1705580825
1705580826
可能是由于战争，或由于他对自己的朋友及家庭命运的担忧，爱多士在1941年只发表了4篇论文。很多数学家会认为这已是一个丰收之年，但对爱多士来说，这样的产出只能说是极度灰心状态的表现。用爱多士语言来说，不再产生创造性的数学就等于死亡。按爱多士自己的标准，1941年对他来说就是接近于死亡了。在他一生中，只有1934年他写了很少几篇论文，这一年是他首次发表作品的年份。
1705580827
1705580828
波兰数学家乌拉姆（Stanislaw Ulam）回忆他1941年第一次会见爱多士的情景，那时爱多士到位于麦迪逊的威斯康星大学演讲。尽管已小有名气，乌拉姆当时在大学里还只是一个低级的讲师，在他自称的流亡生活中等待着战争的结束，靠为陆军通讯学校批改作业来补充自己的工资。
1705580829
1705580830
乌拉姆是一个爱交际的人，30岁出头，颇有些自负。他立即注意到了这位年轻的匈牙利数学家。“爱多士是当时为数不多的比我年轻的数学家之一，”乌拉姆写道，“1941年，他27岁，思乡情切，闷闷不乐，并时刻忧虑着他仍在匈牙利的母亲的命运。”
1705580831
1705580832
爱多士与乌拉姆很快就建立了深厚的、虽说有些时断时续的友谊。在其1976年写的引人入胜的自传中，乌拉姆对他这位朋友做了一个生动的描述：“爱多士是一个中等身材、极度神经质且容易激动的人。那时，他甚至比现在更为多动——几乎不断地上下跳动或挥舞胳膊。他的眼神表明他总是在不停地思考着数学，这种思考过程只有当他非常悲观地谈论到世间事物、政治或人类事件时才会中断，他对所有这些事情都觉得前景暗淡。如果他有了某些令人高兴的想法，他会跳起来拍手，然后再坐下。就他对数学强烈的奉献精神和对问题的不倦思考而言，他很像我的某些波兰朋友——甚至可能更有过之。”
1705580833
1705580834
当爱多士访问麦迪逊时，他们俩在一起做了大量数学研究工作，“只是在看报纸或收听关于战争或政治分析的广播时才间断”。他们合作的主题是集合论，这可能是数学中最抽象的领域。爱多士后来对集合论做了许多重要贡献。但在1941年，他尚未在这一领域发表过任何东西。说也奇怪，尽管他们在美国数学会的会议上宣布过他们的一些共同发现，直到1968年爱多士与乌拉姆并未发表过一篇合作的文章。
1705580835
1705580836
在20世纪60年代的美国，中小学生都要学习集合论的基础知识，作为“新数学”（New Math）这一理想计划的一部分。新数学背后的想法是：如果学生能学到隐藏在表面之下的本质，他们就能最好地把握数学。没有其他东西比集合论更为本质了。但不幸的是，在中小学校教授的集合论是经过删改的，被削去了所有被认为对中小学生的思想引起过多困惑或过于困难的概念。新数学中的集合论不包含无穷大概念，而没有无穷大的集合论就如同没有诗歌的莎士比亚和没有色彩的塞尚(1)一样。童年的爱多士从他父亲那里学习了集合论，这是一种没有删去无穷大的“少儿不宜”版集合论。爱多士始终未能从这段经历中完全恢复过来。事实上，数学本身至今仍在集合论的撞击下摇摆。
1705580837
1705580838
19世纪末，德国数学家康托尔决定要尝一尝无穷大这只禁果。1831年，高斯表示了他对“实无穷大的恐惧”，这也代表了当时大部分数学家的态度。高斯的疑问不在于无穷大本身，而是在于将无穷大看成一个实物而不是一个永远达不到的极限。“我坚决反对把无穷量当作某种已完成的东西来使用，这在数学上不能允许的”，他写道，“无穷大仅仅是一种说法。”对高斯来说，无穷大仅仅作为永远达不到的极限而存在。
1705580839
1705580840
高斯对无穷大的排斥，反映了以往实际上已普遍存在的一种意见——至少亚里士多德在2 000多年前就已拒绝了无穷大和无穷小的存在性。康托尔摧毁了亚里士多德的逻辑，他在1886年写道：“所有否定实无穷大数可能性的所谓证明都是错误的，这不仅可以在每一种特殊情况中得到阐明，而且在一般情况下都可以得到这样的结论……如果纯粹从形式上考虑，则无穷数必定（与有限数相比）构成一个全新类型的数，其性质完全依赖于事物的性质，它们确实是一种研究对象，而非武断与偏见。”
1705580841
1705580842
康托尔证明了不仅无穷这一概念具有数学意义，而且无穷是作为不断增大和永无止境的等级序列而存在的，这也许有点像布莱克的幻想曲。但康托尔的天才是在于证明了塔式的无穷大序列来自清醒的与不可辩驳的集合论数学。
1705580843
1705580844
按新数学教员的解释，一个集合是一些事物——任何事物的全体。议会中的民主党员，海里的鱼，波音747飞机的各个部件，等等，全都形成集合。如果一个集合的元素可以与另一集合的元素构成一一对应关系，则称这两个集合有同样的大小。求证火枪手集合与一个丑角集合有同样大小，你需要做的全部工作就是：证明每一个火枪手必有一个丑角与之对应，且反之亦然。一种对应的方法是：
1705580845
1705580846
穆厄（Moe）←→阿拉米斯（Aramis）
1705580847
1705580848
拉里（Larry）←→波尔托斯（Porthos）
1705580849
1705580850
卷毛（Curly）←→阿托斯（Athos）(2)
1705580851
1705580852
一个集合的元素个数称为它的基数。火枪手集合的基数为3，而丑角集合的基数也为3。
1705580853
1705580854
对于无穷集合同样可以用这一方法来处理，由此可以导出奇妙的结果。所有正整数的集合{1，2，3，…}似乎是所有偶数集合{2，4，6，…}的两倍大小，而实际上，它们具有同等大小。这不难从它们之间建立起来的一一对应关系中看出：
1705580855
1705580856
1←→2
1705580857
1705580858
2←→4
1705580859
1705580860
3←→6
1705580861
1705580862
4←→8
1705580863
1705580864
等等。所有奇数的集合与所有平方数的集合或所有素数的集合亦是大小相同。稍微做一点推导，即可以证明所有有理数——分数的集合与正整数集合有同样大小。这就是说，对于每一个分数可以确定唯一的一个整数与之对应：有理数是可以数的。康托尔称每一可数集——一个可以与正整数一一对应的集合——的基数为N0，读作“阿列夫零”（Aleph-null）。“阿列夫”是希伯来字母的第一个字。在过去，数学家还从未使用过希伯来字母。数学家在征求新的数字符号时多多少少已把拉丁字母与希腊字母用尽了。
1705580865
1705580866
乍一看来，人们可能会认为既然整数可以无穷供应，那么任何集合都将是可数的。但康托尔证明了情形并非如此。例如在0与1之间所有的十进位数——数学家所说的实数——表示数轴上一个不间断的线段。正如我们将要证明的，任何把所有实数与整数一一对应的企图都是注定要失败的，不管你怎样努力去做，总会有无穷多个实数找不到它们的对应者。康托尔关于这一断言的简单证明所用的方法就是他著名的“对角线法”。这是所有数学中最美妙与令人惊奇的方法之一。当爱多士的父亲告诉他这一证明之后，爱多士就爱上了无穷大，而康托尔则成为他心目中的英雄。按照塞凯赖什的说法，爱多士把康托尔的证明看成“直接来自天书的最惊人范例”。在那些日子里，他常常在信末写道：“愿康托尔精神与您同在。”或当他很忙时就写道：“愿C.与您同在。”
1705580867
1705580868
康托尔的证明利用了他所偏爱的反证法技巧，现在这一技巧已变得很普遍了。他假定有某个天才千方百计试图穷举0与1之间的所有实数，并产生了一张如下形式的表：
1705580869
1705580870
1←→.13493358…
1705580871
1705580872
2←→.85195719…
1705580873
1705580874
3←→.14159265…
[
上一页 ]
[ :1.705580825e+09 ]
[
下一页 ]