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如此反复，再下一个首先未被划去者为5，所以它是一个素数。保存它而划去其他5的倍数。你可以连续采用这一做法，直至达到的数已超过表中整数个数的平方根。对于我们的例子，表中共50个数，由于50的平方根大于7，而小于8，所以将7留下，而将7的其他倍数去掉即可终止。这样做的理由在于任何一个复合数一定是两个或以上的素数之积。在这些素因数中不能有两个大于该复合数的平方根，否则这两个素数之积就大于该复合数了。例如100不能有两个素因数皆大于100的平方根10，这是由于两个任意大于10的数之积必定大于100。所以除1之外，任何复合数至少有一个素因数不超过表中整数个数的平方根。当你按上述做法将不超过表中整数个数的平方根的素数倍数都划去后，就已经划去了表中所有的复合数。下面就是前50个数经厄拉多塞筛法筛选后的最后结果：
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在厄拉多塞之后，编造素数表几乎成为对数学皇后虔诚奉献的一项活动了。1776年，费尔克尔（Antonio Felkel）为了流芳百世而编纂了2 000 000以内所有复合数的素因数表。该表的第一卷发表了，它包含了小于408 000的所有整数的因数，但在印刷方面却不像作者所期望的那样成功。除了少数的几卷，费尔克尔的大部分工作成果在以后的土耳其战争中都被用作制造弹药筒了。维也纳帝国财政部曾资助费尔克尔第一卷手稿的印行而未成功，又似乎并非出于善意地扣留了其余未出版的书稿。但这并未阻止费尔克尔重新计算了被没收的部分并将先前的结果扩大至2 856 000。
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波兰数学家库利克（Yakov Kulik）肯定是最英勇同时也是最悲壮的素数迷了。本着人人都应有一个嗜好的理论，库利克花费了20年的业余时间编纂了一张1亿数字内所有整数的素因数表。库利克去世后，他毕生工作的遗稿交给了维也纳皇家科学院图书馆保存，共八卷4 212页，其中除第二卷（从12 642 000到22 825 800）已遗失外，其余各卷今天尚能见到。虽然书稿的丢失对个人来说是一个悲剧，但从数学上看却并不重要。第一卷经检查后发现了太多的错误，致使库利克的努力变得没有价值。
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当高斯还是一个15岁的孩子时，他检查了一张兰伯特（Johann Lambert）编制的102 000以内的素数表，以便观察素数的规律。数学经常被说成是纯推理的最高表现，但高斯却强调它同时也是一门眼睛的科学。这就是说，数学来自对数字、形状与结构的性质的缜密观察。数学家花费了大量时间来观察和探寻规则性与奇异性，并以此为基础建立起他们的猜想与证明。印度数学家拉马努詹花费了大量时间来进行算术计算以使其理论更充实，更具有启发性。他的传记作者卡尼格尔写道：“他与数建立了密切的关系，出于同样的理由，画家们不停地调配着各种颜料，音乐家们反复试验着不同的音阶。”
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年轻的高斯决心要摆脱素数表面的混沌，去看看他是否能找出较大范围的规律。就像一个画家离开他的画架去评估一下自己手头的工作一样。高斯将自然数分成每1 000个数构成的区间，再利用兰伯特编的素数表来计算每个区间中的素数个数。这一技巧还真管用，人们见到在一定的区间以后，素数的分布显得有规律起来了。请看看显示不超过x的素数个数——数学家们称其为函数π（x）——的两张图。第一张图比较密集地考察了从1至100的整数，第二张则比较粗疏，表示1 000之内的数的情况。
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函数π（x）的第一张齿形图，远看时是相当光滑的。利用兰伯特的表上搜集到的数据，高斯得以猜出一个用来描述素数分布的异常简单与精确的定律。高斯的公式精确地刻画了素数稀疏出现的缓慢性与必然性。在100以内的正整数中，素数占25%。在1 000以内的正整数中，素数约占17%。在前100万个正整数中，素数仅占了8%。这一百分比在继续缓慢地与必然地下降着，在不超过10 000亿的正整数中素数的比例已降为4%。最后这个数当然不是库利克的某个狂热继承者一辈子工作的成果，而是运用一个非常有效的计算素数的程序在高速电脑上算出来的。
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图8-1 素数分布（100以内）
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图8-2 素数分布（1 000以内）
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高斯猜想所谓的对数函数可以用来描述素数出现缓慢下降的百分比。对数是指数增长的反函数：1 000是10的三次方（103），所以1 000以10为底的对数为3；由于24 =16，所以以2为底的16的对数为4。用来测度地震强度的里氏（Richter）级就是用对数度量的；里氏5级地震的强度为里氏4级地震的10倍。
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高斯猜想x以内的素数个数可以粗略地用公式
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π（x）≈x/log（x）
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来估算，其中log（x）是数学家们喜欢的自然对数的记号，它对应的底为e，略等于2.718（大多数人在中学里都学过，以10为底的对数约等于自然对数的0.434 3倍）。高斯的同时代数学家勒让德（Adrian-Marie Legendre）也独立地猜出了这一定律。经过快速比较，就可以看出这一公式很好地刻画了素数的实际行为。
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图8-3
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高斯在他一生中，只要有可能，就会去检验他所观测到的这条定律。他有时从最新的素数表中寻找数据，但更经常地则是依赖他惊人的计算能力。1849年，高斯向天文学家恩克（Johann Franz Encke）说起他年轻时关于素数分布的研究：“我经常利用我闲下来的一刻钟去研究某1 000个数的区间里的数（因为我缺乏耐心去系统地研究所有的区间）；最后我终于完全放弃了这种研究，没能完成头100万个数的检验。”这种业余时间的零散研究使高斯能够告诉恩克：“兰伯特的表格里，在101 000与102 000间的1 000个数中有很糟糕的错误；我去掉了7个数，它们不是素数，另外又加进了2个被漏掉的素数。”
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对他关于给定数以内的素数个数的猜想公式，高斯并未给出证明。在很多年后仍无人能给出证明。1852年，俄国数学家切比雪夫首先在素数定理的证明方面获得了一些进展，素数定理是人们对高斯猜想的称呼。切比雪夫定理是他关于贝特朗假设证明的延拓，而爱多士19岁时第一项创造性工作也正是贝特朗假设的证明。让我们回想一下，切比雪夫定理可以用下面的史诗式（至少在精神上，如果不是从诗体学意义上来说）对句来概括：
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切比雪夫说过的，我再说一遍，
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在n与2n之间恒有一个素数！
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