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换言之，任何数与它的倍数之间必定有一个素数。切比雪夫定理给出了素数分布的一个线索。事实上切比雪夫还可以得到比贝特朗假设更多的东西，但他却未能证明素数定理。切比雪夫的一个同时代人也未能证明素数定理，因而宣称：“我们或许要等待这样一个人降临于世，他的洞察力与智慧较切比雪夫更胜一筹，正像切比雪夫在这些方面远超凡人一样。”
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高斯最有名的学生黎曼在素数定理的证明方面迈出了重要的一步。在授予黎曼博士学位时，高斯称赞了他“无比丰富的创造性”。在他短暂的一生中——他仅活到40岁——黎曼证明了他是名副其实的高斯继承人。他发展了今天所称的黎曼积分，探索了弯曲空间的几何学，后者成为爱因斯坦引力理论的一个要素。在1859年的一篇文章里，黎曼证明了本质上属于算术问题的素数计数问题可以用检验所谓黎曼ζ函数（Zeta function）的性质来处理。这是直觉的光辉飞跃，但为了处理这件事，黎曼从其他领域中引进了一些概念，而这些领域在过去认为是与数论无关的。黎曼的ζ函数不是一个初等概念。爱多士相信在素数定理的证明中用到它并不是必要的，且会使关于素数分布的基本推理变得模糊不清。为了理解爱多士这一信念的理由，需要对黎曼独特的创造进行仔细的考察。
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黎曼ζ函数是被数学家称之为复变函数的最著名例子之一。函数就像一架数学机器，将一个数当成一个输入物输入并咀嚼后，就会输出另一个数。像黎曼ζ函数这样的函数，其输入与输出的数都是所谓的复数，复数含有两部分，其中之一为熟知的实数，另一部分则是所谓的虚数。
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实际上，所有数都是复数。我们会送给真正的爱人5个金戒指，但却不会送“5”这个数。爱多士完全有理由为自己能在童年时就发现负数而感到骄傲；毕竟，说一次孵出了负3只鹅是什么意思呢？希腊人是不相信负数的，对于他们来说，方程
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x+3=0
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是无解的。几百年之后，人们才接受了负数是有意义的，当人们求解方程
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x2+1=0
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时，就类似地产生了虚数。换言之，什么数的平方等于-1？一个正数乘一个正数为正数，所以不是正数。一个负数乘一个负数仍为一个正数，所以也不是负数。那么既不是正数也不是负数，它是什么呢？这才勉强地承认需要一类新的数。可能主要出于感情而不是存在主义的理由，这一类新的数被称为虚数。随着虚数及复数——它是实数与虚数之和——被加进数系，上述的方程就可以求解了。大量优美而有用的数学随之产生。当今复数已被最现实的工程师熟练地用来设计从电话到吊桥的每一样东西。
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除了在数学其他领域的广泛应用外，令人惊奇的是复数也渗入了整数的领域。黎曼证明了对ζ函数性质的全面了解将导出素数分布的结果，它比任何已知的结果更强。黎曼的文章给出了关于ζ函数的6个猜想，它们所显示的对复数域的深刻观察力至今仍使数学家们惊叹不已。黎曼猜想中的5个已被证明了，但最后一个仍未得到证明，它已成为数学中最重要的未证明问题了。
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希尔伯特将这一猜想列为数学中最重要的问题之一。有一次，他曾说，如果他睡了1 000年醒来后，他将要问的第一个问题就是：“黎曼猜想解决了吗？”希尔伯特的传记作者里德（Constance Reid）重述了这一轶事，虽说真伪不明，或许可以表明希尔伯特对黎曼猜想着迷之深。希尔伯特有一个学生，带了一个黎曼猜想的证明去找他。希尔伯特为他的努力深受感动，但经仔细检查后，发现了一个致命的错误。在这个学生去世后不久，他的朋友要求希尔伯特为他致悼词。希尔伯特开始讲些一般事情，表示对失去这样一个年轻有为的学生深表遗憾。他提到这个学生尝试的黎曼猜想证明虽存在缺陷，却有可能在某一天导致这一著名问题的解决。面对已故学生的茔墓，淋着雨，希尔伯特兴致勃勃地说道：“说实在的，让我们来考虑一个复变数的函数……”
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哈代尽管未能解决黎曼猜想，但对这一猜想的解决做出了重大的贡献。他甚至别出心裁地用黎曼猜想来与上帝开玩笑。哈代担心海上航行的安全，因此每当访问他在丹麦的数学之交哈拉尔德·玻尔（Harald Bohr，著名物理学家尼尔斯·玻尔的弟弟）并即将登船横渡北海回国之前，作为一种旅行保险，他总要写一张明信片给玻尔，宣称他已证明了黎曼猜想。里德说，哈代深信“上帝是不会让哈代——他们之间在进行一场个人战争——带着这样的荣誉而死去的”。
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为了证明素数定理，数学家们几乎花了40多年时间来掌握这个棘手的ζ函数，1896年阿达马（Jacques Hadamard）与瓦莱·普桑（Charles Jean Gustave Nicolas de la Vallée Poussin）终于证明了高斯年轻时提出的敏锐猜想——素数定理，以后的数学家则致力于改进阿达马与普桑的困难的证明及阐明黎曼ζ函数的性质，虽然黎曼猜想仍悬而未决。但始终没有找到素数定理的一个初等证明，很多数学家都认为这样的证明是不可能的。“关于理论的逻辑，我们有某些成见，”哈代写道，“我们认为有些定理，如我们所说的那样‘很深刻’，而另一些则比较肤浅。如果有人能给出素数定理一个初等证明，他就会知道这些看法是错误的；这一课题并不像是我们所预料的那样结合在一起的，而现在是抛弃旧有的著作和重写理论的时刻了。”
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爱多士及其他一些数学家把哈代说的话更多地看作挑战而不是警示。1931年爱多士给予切比雪夫定理卓越的证明后，他宣称他将致力于初等方法，并将为此奋斗终生。在许多数学家看来，爱多士掌握的初等方法已用尽了，但他却继续发表出可以留在“天书”中的、意想不到的美丽结果与证明。他的许多定理是关于素数分布的，但他寻找素数定理初等证明的目标却依然很渺茫。
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在第二次世界大战期间，欧洲的数学家们无法跟他们的美国同行通信。当战事结束后，那些可以旅行的人便前往欧洲，去看看他们的同行在干些什么。图兰是战争浩劫的幸存者，并留在了布达佩斯。他被高等研究所邀请去那里访问6个月。爱多士为能与他的老朋友重逢而欣喜若狂，他从锡拉丘兹大学——他正在那里当客座教授——到纽约来会晤刚刚抵达的图兰。此后的6个月间，爱多士经常到研究所访问图兰并在一起研究多项式根的分布，他们在这方面的论文至今仍不断被人引用。
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战后，研究所的一位教授魏尔(1)去欧洲做调研性的长途旅行。他得知有一个年轻的挪威数学家塞尔伯格（Alte Selberg）在一家不出名的挪威杂志上发表了一些漂亮的解析数论论文。魏尔一定感到自己像是一个棒球教练，发现了一名能在乡村沙地上投出每小时1英里快球的棒球手一样。他很快与塞尔伯格签了约，并将他这位新徒弟带回新泽西州的普林斯顿，让他在一个大舞台上去表演较量。
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塞尔伯格没有使魏尔失望，在研究数学的风格上，塞尔伯格与爱多士迥然不同。他是一个文静的人，甚至有些孤僻，很少与他人合写论文。与爱多士一样，他也是一个善于用初等方法去攻克数论难题的高手。1948年5月，塞尔伯格写了一篇论文，其中给出了狄利克雷(2)定理的一个初等证明，狄利克雷定理仅次于素数定理，是对初等方法威力的巨大挑战。狄利克雷定理涉及算术数列中素数出现的情况。算术数列是指等差整数列，例如3，5，7，9，11，……在这一数列中，3，5，7与11都是素数。1837年，狄利克雷证明了任何一个算术数列，只要其各项没有一个公因子，则它必定含有无穷多个素数。因此算术数列17，22，27，32，……中含有无穷多个素数，而5，10，15，20，……中则不可能有无穷多个素数，这是由于这一数列中每个数都是5的倍数。
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塞尔伯格认识并喜欢图兰，他将自己关于狄利克雷定理的证明告诉了图兰。塞尔伯格计划7月份到加拿大去旅行，图兰知道，当塞尔伯格返回时，他自己大概已经离开普林斯顿了，所以他要求看看塞尔伯格的手稿。塞尔伯格后来在给魏尔的信中写道：“我不仅同意这样做，而且对图兰感到很留恋。我花了几天的时间将证明详细告诉了他。”塞尔伯格还抛出了一件小小的礼品，给图兰看了一眼他3月份刚发现的一个意味深长的方程，即现在所称的“塞尔伯格公式”。塞尔伯格写道：“我没有告诉他这个公式的证明，也未告诉他这一公式的可能推论及我在这方面的想法。”
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塞尔伯格踌躇未定且没有告诉图兰的一个事实是：他的基本公式可能是得到素数定理的一个初等证明的关键。不难证明塞尔伯格公式是素数定理的推论，当然这公式并不是这样被发现的，塞尔伯格完全是用初等方法推导出他的公式的。由于基本公式能够由素数定理导出，塞尔伯格认为很可能反之亦然，即从基本公式可能导出素数定理的一个初等证明。关于这一点，塞尔伯格对图兰只字未提，他离开了研究所9天。
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在塞尔伯格离开期间，图兰在研究所举行了一次关于狄利克雷定理证明的非正式小型研讨会，他的听众包括爱多士、乔拉（Saravadam Chowla）及后来成为爱因斯坦助手的斯特劳斯（Ernst Straus）。乔拉与斯特劳斯后来都是爱多士的合作者。斯特劳斯写道：“在演讲结束后，接着有一段简短的讨论，内容是关于塞尔伯格不等式（即基本公式）的意想不到的力量。”爱多士立刻看出塞尔伯格公式可能暗含着素数定理，他感到第一步要证明一条中间定理，而直觉告诉他这定理将是塞尔伯格公式的推论。粗略地讲，这条中间定理即是，当素数增大时，两相邻素数之比趋于1，这使他接近于证明素数定理的最终目标。如同往常一样，他一头栽进了工作。
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当塞尔伯格回到研究所后，听说图兰举办了一次关于狄利克雷定理工作的研讨会，他感到很吃惊，但并没有表现出不高兴。“对这样做我当然没有表示反对，因为从我这方面来说，这仅涉及已完成的部分工作，尽管它们尚未发表。与此相关的是，图兰至少已将基本公式告诉了爱多士，我同样也没有表示反对，因为我事先并未要求图兰对此保密。”
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塞尔伯格可能是意识到他无权反对图兰的做法，但他对爱多士如此热情地抓住他的研究结果感到不悦。对于爱多士来说，数学的目的——也即生命的目的——就在于证明与猜想，并且要尽可能快地去证明与猜想。一条数学定理，一旦被发现了，就成为每一个人的财富。爱多士认为自己有责任去探寻这些定理的推论，而无论它们会将你引向何方。他传奇式的合作岁月仍摆在他的前面，但即便如此，在1948年以前，他发表的133篇论文中就有52篇是与他人合作的。很多数学家对爱多士这种研究数学的活跃的社会化方式很欣赏。但同时也有像塞尔伯格这样的一些数学家，他们宁愿按自己的步调孤军奋战；对于他们来说，爱多士进攻性的数学研究方式可能是粗鲁的和野心勃勃的，或者至少是出格的。
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在塞尔伯格从加拿大回来后不久的一个星期四下午，爱多士在研究所富尔德楼外碰到了塞尔伯格。爱多士告诉了塞尔伯格他想要证明的中间定理。在这次偶遇后不久，塞尔伯格写信给魏尔说：“我开始关注爱多士在这些事情上的工作了。”塞尔伯格试图给爱多士泼冷水，他对爱多士说他怀疑基本公式能否导出爱多士想要证明的中间定理，且很可能无法导出素数定理的初等证明。塞尔伯格甚至告诉爱多士说，他已构造出一个反例，一个破坏性的数学等式。但是，正如塞尔伯格后来承认的，他所设想的反例是一种有意的误导；塞尔伯格没有告诉爱多士某些基本假设，这些假设将消除反例的破坏性效果。塞尔伯格在将近50年后的一封信中解释道：“这一欲将爱多士引入歧途的做法（显然没有成功）在当时的情绪下多少是可以理解的。”
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第二天，爱多士告诉塞尔伯格他已证明了中间定理，塞尔伯格的怀疑于是变得没有根据。事实上，爱多士证明了一条比他的定理稍强的结果，这就更严重地妨碍了塞尔伯格自己来证明素数定理——而他已告诉过爱多士，他相信这样一个证明是不可能的。塞尔伯格急忙赶回家去拼力一搏，并在星期日利用爱多士的定理完成了素数定理的证明。爱多士非常高兴，并设想他与塞尔伯格可以联名发表一篇关于他们的成功合作的论文了。或许塞尔伯格最终会允许爱多士跟他商讨联名发表文章的事。但在这一切发生之前，塞尔伯格对锡拉丘兹大学做了一次短暂的访问，在那里他听到一些谣传，这些谣传彻底打消了他与爱多士分享荣誉的意向，甚至排除了与爱多士讨论数学的可能性。
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正如爱多士每当获悉有趣的数学消息后通常所做的那样，在他与塞尔伯格发现素数定理的初等证明后，爱多士立刻向他分布广泛的通信者寄发明信片，告知这一消息。塞尔伯格这时只给他兄弟中的一个人写了信。当他对锡拉丘兹的夏季访问快结束时，塞尔伯格因得知这一消息已传播甚广而感到吃惊。在锡拉丘兹，有一位教授天真地告诉塞尔伯格：爱多士已找到了素数定理的一个初等证明，按塞尔伯格的说法，他所碰到的每一个人都将这个证明“完全地或至少是实质上”归功于爱多士。根据斯特劳斯后来变得众所周知的回忆，这一偶然事件甚至变得更使塞尔伯格感到丢脸。按照斯特劳斯的说法，有一个教授气喘吁吁地跑来向塞尔伯格询问道：“爱多士和某个斯堪的那维亚数学家搞出来了，这个大好消息你听说了没有？”
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在1987年《大西洋月刊》刊登的一篇关于爱多士的文章里，霍夫曼（Paul Hoffman）又提到了斯特劳斯所述的故事。霍夫曼接着说塞尔伯格被谣传深深地激怒了，他立刻坐下来，匆匆写出一篇证明的单独文章，爱多士的功绩被一笔勾销。塞尔伯格确实是受到了伤害，但他从来就没有跟爱多士合写论文的热情；他在锡拉丘兹的经历已足以使他确信分开写论文的明智。塞尔伯格给爱多士写了一封简短的信，信中说：“我不能接受一篇合作论文的任何协议。”此时，塞尔伯格已发现了由他的基本方程去证明素数定理的另一途径，这一方法不需要依赖爱多士的贡献，他告诉爱多士，他将单独发表这一证明，并将“在序言里给出第一个证明简单的概述”，其中他会对爱多士的结果表示感谢。塞尔伯格然后说，爱多士可以写一篇自己的文章，详细论述他所得到的公式，但不应提及素数定理。爱多士见信后怒不可遏。
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