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在第二次世界大战期间，欧洲的数学家们无法跟他们的美国同行通信。当战事结束后，那些可以旅行的人便前往欧洲，去看看他们的同行在干些什么。图兰是战争浩劫的幸存者，并留在了布达佩斯。他被高等研究所邀请去那里访问6个月。爱多士为能与他的老朋友重逢而欣喜若狂，他从锡拉丘兹大学——他正在那里当客座教授——到纽约来会晤刚刚抵达的图兰。此后的6个月间，爱多士经常到研究所访问图兰并在一起研究多项式根的分布，他们在这方面的论文至今仍不断被人引用。
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战后，研究所的一位教授魏尔(1)去欧洲做调研性的长途旅行。他得知有一个年轻的挪威数学家塞尔伯格（Alte Selberg）在一家不出名的挪威杂志上发表了一些漂亮的解析数论论文。魏尔一定感到自己像是一个棒球教练，发现了一名能在乡村沙地上投出每小时1英里快球的棒球手一样。他很快与塞尔伯格签了约，并将他这位新徒弟带回新泽西州的普林斯顿，让他在一个大舞台上去表演较量。
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塞尔伯格没有使魏尔失望，在研究数学的风格上，塞尔伯格与爱多士迥然不同。他是一个文静的人，甚至有些孤僻，很少与他人合写论文。与爱多士一样，他也是一个善于用初等方法去攻克数论难题的高手。1948年5月，塞尔伯格写了一篇论文，其中给出了狄利克雷(2)定理的一个初等证明，狄利克雷定理仅次于素数定理，是对初等方法威力的巨大挑战。狄利克雷定理涉及算术数列中素数出现的情况。算术数列是指等差整数列，例如3，5，7，9，11，……在这一数列中，3，5，7与11都是素数。1837年，狄利克雷证明了任何一个算术数列，只要其各项没有一个公因子，则它必定含有无穷多个素数。因此算术数列17，22，27，32，……中含有无穷多个素数，而5，10，15，20，……中则不可能有无穷多个素数，这是由于这一数列中每个数都是5的倍数。
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塞尔伯格认识并喜欢图兰，他将自己关于狄利克雷定理的证明告诉了图兰。塞尔伯格计划7月份到加拿大去旅行，图兰知道，当塞尔伯格返回时，他自己大概已经离开普林斯顿了，所以他要求看看塞尔伯格的手稿。塞尔伯格后来在给魏尔的信中写道：“我不仅同意这样做，而且对图兰感到很留恋。我花了几天的时间将证明详细告诉了他。”塞尔伯格还抛出了一件小小的礼品，给图兰看了一眼他3月份刚发现的一个意味深长的方程，即现在所称的“塞尔伯格公式”。塞尔伯格写道：“我没有告诉他这个公式的证明，也未告诉他这一公式的可能推论及我在这方面的想法。”
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塞尔伯格踌躇未定且没有告诉图兰的一个事实是：他的基本公式可能是得到素数定理的一个初等证明的关键。不难证明塞尔伯格公式是素数定理的推论，当然这公式并不是这样被发现的，塞尔伯格完全是用初等方法推导出他的公式的。由于基本公式能够由素数定理导出，塞尔伯格认为很可能反之亦然，即从基本公式可能导出素数定理的一个初等证明。关于这一点，塞尔伯格对图兰只字未提，他离开了研究所9天。
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在塞尔伯格离开期间，图兰在研究所举行了一次关于狄利克雷定理证明的非正式小型研讨会，他的听众包括爱多士、乔拉（Saravadam Chowla）及后来成为爱因斯坦助手的斯特劳斯（Ernst Straus）。乔拉与斯特劳斯后来都是爱多士的合作者。斯特劳斯写道：“在演讲结束后，接着有一段简短的讨论，内容是关于塞尔伯格不等式（即基本公式）的意想不到的力量。”爱多士立刻看出塞尔伯格公式可能暗含着素数定理，他感到第一步要证明一条中间定理，而直觉告诉他这定理将是塞尔伯格公式的推论。粗略地讲，这条中间定理即是，当素数增大时，两相邻素数之比趋于1，这使他接近于证明素数定理的最终目标。如同往常一样，他一头栽进了工作。
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当塞尔伯格回到研究所后，听说图兰举办了一次关于狄利克雷定理工作的研讨会，他感到很吃惊，但并没有表现出不高兴。“对这样做我当然没有表示反对，因为从我这方面来说，这仅涉及已完成的部分工作，尽管它们尚未发表。与此相关的是，图兰至少已将基本公式告诉了爱多士，我同样也没有表示反对，因为我事先并未要求图兰对此保密。”
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塞尔伯格可能是意识到他无权反对图兰的做法，但他对爱多士如此热情地抓住他的研究结果感到不悦。对于爱多士来说，数学的目的——也即生命的目的——就在于证明与猜想，并且要尽可能快地去证明与猜想。一条数学定理，一旦被发现了，就成为每一个人的财富。爱多士认为自己有责任去探寻这些定理的推论，而无论它们会将你引向何方。他传奇式的合作岁月仍摆在他的前面，但即便如此，在1948年以前，他发表的133篇论文中就有52篇是与他人合作的。很多数学家对爱多士这种研究数学的活跃的社会化方式很欣赏。但同时也有像塞尔伯格这样的一些数学家，他们宁愿按自己的步调孤军奋战；对于他们来说，爱多士进攻性的数学研究方式可能是粗鲁的和野心勃勃的，或者至少是出格的。
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在塞尔伯格从加拿大回来后不久的一个星期四下午，爱多士在研究所富尔德楼外碰到了塞尔伯格。爱多士告诉了塞尔伯格他想要证明的中间定理。在这次偶遇后不久，塞尔伯格写信给魏尔说：“我开始关注爱多士在这些事情上的工作了。”塞尔伯格试图给爱多士泼冷水，他对爱多士说他怀疑基本公式能否导出爱多士想要证明的中间定理，且很可能无法导出素数定理的初等证明。塞尔伯格甚至告诉爱多士说，他已构造出一个反例，一个破坏性的数学等式。但是，正如塞尔伯格后来承认的，他所设想的反例是一种有意的误导；塞尔伯格没有告诉爱多士某些基本假设，这些假设将消除反例的破坏性效果。塞尔伯格在将近50年后的一封信中解释道：“这一欲将爱多士引入歧途的做法（显然没有成功）在当时的情绪下多少是可以理解的。”
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第二天，爱多士告诉塞尔伯格他已证明了中间定理，塞尔伯格的怀疑于是变得没有根据。事实上，爱多士证明了一条比他的定理稍强的结果，这就更严重地妨碍了塞尔伯格自己来证明素数定理——而他已告诉过爱多士，他相信这样一个证明是不可能的。塞尔伯格急忙赶回家去拼力一搏，并在星期日利用爱多士的定理完成了素数定理的证明。爱多士非常高兴，并设想他与塞尔伯格可以联名发表一篇关于他们的成功合作的论文了。或许塞尔伯格最终会允许爱多士跟他商讨联名发表文章的事。但在这一切发生之前，塞尔伯格对锡拉丘兹大学做了一次短暂的访问，在那里他听到一些谣传，这些谣传彻底打消了他与爱多士分享荣誉的意向，甚至排除了与爱多士讨论数学的可能性。
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正如爱多士每当获悉有趣的数学消息后通常所做的那样，在他与塞尔伯格发现素数定理的初等证明后，爱多士立刻向他分布广泛的通信者寄发明信片，告知这一消息。塞尔伯格这时只给他兄弟中的一个人写了信。当他对锡拉丘兹的夏季访问快结束时，塞尔伯格因得知这一消息已传播甚广而感到吃惊。在锡拉丘兹，有一位教授天真地告诉塞尔伯格：爱多士已找到了素数定理的一个初等证明，按塞尔伯格的说法，他所碰到的每一个人都将这个证明“完全地或至少是实质上”归功于爱多士。根据斯特劳斯后来变得众所周知的回忆，这一偶然事件甚至变得更使塞尔伯格感到丢脸。按照斯特劳斯的说法，有一个教授气喘吁吁地跑来向塞尔伯格询问道：“爱多士和某个斯堪的那维亚数学家搞出来了，这个大好消息你听说了没有？”
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在1987年《大西洋月刊》刊登的一篇关于爱多士的文章里，霍夫曼（Paul Hoffman）又提到了斯特劳斯所述的故事。霍夫曼接着说塞尔伯格被谣传深深地激怒了，他立刻坐下来，匆匆写出一篇证明的单独文章，爱多士的功绩被一笔勾销。塞尔伯格确实是受到了伤害，但他从来就没有跟爱多士合写论文的热情；他在锡拉丘兹的经历已足以使他确信分开写论文的明智。塞尔伯格给爱多士写了一封简短的信，信中说：“我不能接受一篇合作论文的任何协议。”此时，塞尔伯格已发现了由他的基本方程去证明素数定理的另一途径，这一方法不需要依赖爱多士的贡献，他告诉爱多士，他将单独发表这一证明，并将“在序言里给出第一个证明简单的概述”，其中他会对爱多士的结果表示感谢。塞尔伯格然后说，爱多士可以写一篇自己的文章，详细论述他所得到的公式，但不应提及素数定理。爱多士见信后怒不可遏。
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爱多士立即写信给塞尔伯格，提醒他，当他们谈到用塞尔伯格的基本公式去证明素数定理时，“你对成功是非常怀疑的，事实上，你说过你相信可以证明，基本引理［即爱多士从图兰那里得知的塞尔伯格的基本公式］不能推出素数定理……如果你能够告诉我［你所知道的一切］，我肯定当场就会完成素数定理的证明”。塞尔伯格的迷魂阵当时并未能使爱多士泄气，而现在却成了逆火。人们不可能来评判，如果没有爱多士开路，塞尔伯格是否一定能找到素数定理的证明。但有一点是清楚的，即爱多士将塞尔伯格的误导当了真，他确实以为他在解决一个已被塞尔伯格否定了的问题中起到了关键作用。
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“我完全不同意仅发表［中间结果］的想法，”爱多士继续写道，“并如以前一样强烈地感到我完全有权在一篇合作论文上署名。”当他意识到，他已不可能指望塞尔伯格同意发表合作论文时，爱多士建议发表一篇他自己的文章，公布“我们的简化证明，当然给你应享有的全部荣誉［指出通过我的某些想法与定理，你首先得到了素数定理］”。为了防止对各人贡献的无意曲解，爱多士写道：“当然，我将乐于首先将这篇文章寄给魏尔，如果他愿意劳驾一阅以证明我对你是真正公正的。”
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数学家们最后同意塞尔伯格将其论文投给有威望的《数学纪事》（Annals of Mathematics），而爱多士的文章则投到《美国数学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）上。使人吃惊的是爱多士的文章被《通报》拒绝了，可能是由于魏尔的意见起了作用。
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魏尔在1948年2月给论文审稿人的一封信中写道：“我提出异议，爱多士是否有权发表公认是塞尔伯格的东西……我确实认为爱多士的行为是不讲理的。如果我是责任编辑，我就绝不怕拒绝他这种形式的文章。”当爱多士得知文章被拒绝之后，他立即将其改投《全国科学院学报》（Proceedings of the National Academy of Sciences），并被接受发表了。
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50多年来，关于素数定理初等证明的争端一直是数学界的传闻和猜测的一个热点。直到爱多士去世以后，有关的档案才得以公开供人查阅。它们揭示的是这样的故事，其中既无英雄，亦无败寇。实际上，这个故事突出地反映了数学研究方式的重大转变。
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20世纪以前，数学的合作可以说是凤毛麟角，那个时代的重大结果绝大部分都只与一个人的名字有关。而今天，联名的定理已不足为奇。同样的倾向在所有的科学领域都能看到，这可能是由于科学界规模的急剧膨胀——过去的绝大多数科学家至今还活着——以及交通与通讯的日益便利。不管是什么原因，总还有一些科学家宁愿单干，保持着他们的想法直到完善圆满为止。有些科学家的大脑永远是敞开的，而另一些科学家则总是紧闭着。为了保证能独自证明费马大定理，怀尔斯一个人关在他的顶楼里工作了7年，即使是对最亲密的同事，他也未透露自己在干什么。这或许是他从爱多士与塞尔伯格的故事中吸取了教训。
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数学家们所下的赌注也将使他们把关于优先权的战斗继续进行下去。“数学的荣誉，”哈代写道，“如果你愿意为它付账，那将是一种最可靠、最稳固的投资。”数学真理是永恒的，超越文化的。毕达哥拉斯与欧几里得的一些定理在今天仍然与他们被创造出来时同样地新鲜与受到关注。“当埃斯库罗斯(3)被人们遗忘时，阿基米德会依然被铭记，”哈代写道，“这是因为语言会失去生命力，而数学思想却能够永葆青春。”正如爱多士喜欢说的那样，数学是流芳百世最可靠的途径。对于爱多士来说，与人分享的流芳百世仍然是流芳百世。归根到底，全部数学都是合作的成果，因为按牛顿的话来说，所有数学家都是站在巨人的肩膀上。（曾与爱多士一起工作过的卢森特技术学院的一位数学家温克勒尔［Paul Winkler］喜欢诠释牛顿的语言，他把这句话改说成：“如果我能够看得远一些，这是由于我站在匈牙利人的肩膀上。”）
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1950年，由于素数定理的初等证明及著名的塞尔伯格筛法的发展，塞尔伯格获得了诺贝尔奖的数学版菲尔兹奖（Fields Medal）。菲尔兹奖每隔4年颁发一次，最多4个数学家被授奖。爱多士赞成这一做法：“只要（每4年）都有2个或最多4个菲尔兹奖章，就不会有人真正感到生气，即使他自己没有获奖，只要是优秀的数学家得到了它就行。”1952年，由于素数定理的证明，爱多士获得了与菲尔兹奖荣誉相近的柯尔奖（Cole Prize）。
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虽然从未公开说起过，但爱多士在与塞尔伯格的冲突中却感到受了伤害。爱多士总是毫不犹豫地乐于与别人分享发现的荣誉，并且常常将自己的贡献降到最低限度。但一家匈牙利杂志上登载的他与老朋友奥尔帕尔的长篇访谈清楚地表露了爱多士的感情：“在1948—1949年，我最重要的贡献是给出了素数定理的初等证明……同时，一个挪威裔美国居民塞尔伯格也获得了类似结果。”在40年后的这次追述中，塞尔伯格的作用变成了一个脚注。即使在今天，这个证明在匈牙利仍被称为爱多士-塞尔伯格证明，而在普林斯顿则叫作塞尔伯格-爱多士证明。
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素数定理初等证明只是一颗昨夜星辰，现在它本身已差不多成为一个脚注了。这个证明很美，但并没有产生如哈代所预料的革命性效果。没有哪本书因此要被抛弃，也没有一种理论因此而需要重写。尽管黎曼的ζ函数与素数定理之间有着密切的联系，但初等证明并未能阐明黎曼猜想的神秘。“回顾一下，这并非数学中如此重要的作品，”作为同是爱多士与塞尔伯格亲密朋友的内桑森说道，“一些匈牙利人到处说塞尔伯格不应该获得这个菲尔兹奖……而爱多士才应该得到它。这种说法显然是无聊的废话。这对塞尔伯格与爱多士都是不公平的，因为除了素数定理的初等证明，他们两人在其他方面都做了非常重要的工作，他们中的任何一个都可以轻易地摘取菲尔兹奖的桂冠。”
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素数定理的初等证明是爱多士童年梦想的实现，同时也是他一生中最痛苦的插曲的起因。据朋友们回忆，爱多士有时感叹道，塞尔伯格的偶然事件永远剥夺了他在研究所中的一个位子，塞尔伯格将在那里度过一生的其余时光，而他却在全世界流浪了40年，既没有职位，也没有家庭。这肯定是夸张的说法，但多少也反映了一些事实。1948年，爱多士抑郁地离开了美国，这是10年来的第一次。他还会回来的，但不会在任何国家再度过这么长的时间了。
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(1)魏尔（Hermann Weyl，1885—1955），德国数学家，因纳粹迫害，移居美国，任普林斯顿高等研究所研究员，美国科学院院士。——译者
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(2)狄利克雷（P. G. L. Dirichlert，1805—1859），德国数学家，柏林大学、格廷根大学教授，解析数论的创始人。——译者
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