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素数定理的初等证明是爱多士童年梦想的实现，同时也是他一生中最痛苦的插曲的起因。据朋友们回忆，爱多士有时感叹道，塞尔伯格的偶然事件永远剥夺了他在研究所中的一个位子，塞尔伯格将在那里度过一生的其余时光，而他却在全世界流浪了40年，既没有职位，也没有家庭。这肯定是夸张的说法，但多少也反映了一些事实。1948年，爱多士抑郁地离开了美国，这是10年来的第一次。他还会回来的，但不会在任何国家再度过这么长的时间了。
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(1)魏尔（Hermann Weyl，1885—1955），德国数学家，因纳粹迫害，移居美国，任普林斯顿高等研究所研究员，美国科学院院士。——译者
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(2)狄利克雷（P. G. L. Dirichlert，1805—1859），德国数学家，柏林大学、格廷根大学教授，解析数论的创始人。——译者
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(3)埃斯库罗斯（Aeschylus），古希腊悲剧作家，有“悲剧之父”之称。——译者
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我的大脑敞开了：爱多士的数学之旅 第九章 山姆、乔和保罗叔叔
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在美国的10年里，爱多士从未放弃过有朝一日回到匈牙利的希望。他关于山姆与乔——爱多士语言对美国与苏联的称呼——行径的观察，使他对这两个大国都不信任。在他居留美国的10年间，爱多士并未采取任何步骤去获得美国公民资格。在那些年代里，爱多士从未想方设法去更换他的学生类签证。因此1948年当他想离开美国到欧洲包括匈牙利旅行时，就碰到了非常头痛的行政麻烦。最后，爱多士总算获得了一张必要的绿卡，这使他能自由地往返美国。
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他旅行的第一站是荷兰。在那里他与荷兰的第一流数学家一起就组合论、数论与分析方面的问题进行了合作。在阿姆斯特丹，他碰到了早在布达佩斯就已认识的一个年轻数学家奥尔弗雷德·雷尼（Alfréd Rényi）。在布达佩斯知识分子的小圈子里，爱多士是通过他的父母知道雷尼的，他们与雷尼一家相识多年。在大学里，爱多士的父母听过雷尼的外祖父、哲学家与文学评论家亚历山大（Bernat Alexander）所开设的美学课。雷尼的父亲是一个工程师，他的儿子得到了他家庭所赋予的两方面的才能与兴趣。雷尼是希腊古典语言与哲学的优秀学生，他对天文学也很着迷，这就很自然地引导他去攻读物理，而最终落脚于数学。
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1939年，当雷尼高中毕业时，他成了种族歧视法规的受害者。按这一法规，犹太人进入大学的人数受到限制。为此他在甘茨造船厂劳动了半年，直到他在希腊文与数学方面均赢得名次后，他才被允许进入大学。雷尼跟图兰一起学习数学，后来在这一领域中成了名。
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1944年毕业后，雷尼被拘留从事强制性劳动。在他所属的一群人被撤到西部之前，他设法逃出了劳动营，并利用假文件住在布达佩斯。按照爱多士的说法，雷尼是一名抵抗运动的英雄，他从箭十字党（Nyilas）——匈牙利的纳粹分子，他们折磨和屠杀了布达佩斯与西部地区成千上万的犹太人——手中救出了许多可能的受害者，为此他曾大胆地用箭十字党的制服来伪装自己。“在那些日子里，无论什么时候遇见他，”图兰写道，“我都对他的镇定自若与机智勇敢感到惊奇。”正是在这样的情况下，雷尼完成了他在塞格德大学的博士学位。这所大学位于离布达佩斯不远的一个镇上，是匈牙利第二大的大学。1946年，雷尼的生活已趋于安定，这使他能前往列宁格勒，在那里平静地工作与研究了8个月之久。图兰写道：“他在这几个月中的进步（这是他一生中第一次可以完全集中精力于数学）是非常惊人的。”他只懂得一点点俄文；却领会了顶尖数论学家维诺格拉多夫与林尼克（Yuni Linnik）工作的实质；掌握了概率论，这将成为他最重要工作的基础；并撰写了一些突破性论文。图兰写道：“靠着坚强的意志，他已从记忆中抹去了战争年代和劳动营苦难生活的阴影，用他年轻旺盛的精力与特殊的理解天赋全力以赴地投身于他的工作。”
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在1948年，爱多士遇到雷尼时，雷尼已不再是一个前途有望的学生，而是一个成名的数学家了。他的名声主要来自他对数学中最大名鼎鼎的难题之一哥德巴赫猜想所取得的惊人进展。
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1742年，一位名叫哥德巴赫（Christian Goldbach）的德国数学家给欧拉写了一封信，信中提出了一个猜想：每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和，例如：24=19+5及72=19+53。从表面上看，这猜想似乎是足够合理的，并且几乎是显然成立的。总之，每一个偶数都可以用很多不同的方式表示为两个素数之和，而每一个大于2的素数都是奇数。人们很容易会想到去寻找一个反例。但是不管用了多少笔算的与电脑的时间——直到1993年，4×108之内的偶数都已被检验过了——始终未能找出一个反例，也没有人确信可能找到反例。爱多士喜欢指出，实际上，这一猜想已先由笛卡儿比哥德巴赫大约更早100年提出过。“但我认为哥德巴赫猜想的名字仍应保留，”爱多士解释道，表明了他强烈的公正感，“首先，哥德巴赫写给欧拉的信使这一猜想获得了普及。同时，哥德巴赫是那样贫穷，而笛卡儿又是那么富有，这很像是要从婴儿手里抢走一块糖果。”
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在过去的两个半世纪里，哥德巴赫猜想已被证明是一块难咽的糖果。哥德巴赫猜想的奇数版是说，每一个大于或等于9的奇数总是三个素数之和；这一猜想已由维诺格拉多夫在1936年部分地解决了。(1)爱多士总是回顾起他的朋友乔治·塞凯赖什与埃丝特·塞凯赖什结婚的日子，因为这是他得知维诺格拉多夫证明的次日。但是关于偶数的猜想仍未解决。根据数学家公认的但有时不太可靠的直觉来看，这一猜想将在历史上存留很长时间。但在1947年，雷尼证明了每一个偶数均可以表示为一个素数及一个殆素数之和，这一结果使哥德巴赫猜想的证明变得可望而仍不可即。这里所谓殆素数是指只有很少素因数的数，“很少”一语可以在数学上弄精确。雷尼的结果后来被陈景润改进为每一充分大的偶数可以表示为一个素数及一个最多有两个素因数的整数之和，这不是真正的素数而是最靠近素数的数。
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雷尼是爱多士最重要的合作者之一。直到他1970年英年早逝，雷尼已与爱多士合作写了32篇论文。雷尼去世时，离49岁生日还差几个星期。在他们长期合作的过程中，无数杯的浓咖啡是他们共同的燃料。咖啡因是世界上绝大多数数学家选择的药物，而咖啡则是提供咖啡因的最佳来源。雷尼无疑非常嗜好蒸馏浓缩咖啡（espresso），他总结了一条几乎总是归于爱多士名下的名言：“数学家是将咖啡转变成定理的机器。”引理是一种小定理，通常被用来帮助证明一条更为重要的定理。图兰在大口喝完一杯美式咖啡之后，发现了一条推论：“弱咖啡只适合于引理。”
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当他们在阿姆斯特丹相遇后，爱多士与雷尼在数论方面进行了合作，并合写了一篇关于相邻素数的文章。他们合作的文章最后遍及几乎所有的数学领域，这反映了他们的折中主义。他们两人都喜欢概率论，并将其应用于范围极广的问题之中，这又常常导致了现实世界的应用。他们的纯粹数学发明往往至少具有一种现实世界的应用情趣。例如，他们有一篇文章考虑这样的问题：一个国家n个容量有限的机场，到底要开多少航班，才能使旅客的换机次数不多于1。这个问题可以变成一个纯粹的图论问题，现实世界似乎不会引出形式完全相同的问题，但这些问题所给出的结果却与真正的交通和通信网络问题密切相关。
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爱多士-雷尼最有创造性和最影响深远的合作是1959年撰写的归于神秘的标题“随机图论进展”之下的一系列经典论文。他们合写这些论文只是为了满足他们纯粹的数学好奇心，但这些文章可能掌握着解释一大类现实世界现象包括生命起源的钥匙。
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1947年，为了证明有关拉姆齐的一条定理，爱多士产生了研究随机图的奇异想法。顾名思义，随机图不是通过细心的设计而是由随机事件来构造的。试想有个神经错乱的土木工程师要决定在哪些城市之间铺设连接道路，他用的方法是投钱币，例如：如果出现正面，则在阿尔巴尼与波士顿之间建一条路，否则就不建。这样偶然得到的道路网络就是一个随机图。爱多士用拉姆齐理论中的随机图去解决一个推广的派对问题——有多少人参加派对才能保证这个派对有N个人互相都认识或N个人彼此都不认识？如我们此前讨论过的，当N为5或更大时，就没有人知道答案是什么了。利用随机图(2)，爱多士发现了一个天才方法，可以求出所需要人数的下限。例如，我们试图确定一个派对究竟要多大才能保证至少有7个客人彼此都相识或7个客人彼此都陌生。爱多士计算了G个客人的随机派对不具有上述性质的概率。如果概率大于0而小于1，那么一个随机选取G个客人的派对的确具有这一性质的可能性就大于0，因为该派对或者具有或者不具有这一性质。例如，如果爱多士的计算已确定了200个客人的派对不具有这样的性质即有7个客人皆互相认识或皆相互陌生的概率为0.99，或者说99%（这个数未必是实际的真正概率）。那么这一集合具有这一性质的机会就是0.01，或者说1%。爱多士的合作者斯潘塞解释道：“这意味着必定——而不是可能——存在具有这种性质的图。”
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利用概率论来证明一个数学结果，即如爱多士在1947年文章中所做的那样，完全是新的想法。在爱多士、斯潘塞及其他许多数学家手里，概率方法——经常被称为爱多士方法——变成了一个解决以往难以处理的问题的有力工具。斯潘塞承认：“它有一种魔术般的魅力。”创造了概率方法的爱多士就像是一个魔术师，他向读者证明了他的帽子里有一只兔子，然后就转身去变新的戏法。扯起耳朵把小兔子提出来是举手之劳，爱多士把它作为习题留给别人去做。
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爱多士帽子里的兔子常常被证明是对现实世界问题的解答，诸如电脑设计与信息网络。爱多士的概率方法保证了解答是存在的，但要具体找出解答来，那又是另一回事了。已经知道一堆干草里藏着一根针，这并不意味着翻动每一根干草去找针的办法是实际可行的。为了保证能在合理的时间内把针找出来，必须发明某些技巧，例如用磁铁来吸针。在数学中，这种技巧称为算法——解决问题的系统过程，这经常需要用电脑来完成。斯潘塞说：“最近20多年来一个非常有趣的话题就是所谓‘从爱多士到程序’。”从20世纪70年代以后，理论计算机科学家与数学家已发展了一套方法，将爱多士的柏拉图式思考转变为可以解决现实问题的算法。爱多士也是图论与组合理论的先驱，这两个数学领域一度被看成一潭死水，但现在已成为计算机科学的主要工具了。爱多士本人并未接触过计算机；当因特网变成数学文化的重要部分时，他常常要朋友帮他收发电子邮件。斯潘塞说：“讽刺的是，他对理论计算机科学的发展却有如此巨大的影响。”
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贯穿爱多士许多工作的一个主题是有序与混乱之间的微妙关系。对这一主题最清楚的陈述可在他关于拉姆齐理论的著作中找到，拉姆齐理论表明完全的无序是不可能的。1959年，爱多士与雷尼通过寻找混乱的随机图中的有序现象来研究这一问题，随机图是有意构造的无序结构。使他们感到惊奇的是，即使在最随机的情况下，有序的结构仍会自发地产生出来。
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爱多士与雷尼分析的情况是前面提到的土木工程师狂想曲的变奏。假定土木工程师现在的任务是要修筑连接一大批（譬如说10 000个）城市的道路。他首先忽略距离，随机地选择两个城市并在它们之间筑一条路。然后再随机地选择两个城市并筑另一条路。工程师按这一方法进行下去，但当两个城市之间已经有路连接，就不再在它们间筑路。
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起初只有少数城市之间有路相连，但当工程师逐渐加筑一些路后，就会形成一些小的相互连结的城市圈。生活在这些圈中的人可以沿一系列路驱车到圈内的其他任何一个城市去。爱多士与雷尼发现，开始时出现的城市圈是小规模的和分散的。当工程师加修了更多的路时，圈的规模将缓慢地变大，圈中的城市更多地相互连接起来。直到路的条数增加到使半数城市连接起来之前，情况尚无太大变化。但此后，只要再添加极少数几条路，奇迹就会突然出现。很多原先孤立的圈子将会变得相互联结而形成一个几乎包括了所有城市的巨大圈子。
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由各个孤立的小圈向单个大圈的迅速转变在许多自然现象中有惊人的类似。例如，水的突然结冰或交通的堵塞。这类现象，即所谓的相变，长期以来一直使科学家们迷惑不解。爱多士与雷尼出于纯粹的数学好奇心而进行的随机图研究，提供了一个可以阐明相变机制的简单模型。“这篇文章开辟了整个领域，”爱多士的弟子斯潘塞评论道，“回过头来看看，你就会明白，所有的发展都源于这样一个想法，即随机地增加边之后会发生什么。”自从爱多士与雷尼关于随机图的文章发表以来，已有数百篇其他文章、众多专著以及国际会议致力于这一领域的研究。
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作为纯粹数学家，他们并不是完全不了解他们研究的应用意义。在他们的原始论文中写道，研究随机图中结构的突然变化“不仅仅是纯粹出于数学上的兴趣。实际上，图的变化可以当作一国或其他某个单位的一个交通网络（铁路、公路或电子网络系统等）大为简化的模型……似乎可以这样说，通过对较复杂结构的随机增长的考虑，我们可以得到复杂的现实增长过程的相当合理的模型（例如，由不同类型的联系组成的复杂交通网络，以及甚至生命的有机结构，等等）”。
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