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在这种情况下，康托尔构造的这个数开头几位是.151863…。然后把这个数的每一位小数都换成另外一个数。无论怎么换都可以，只要不同就行。例如，除了9之外，可以把小数每一位上加一个1，而9则换成0。按这一规则，则新构成的数就是.262974…。(3)
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这个新数显然是0与1之间的一个小数。由于已假定我们的表是完全的，所以这个小数一定在某个地方出现过，而且与某个整数对应。换言之，它已被数过了。但在哪里呢？它又对应于哪个数？它绝非第一个数，这是因为按规则它的第一位小数与第一个数的第一位小数不一样，这个新数也不会是表中第二个数，这是由于它的第二位小数与第二个数的第二位小数不同。一般说来，我们构造出来的数与表中的第n个数不一样，这是由于它的第n位小数与第n个数的第n位小数不同。因此我们构造出来的这个实数与表中任何实数都不一样。记住：这张表已被假定包括了0与1之间的所有实数，但我们找到了一个实数，借戈尔德温(4)式语言来说，它被“包括在外”（included out）。尽管我们假定了表是完全的，但利用表中列举的所有实数的对角线，我们构造出了一个不在表中的实数。这就证明了，不管我们怎么去尝试，在实数与整数之间建立一一对应的企图都是注定要失败的。实数的无穷大——所谓连续统（continuum）——比整数的无穷大更大！
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康托尔继续阐明怎样建立一个包含有更大的无穷大的等级序列。对于数学来说，这是一个需要探索的无比丰富的世界。集合论的发展也为悖论（paradoxes）的发现铺平了道路，这暴露了数学基础中的裂缝。
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格劳乔·马克斯（Groucho Marx）一次说，他不愿加入任何愿意让他做会员的俱乐部。集合却不是那样挑剔；一个集合可以是它自身的成员。例如，“所有能用不超过100个字来描述的事物的集合”，其本身就是一个可以用少于100个字来描述的事物，因此它也是该集合的一个成员。到目前为止一切顺利。一些集合是它们自己的元素，而另一些则不是（例如，全体匈牙利数学家的集合并不是一个匈牙利数学家）；二者必居其一，所有的集合都不例外。然而20世纪初，伯特兰·罗素却证明了这一表面上无例外的命题是怎样导致一个悖论，从而使整个数学面临被摧毁的危险。
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考虑一个特殊的集合，为表示对罗素的尊敬，我们称之为R。由定义，R包含所有不以其自身为其元素的集合。那么R是其自身的一个元素吗？显然不是，因为根据定义R是所有不以自身为元素的集合的集合。但是如果R不是其自身的元素，那么（同样根据R的定义）它必须是R的元素。(5)正如罗素所评述的那样：“两种情况无论哪一种都导致其相反的命题，从而产生了矛盾。”逻辑是无懈可击的，结论却是灾难性的。
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罗素说道：“对于这些矛盾，我的感觉就如同一个虔诚的天主教徒遇到了邪恶的教皇。”他写信把他的悖论告诉了一位名叫弗雷格（Gottlob Frege）的逻辑学家，后者正在完成关于算术基础的一部巨著。弗雷格在他的书中任意地利用了集合的概念，包括把自身作为元素的集合在内。按照数学史家贝尔的说法，最尴尬的是书中包含了“对算术基础以往的作者们的许多讽刺抨击，以说明他们的明显失误及种种愚笨”。无论如何，弗雷格的诚实是无可指责的。在这部巨著的第二卷之末，他写下了对罗素炸弹（罗素悖论）的震撼反应：“一个科学家在一项工作完成的时候，很难遇到比得知其工作的基础已经坍塌更令人失望的情形了。当我这部著作付印之际，罗素先生的一封来信正好将我置于这样的境地。”
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罗素的生命基础亦受到他自己的发现的强烈震撼。正如前文提到过的，在罗素7岁第一次看到欧几里得的《几何原本》时，他就宣布：“数学始终是我的主要兴趣和我的欢娱的主要源泉。”当他16岁并身处不幸时，仅仅是为了多学一些数学的愿望阻止了他的自杀。由此不难理解他现在所感到的幻灭与绝望。罗素发现的破坏性悖论将永远与他的名字联系在一起。后来他“非常厌恶地把数理逻辑放到一边”，而把清除他自己所创乱局的重任留给了他人。
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伟大的德国数学家希尔伯特把康托尔的集合论看作“数学天才的最佳作品及人类纯粹智力活动的最高成就”。虽然他不像罗素那样易于灰心，但他仍感到不安。1925年，在关于无穷大的著名演讲中，希尔伯特承认：“事情的现状……是不能容忍的。只要想一想，数学中人人都在学习、传授和使用的那些定义与演绎方法，一向被当作真理和确定性的完美典范，现在竟然导致荒谬！如果数学的思维存在缺陷，那么我们又将到何处去寻找真理和确定性呢？”希尔伯特告诫听众们鼓起勇气，增强自信。“让我们记住，我们是数学家。作为数学家将经常处于危险的境地。”他大声高呼，“没有任何人能将我们从康托尔为我们创造的这个乐园中驱赶出去。”
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希尔伯特是对的，尽管胜利的条件未必能使他完全满意。数学家们现在已解决了集合论中的悖论，康托尔的乐园亦未失去。代价则是，在某种程度上，通过哥德尔定理，允许不确定性溜进数学的园地。运用康托尔对角线方法的天才变体，哥德尔证明了某些数学问题在它们被表述的系统中是不可判定的，这样的消息既让人失望（一些问题不能解决），又令人振奋（数学系统可以不断地扩大，这就意味着数学永无止境），全依赖于看待的角度。爱多士从未直接从事过数理逻辑的研究，虽然他十分赞赏哥德尔的证明。据塞凯赖什回忆：“当不可判定的命题在现实的图论问题中出现时，爱多士感到非常震惊。”
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爱多士是通过拉姆齐理论的推广以及对所谓的不可达基数的研究而对康托尔的集合论乐园做出重要贡献的。早在布达佩斯的年代，爱多士就与塞凯赖什共同开辟了拉姆齐理论这一领域，现在要将它推广到超限数的范围（超限数是数学家用来表示康托尔无穷多个无穷概念的术语）。这项工作贯穿了他一生，其中绝大部分是与拉多及早在20世纪50年代就于布达佩斯认识的数学家豪伊瑙尔（Andras Hajnal）合作完成的。
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对于爱多士来说，发表论文只是一种礼貌的形式，是分享成果的最后行为。但有时候，如与乌拉姆合作的情况中，不知是什么原因，他的一些有趣的结果并未能付印。爱多士非常了解高斯的消极例子。高斯只发表他自以为完美的杰作，他说：“不完善的解答不能使我愉快，而不能使我愉快的工作对我来说就是痛苦。”高斯甚至引用果树的比喻，这棵果树果实不多，但每只果子都硕大肥美；他还喜欢引用座右铭“Pauca sed matura”（少而精）以及保罗·梅森(6)的自诩：“不到时候不卖酒。”在高斯去世多年后发现的笔记本上随意摘录的一些东西，如果发表出来，或许都会将数学推进几十年。更令人恼怒和具有破坏性的是高斯的这种习惯：当有数学家告诉他新结果时，他会说他几十年前就得到了同样的结果，赞扬他们就等于赞扬自己，而他高斯，作为一个谦逊的人，是不会这么做的。亚诺什·鲍耶（János Bolyai）是非欧几何的先驱，当高斯告诉他说自己已探索过同样的领域时，就深深受到了伤害。因此，当一个年轻的印度数学家告诉爱多士他的最新发现时，爱多士只字未提自己多年前与乌拉姆一起得到但没有发表的同一结果。相反，爱多士赞扬了这个年轻人的工作，并鼓励他尽快发表。几年以后，这位印度数学家（爱多士声称已忘掉了他的名字，但考虑到爱多士非凡的记忆力，这可能只是一种托词）发现了爱多士早年的结果并问他：“为什么不告诉我呢？”
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爱多士回答道：“在这方面，我不想模仿高斯。”
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在纯数学家中具有解决真正世界难题这等非凡才能的乌拉姆于1942年被他的朋友冯·诺伊曼邀请去参加曼哈顿计划，这是一个在新墨西哥州洛斯阿拉莫斯研制原子弹的秘密计划。乌拉姆被指派进行炸弹内向爆炸的流体动力学计算，内向爆炸使裂变物质压挤形成临界质量，因此这是一个十分关键而又棘手的问题。冯·诺伊曼与其他优秀的数学家和物理学家们企图找到一种巧妙的理论简化，从而使他们能够仅用笔和纸来计算。尽管具有抽象的理论背景，乌拉姆却认识到解决问题最好的途径还是用“笨办法蛮干，即进行大量更实际的数值计算”。乌拉姆请他的朋友爱多士到洛斯阿拉莫斯来投入这一工作。爱多士愿意前来并按照乌拉姆的建议写信给“爱德华教授”（这是他对爱德华·特勒的称呼）。不幸的是，爱多士告诉特勒战后他可能想回匈牙利，这对特勒来说，已有足够的理由拒绝爱多士加入这项可以显示其能力的计划。
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正如乌拉姆感觉到的，爱多士无论对于个人的还是政治的事务永远是那样直截了当。1945年，战争刚刚过去，乌拉姆接受了位于洛杉矶的南加利福尼亚大学的一个职位。到达南加州大学不久，乌拉姆突然遭受强烈头疼的袭击，伴随着从胸部蔓延到下巴的可怕麻木。乌拉姆回忆说：“我突然想起了柏拉图关于苏格拉底服毒后的描写。”他的妻子请来了医生，乌拉姆被急忙送进了医院。
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由于某种医生们无法解释的原因，乌拉姆的脑子开始危险地膨胀。一项紧急的手术解除了压力。几天后，乌拉姆显然好了一些。为了检查他智力的恢复程度，医生问他：“13加8是多少？”乌拉姆写道：“他居然问我这样的一个问题，这使我感到如此难堪，我只是摇了摇头。”医生不太放心，于是又问他20的平方根是多少。回答：“大约是4.4。”医生沉默不语。乌拉姆担心地问：“不对吗？”医生笑着说：“我也不知道。”简单的算术使医生相信，乌拉姆已经恢复了。但是乌拉姆比绝大多数人都更离不开健全的大脑，所以需要更多的信心。
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在乌拉姆出院那天，爱多士出现在病房里，手中提了一只箱子，他说：“斯坦，我真高兴看到你还活着，我以为你会死去，那我就得给你写讣告和我们的合作论文了。”由于爱多士对他还活着而表现出来的明显快乐，乌拉姆非常高兴，但仍有点担心他的朋友们会认为他没希望了。由于并没有即刻的安排，又看到乌拉姆就要出院，爱多士说：“你要回家吗？很好，我可以跟你一起回去。”
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在到巴尔博亚岛乌拉姆家的整个旅途中，爱多士一直在谈论数学。据乌拉姆回忆：“我做一些说明，他问我一些问题，我答完后，他说：‘斯坦，你跟过去一样啊！’”乌拉姆很高兴但仍缺乏信心。一到乌拉姆家，爱多士就提出要跟乌拉姆下棋。连胜了爱多士两局，乌拉姆开始觉得他的脑子没有受损，而他的大脑在手术台上有几个小时比爱多士的大脑敞得更开。经过爱多士两个星期的挑战之后，乌拉姆终于相信自己的智力并未减退。
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他们在海滩散步时进行的数学讨论，完全证明了乌拉姆的康复。在一次散步中，爱多士像往常一样停下来向一个小孩打招呼：“斯坦，看呀！多好玩的埃泼西龙。”孩子的母亲就站在不远处，她是一个年轻美丽的妇女。乌拉姆不禁回答说：“请看看大埃泼西龙吧！”弄得爱多士面红耳赤。
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爱多士为了挣钱而做一次访问一点也不会使乌拉姆感到奇怪。那些年里，爱多士是依靠最多不超过一学年的客座教授的报酬来生活的，例如在普渡大学、密歇根大学等；或是依靠菲薄的演讲费及同事们的善意帮助。在哪里访问对爱多士来说真无所谓，他也像爱因斯坦一样可以带着实验室随时随地工作，而毫不顾及周围环境。有一天午夜以后，爱多士在离普渡大学校园不远的地方被一些警察叫住了，他们觉得他有些可疑。“你在干什么？”他们问。“我在思考。”他解释说。“你是在思考。”警察还算通情达理，说完就走开了。
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但官方并不总是那么通情达理或那么好说话的。1941年8月，爱多士到纽约访问一些数学家，在那里，正如《费城问讯报》所述，他成了“一场间谍恐慌的中心人物”。为了消磨时间，爱多士决定与英国数学家阿瑟·斯通及日本数学家角谷静夫（Shizuo Kakutani）一起去长岛做一次短途旅行。他们驱车到岛的东端并住进一家小旅馆。那天晚上，爱多士注意到远处有一束奇怪的亮光向他闪烁。第二天，在他的提议下，三人一起去寻找这个发光地点。他们从高速公路下了支路，翻越一处叫作巴伦希尔的山地时，道路变得越来越窄，这本应是个警示。而这里本应有一块“禁止入内”的牌子。
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角谷静夫拍了一些斯通与爱多士的照片，背景就是那座神秘的建筑物，它是一个秘密的雷达站。两个无线电报务员后来报告说，这些非法闯入者中有一人给那座200英尺高的发射塔画了一张草图。一个警卫截住了他们，让他们离开，于是他们回到汽车里并驶往一家小店吃了午餐。当他们付账时，有两个身材高大的警察走近这些数学家，将他们拘捕并带到了警察局接受讯问。那警卫报告说“三个日本人对这个装置拍照之后仓皇离去”。三个不同种族的外国人本已足以引起最冷静的警卫的警觉了。那些年里守法的公民都被教导要保持高度警惕；甚至在斯塔滕岛轮渡站的围栏旁拍摄纽约港的照片都被禁止。渔船在长岛南岸水域垂钓需持特殊的许可证，乘客需携带海岸警察厅颁发的特别身份证。
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