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高斯对无穷大的排斥，反映了以往实际上已普遍存在的一种意见——至少亚里士多德在2 000多年前就已拒绝了无穷大和无穷小的存在性。康托尔摧毁了亚里士多德的逻辑，他在1886年写道：“所有否定实无穷大数可能性的所谓证明都是错误的，这不仅可以在每一种特殊情况中得到阐明，而且在一般情况下都可以得到这样的结论……如果纯粹从形式上考虑，则无穷数必定（与有限数相比）构成一个全新类型的数，其性质完全依赖于事物的性质，它们确实是一种研究对象，而非武断与偏见。”
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康托尔证明了不仅无穷这一概念具有数学意义，而且无穷是作为不断增大和永无止境的等级序列而存在的，这也许有点像布莱克的幻想曲。但康托尔的天才是在于证明了塔式的无穷大序列来自清醒的与不可辩驳的集合论数学。
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按新数学教员的解释，一个集合是一些事物——任何事物的全体。议会中的民主党员，海里的鱼，波音747飞机的各个部件，等等，全都形成集合。如果一个集合的元素可以与另一集合的元素构成一一对应关系，则称这两个集合有同样的大小。求证火枪手集合与一个丑角集合有同样大小，你需要做的全部工作就是：证明每一个火枪手必有一个丑角与之对应，且反之亦然。一种对应的方法是：
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穆厄（Moe）←→阿拉米斯（Aramis）
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拉里（Larry）←→波尔托斯（Porthos）
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卷毛（Curly）←→阿托斯（Athos）(2)
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一个集合的元素个数称为它的基数。火枪手集合的基数为3，而丑角集合的基数也为3。
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对于无穷集合同样可以用这一方法来处理，由此可以导出奇妙的结果。所有正整数的集合{1，2，3，…}似乎是所有偶数集合{2，4，6，…}的两倍大小，而实际上，它们具有同等大小。这不难从它们之间建立起来的一一对应关系中看出：
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1←→2
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2←→4
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3←→6
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4←→8
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等等。所有奇数的集合与所有平方数的集合或所有素数的集合亦是大小相同。稍微做一点推导，即可以证明所有有理数——分数的集合与正整数集合有同样大小。这就是说，对于每一个分数可以确定唯一的一个整数与之对应：有理数是可以数的。康托尔称每一可数集——一个可以与正整数一一对应的集合——的基数为N0，读作“阿列夫零”（Aleph-null）。“阿列夫”是希伯来字母的第一个字。在过去，数学家还从未使用过希伯来字母。数学家在征求新的数字符号时多多少少已把拉丁字母与希腊字母用尽了。
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乍一看来，人们可能会认为既然整数可以无穷供应，那么任何集合都将是可数的。但康托尔证明了情形并非如此。例如在0与1之间所有的十进位数——数学家所说的实数——表示数轴上一个不间断的线段。正如我们将要证明的，任何把所有实数与整数一一对应的企图都是注定要失败的，不管你怎样努力去做，总会有无穷多个实数找不到它们的对应者。康托尔关于这一断言的简单证明所用的方法就是他著名的“对角线法”。这是所有数学中最美妙与令人惊奇的方法之一。当爱多士的父亲告诉他这一证明之后，爱多士就爱上了无穷大，而康托尔则成为他心目中的英雄。按照塞凯赖什的说法，爱多士把康托尔的证明看成“直接来自天书的最惊人范例”。在那些日子里，他常常在信末写道：“愿康托尔精神与您同在。”或当他很忙时就写道：“愿C.与您同在。”
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康托尔的证明利用了他所偏爱的反证法技巧，现在这一技巧已变得很普遍了。他假定有某个天才千方百计试图穷举0与1之间的所有实数，并产生了一张如下形式的表：
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1←→.13493358…
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2←→.85195719…
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3←→.14159265…
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4←→.17283845…
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5←→.04146492…
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6←→.71582381…
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对于每一个整数，在0与1之间有唯一的实数与之对应，且对于每一个实数——每一个可能的十进位无穷小数——都有一个整数与之对应。
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按这张表，康托尔按下面的程序构造了一个数：表中第一个数的第一位小数取作这个数的第一位小数，表中第二个数的第二位小数取作这个数的第二位小数，表中第三个数的第三位小数取作这个数的第三位小数，如此等等。换言之，用表中对角线上的数来构造一个新数。
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1←→.13493358…
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2←→.85195719…
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