的正面向上。要么是硬币不可靠，要么吉尔登斯特恩中了巨彩。
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当卡茨还在波兰时，他已经开始意识到，独立事件在数学这样的有序世界中也会发生。因此概率论的技巧也许适用于许多领域，没有人会怀疑机会在这些领域中所起的作用。例如，在数论里，整数的可整除性可以用概率的眼光去看待；因为一半的整数能被2整除，因此，任一数被2整除的概率是1/2。同样地，一数被3整除的概率是1/3，一数被6整除的概率是1/6，卡茨把这个简单观察写成这样的算术等式：
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这个等式不过是说一个数若被6整除，那么它一定能被2和3整除。但是写成这样的等式则提示了卡茨独立事件的概率乘法法则，与斯坦因豪斯一同工作时，卡茨已经知道“有独立事件的地方必有一个正态法则”。他开始感到，在整数的除数之间某处，必定隐藏有一条钟形曲线——正态分布的标记。但是在哪呢？
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理论家发现一个数值得研究的、有用而且有意思的性质是，看这个数有多少个独立的素因数，因为这能估计出它与素数有多接近。素数是指仅被1和它本身整除的数，它只有一个独立的素因数。10不是素数，因为它有两个独立的素因数，2和5；9只有一个独立的素因数，3；而30有三个独立的素因数，2，3和5。卡茨觉得就像抛硬币一样，正面向上的概率与先前抛币的结果无关。一个数被一个素数整除与它能否被另外的素数整除也无关。因此抛掷很多次硬币后，正面向上和反面向上的期望值遵守正态分布原理。对卡茨来说，独立素因数的个数也遵守同样的原理。换句话来说，卡茨猜测到如果检查小于1000 000的所有数，将会发现它们大多数都有相同个数的素因数，如同抛一枚硬币100次将大约发生50次正面向上。当然了，有时100次中可能会发生60次正面向上，仅发生5次的情况还是很少见的。与期望值的偏差遵守正态分布原理。同样的，卡茨推断出，一些数会有很多独立素因数，而另外一些却只有很少的几个，这些与平均值的偏差也遵守正态分布原理。
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问题是卡茨对数论了解很少，不久就遇到了他无法解决的困难。于是，他就把这个未完成的问题放在一边，直到1939年3月他从巴尔的摩乘车到普林斯顿做报告。爱多士也在听众当中，但是当他发现卡茨谈论的是概率论时，他对这个学科知之甚少就像卡茨不了解数论一样，他开始打瞌睡。报告快结束时，卡茨说了一个词“素因数”，爱多士就像一个恋人突然听到他爱人的名字一样，立刻清醒了。爱多士打断卡茨，要求他再说一遍困难所在。“不到几分钟，甚至报告还没结束，他打断了谈话，并宣布问题已经解决了。”卡茨写道，爱多士给出的证明是正确的。
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这个偶然合作的结果就是众所周知的爱多士-卡茨定理，这个定理阐述了小于N的整数所含独立素因数的个数与一枚硬币抛N次正面向上的个数遵守同样的曲线分布。或者就这个问题而论，它和苏格兰士兵胸围的分布曲线相似。后来在《机会谜题》（Enigmas of Chance）这部迷人的回忆录中，卡茨写道：“亲爱的读者，如果我说这是一个美丽的定理，请原谅我的不谦虚。它标志着正态分布原理自此进入了数论领域……这门古老的学科产生了一个新的分支。”
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这个“新的分支”在随后的10年中一直没能建立起来。尽管爱多士和卡茨的文章在1940年就发表了，但是10多年来并没有引起注意。二次大战的混乱毫无疑问使人忽略了这篇文章，但是这篇文章的新奇性或许起了更大的作用。爱多士-卡茨定理是很少见的交叉学科联姻的一个结果，这是爱多士的专长；新诞生的分支就是概率数论，10年前它看起来也许就像是一个矛盾的修辞。正如哈代所写的：“317是素数并不是由于我们这样认为，或者我们以这种或那种方式来形成我们的思维，而是因为它本来就是这样的，因为数学实在就是以这种方式建立的。”正如数学家乔尔·斯潘塞所解释的：“数219没有两个素因数的概率是0.93——然而它绝对地确实有两个素因数，3和73。这确实有些让人惊讶——从统计上来说，答案似乎像是‘最高法西斯’在抛硬币。”在以后的多次合作中，爱多士总是以他广博的知识和开放的头脑起到了关键的催化剂作用。卡茨感到除了爱多士或许没有人能帮助他实现他的想法。“当然不是必须在1939年，但仅把一个数论学家和一位概率论专家放在一起是不够的。必须是我和爱多士：因为爱多士在他的领域几乎是独一无二的，他完全理解［挪威数学家］布朗（Viggo Brun）的数论方法，这个方法起了决定性作用，它融合了许多深刻的因素，而我则通过斯坦因豪斯［卡茨的导师］的眼睛看出了独立事件和正态原理。”
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爱多士在作为研究所成员期间曾与卡茨在约翰·霍布金斯大学的导师温特纳合写了一篇很有潜力的文章，后来成为概率数论的基础。他还通过通信与图兰合写了一篇关于插值论的论文，插值理论就是通过已给的几个点来估计函数值的方法。尽管创造力喷涌而出，但爱多士从没有与研究所的数学家们共同发表过一篇论文，这也许是他后来在研究所前景不佳的一个重要的先兆。
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爱多士经常与杰出的逻辑学家库尔特·哥德尔交谈。他们两人都是虔诚的柏拉图主义者，完全认为数学的对象——点、素数、多项式和其他一切——就像金鱼或胶子一样真实。哥德尔说道：“对于我来说，关于这些对象的假定如同关于物质世界对象的假定一样是合法的，有很多原因使我们相信它们的存在。”在哥德尔看来，数学之书尽管没有装订，却和国会图书馆的任一卷书一样真实，虽然几年以前他已经证明了这本书的某些页必然是空白或缺失的；在任何公理系统中一定存在这样的命题，它既不能被证明也不能被证否。哥德尔定理的意思是：甚至在数学学科——确定性的最后避难所里——也不是所有的真理都是可知的，不是所有的问题都能解决的。并非所有问题都值得爱多士费心，因为他知道总是会有很多问题，足够他忙的了。对于哪个问题是可能解决的，他有一定的直觉。他喜欢引用以色列一位最优秀的数学问题高手谢拉赫（Saharon Shelah）的一句名言：“我是一位机会主义者，我尽我所能而已。”这种态度也可以说明爱多士对那些相对新而未被开发的领域如组合数学的偏爱。“如果数论中有我能做的，我一定会去做的，”有一次他解释道，“但是你看，数论中的一些问题是极其难的，许多经典问题是非常非常难以取得进展的。组合数学是一个比较新的领域，有许多问题我们还是可能解决的。”
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哥德尔的逻辑思维差点使他不能成为美国公民。在准备美国公民资格的考试时，哥德尔比任何高等法院的法官更关注美国宪法的逻辑。他发现了一些自相矛盾之处，并得出结论说，按照美国宪法——民主的标准公理——可以将美国合法地转变为一个独裁国家。他的朋友警告他在考试时不要说出这个结论。然而，当考官同情地说哥德尔曾经是“一个魔鬼独裁统治下的公民，但幸运的是，这事在美国不会发生”，哥德尔跳起来纠正他。“相反，”他说，“我知道这事将会怎样在美国发生。”幸亏他的朋友竭力制止他，直到考官让他宣誓成为一名美国公民。
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哥德尔对自己要求很严，发表的文章很少。这惹恼了爱多士。“他本来能做更多的事情，”爱多士说道，“他已经有了选择公理具有独立性的证明［这是集合论中的重要问题］，但他不喜欢这个证明。”他们共同研究哲学家莱布尼茨（Leibniz），莱布尼茨对牛顿创造微积分所使用的无穷小的批判在今天的数学家中间仍旧能引起共鸣。爱多士欣赏与哥德尔的谈话，同时又发现这些谈话使自己恼怒。爱多士训斥哥德尔说：“你成为一名数学家，是为了让人们来研究你，而不是要你去研究莱布尼茨。”
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毫不奇怪，爱多士一直认为他的同胞，活泼而文雅的冯·诺伊曼，是他所遇到的最出色的数学家之一——每个人都会这样认为的。在冯·诺伊曼6岁时，他就能用古希腊语同他的父亲开玩笑，并能心算8位数的乘除法。为了显示他非凡的记忆力，他看一眼布达佩斯电话簿中的一页，然后就能说出上面每一个人的名字、电话号码和地址。一次，他的朋友问他是否看过《双城记》，几年前他曾看过，为了证明这一点，他就开始背诵第一章，直到他的朋友不想再听为止。他刚刚20岁时，就在可靠的数学基础上建立了物理学的新量子理论，并发现了这样一个事实：原来似乎截然不同的两个理论——薛定谔（Erwin Schrödinger）的波动方程和海森伯格（Werner Heisenberg）的矩阵理论——实际上是同一个理论。冯·诺伊曼后来发明了数字计算机、博弈论、自复制自动机和大量开创性的数学理论，既有纯粹数学又有应用数学。