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高斯猜想x以内的素数个数可以粗略地用公式
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π（x）≈x/log（x）
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来估算，其中log（x）是数学家们喜欢的自然对数的记号，它对应的底为e，略等于2.718（大多数人在中学里都学过，以10为底的对数约等于自然对数的0.434 3倍）。高斯的同时代数学家勒让德（Adrian-Marie Legendre）也独立地猜出了这一定律。经过快速比较，就可以看出这一公式很好地刻画了素数的实际行为。
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图8-3
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高斯在他一生中，只要有可能，就会去检验他所观测到的这条定律。他有时从最新的素数表中寻找数据，但更经常地则是依赖他惊人的计算能力。1849年，高斯向天文学家恩克（Johann Franz Encke）说起他年轻时关于素数分布的研究：“我经常利用我闲下来的一刻钟去研究某1 000个数的区间里的数（因为我缺乏耐心去系统地研究所有的区间）；最后我终于完全放弃了这种研究，没能完成头100万个数的检验。”这种业余时间的零散研究使高斯能够告诉恩克：“兰伯特的表格里，在101 000与102 000间的1 000个数中有很糟糕的错误；我去掉了7个数，它们不是素数，另外又加进了2个被漏掉的素数。”
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对他关于给定数以内的素数个数的猜想公式，高斯并未给出证明。在很多年后仍无人能给出证明。1852年，俄国数学家切比雪夫首先在素数定理的证明方面获得了一些进展，素数定理是人们对高斯猜想的称呼。切比雪夫定理是他关于贝特朗假设证明的延拓，而爱多士19岁时第一项创造性工作也正是贝特朗假设的证明。让我们回想一下，切比雪夫定理可以用下面的史诗式（至少在精神上，如果不是从诗体学意义上来说）对句来概括：
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切比雪夫说过的，我再说一遍，
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在n与2n之间恒有一个素数！
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换言之，任何数与它的倍数之间必定有一个素数。切比雪夫定理给出了素数分布的一个线索。事实上切比雪夫还可以得到比贝特朗假设更多的东西，但他却未能证明素数定理。切比雪夫的一个同时代人也未能证明素数定理，因而宣称：“我们或许要等待这样一个人降临于世，他的洞察力与智慧较切比雪夫更胜一筹，正像切比雪夫在这些方面远超凡人一样。”
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高斯最有名的学生黎曼在素数定理的证明方面迈出了重要的一步。在授予黎曼博士学位时，高斯称赞了他“无比丰富的创造性”。在他短暂的一生中——他仅活到40岁——黎曼证明了他是名副其实的高斯继承人。他发展了今天所称的黎曼积分，探索了弯曲空间的几何学，后者成为爱因斯坦引力理论的一个要素。在1859年的一篇文章里，黎曼证明了本质上属于算术问题的素数计数问题可以用检验所谓黎曼ζ函数（Zeta function）的性质来处理。这是直觉的光辉飞跃，但为了处理这件事，黎曼从其他领域中引进了一些概念，而这些领域在过去认为是与数论无关的。黎曼的ζ函数不是一个初等概念。爱多士相信在素数定理的证明中用到它并不是必要的，且会使关于素数分布的基本推理变得模糊不清。为了理解爱多士这一信念的理由，需要对黎曼独特的创造进行仔细的考察。
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黎曼ζ函数是被数学家称之为复变函数的最著名例子之一。函数就像一架数学机器，将一个数当成一个输入物输入并咀嚼后，就会输出另一个数。像黎曼ζ函数这样的函数，其输入与输出的数都是所谓的复数，复数含有两部分，其中之一为熟知的实数，另一部分则是所谓的虚数。
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实际上，所有数都是复数。我们会送给真正的爱人5个金戒指，但却不会送“5”这个数。爱多士完全有理由为自己能在童年时就发现负数而感到骄傲；毕竟，说一次孵出了负3只鹅是什么意思呢？希腊人是不相信负数的，对于他们来说，方程
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x+3=0
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是无解的。几百年之后，人们才接受了负数是有意义的，当人们求解方程
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x2+1=0
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时，就类似地产生了虚数。换言之，什么数的平方等于-1？一个正数乘一个正数为正数，所以不是正数。一个负数乘一个负数仍为一个正数，所以也不是负数。那么既不是正数也不是负数，它是什么呢？这才勉强地承认需要一类新的数。可能主要出于感情而不是存在主义的理由，这一类新的数被称为虚数。随着虚数及复数——它是实数与虚数之和——被加进数系，上述的方程就可以求解了。大量优美而有用的数学随之产生。当今复数已被最现实的工程师熟练地用来设计从电话到吊桥的每一样东西。
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除了在数学其他领域的广泛应用外，令人惊奇的是复数也渗入了整数的领域。黎曼证明了对ζ函数性质的全面了解将导出素数分布的结果，它比任何已知的结果更强。黎曼的文章给出了关于ζ函数的6个猜想，它们所显示的对复数域的深刻观察力至今仍使数学家们惊叹不已。黎曼猜想中的5个已被证明了，但最后一个仍未得到证明，它已成为数学中最重要的未证明问题了。
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希尔伯特将这一猜想列为数学中最重要的问题之一。有一次，他曾说，如果他睡了1 000年醒来后，他将要问的第一个问题就是：“黎曼猜想解决了吗？”希尔伯特的传记作者里德（Constance Reid）重述了这一轶事，虽说真伪不明，或许可以表明希尔伯特对黎曼猜想着迷之深。希尔伯特有一个学生，带了一个黎曼猜想的证明去找他。希尔伯特为他的努力深受感动，但经仔细检查后，发现了一个致命的错误。在这个学生去世后不久，他的朋友要求希尔伯特为他致悼词。希尔伯特开始讲些一般事情，表示对失去这样一个年轻有为的学生深表遗憾。他提到这个学生尝试的黎曼猜想证明虽存在缺陷，却有可能在某一天导致这一著名问题的解决。面对已故学生的茔墓，淋着雨，希尔伯特兴致勃勃地说道：“说实在的，让我们来考虑一个复变数的函数……”
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哈代尽管未能解决黎曼猜想，但对这一猜想的解决做出了重大的贡献。他甚至别出心裁地用黎曼猜想来与上帝开玩笑。哈代担心海上航行的安全，因此每当访问他在丹麦的数学之交哈拉尔德·玻尔（Harald Bohr，著名物理学家尼尔斯·玻尔的弟弟）并即将登船横渡北海回国之前，作为一种旅行保险，他总要写一张明信片给玻尔，宣称他已证明了黎曼猜想。里德说，哈代深信“上帝是不会让哈代——他们之间在进行一场个人战争——带着这样的荣誉而死去的”。
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为了证明素数定理，数学家们几乎花了40多年时间来掌握这个棘手的ζ函数，1896年阿达马（Jacques Hadamard）与瓦莱·普桑（Charles Jean Gustave Nicolas de la Vallée Poussin）终于证明了高斯年轻时提出的敏锐猜想——素数定理，以后的数学家则致力于改进阿达马与普桑的困难的证明及阐明黎曼ζ函数的性质，虽然黎曼猜想仍悬而未决。但始终没有找到素数定理的一个初等证明，很多数学家都认为这样的证明是不可能的。“关于理论的逻辑，我们有某些成见，”哈代写道，“我们认为有些定理，如我们所说的那样‘很深刻’，而另一些则比较肤浅。如果有人能给出素数定理一个初等证明，他就会知道这些看法是错误的；这一课题并不像是我们所预料的那样结合在一起的，而现在是抛弃旧有的著作和重写理论的时刻了。”
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爱多士及其他一些数学家把哈代说的话更多地看作挑战而不是警示。1931年爱多士给予切比雪夫定理卓越的证明后，他宣称他将致力于初等方法，并将为此奋斗终生。在许多数学家看来，爱多士掌握的初等方法已用尽了，但他却继续发表出可以留在“天书”中的、意想不到的美丽结果与证明。他的许多定理是关于素数分布的，但他寻找素数定理初等证明的目标却依然很渺茫。
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