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40多年之后，这一论点被证明是非常有远见的。圣菲研究所的考夫曼（Stuart Kauffman）很大程度上依赖随机图的演化建立了他那令人信服的生命起源理论。在考夫曼的模型中，生命起源于混乱的原始分子群，这与爱多士-雷尼随机图的演化模型中“圈”（cluster）的出现有着相同的必然性。
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考夫曼开始想象有一锅随机的分子汤，即某种化学混合物，类似于科学家们在实验室里对地球形成早期的状况所做的模拟。这锅汤里可能包括一些随机的分子对，借助于被称为催化剂的第三个分子，它们可以相互结合起来形成一个新分子。这些新分子又将找到各自的舞伴，借助于另一个催化剂，用类似的方法产生另一个分子。如果运气好，那么这一过程就可以不断地进行下去，即新的分子可以找到它的同伴及适当的催化剂，如此等等。其结果是一个很长的相互作用的分子链。如果更走运，这条链将绕回它自身，就像一条蛇用嘴咬住自己的尾巴一样，形成自持的化学反应网，即一个封闭的化学系统，换而言之，即生命。
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这样一个复杂而自持的化学反应网络——考夫曼称之为自动催化网络——的出现依赖于一系列纯粹偶然的运气，因此似乎不可能发生。但考夫曼注意到可能的化学反应网络与一个随机图很相像，只要将分子看成端点而将催化反应当成边。考夫曼证明了正如一个只有相对少的边的随机图可以经历从不相连到相连的相变一样，一团随机的化学混合物也可以经历由不相关的分子到生命系统的跃变。“最大圈的尺寸的突然改变”，在一个随机图中，考夫曼写道，“我相信就是导致生命起源的那种相变的有趣模式……当一个化学反应系统中有足够多的反应被催化，就会突然形成一个巨大的催化反应网。这样一个网几乎肯定是自动催化的——几乎肯定是自足的，活性的。”随机图演化的数学证明了表面上看来不可能的自动催化系统的出现事实上是不可避免的。有了足够多的分散的分子，“一个自复制的化学系统……就可能突变为生命存在”。
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在阿姆斯特丹消磨了几个月后，爱多士于1948年12月回到了布达佩斯，这是10多年来第一次由教育部为他的签证做出特殊安排，使他能获准再度离开匈牙利去西方。爱多士说：“在当时，这是一个例外的处理。”爱多士惊喜地发现他的许多亲密朋友在纳粹屠刀下虎口余生。当然，爱多士在美国已见过图兰。现在他很高兴能与曾在布达佩斯城市公园无名氏雕像下认识的一些年轻数学家，如高洛伊、奥尔帕尔——作为一名政治犯其行动受到限制——及其他人重新相聚。但对爱多士来说，最大的欢乐是又能跟他的母亲在一起了。他后来愉快地回忆说：“在我们的老家里，我找到了我的母亲，她看来精力充沛，身体健康。”但重逢的欢乐由于众多的亲友遭受纳粹的迫害以及父亲的去世而被大大冲淡。在他最亲密的六七个亲人中，只有他母亲和一个姑母幸存下来。
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爱多士也因日趋恶化的政治形势深感苦恼。和同他绝大多数童年时代的朋友一样，爱多士是一个自由主义者。对他来说，“自由主义”的意义主要就是指对平等的强烈信念，对人性与个人需求的永久关注。这些原则与对政治权力的深刻怀疑结合在一起，使爱多士与山姆及乔都终生不和。从1949年开始，乔进行了一系列恐怖的公开审讯。如果说爱多士当初曾怀有回匈牙利的良好愿望，他很快就改变了主意。“因为政治局势的新变化，我感到远离匈牙利是明智的。”在对布达佩斯访问了3个月后，爱多士收拾起他那简单的行装，重新踏上了漂泊的旅途。爱多士最大的担忧很快就被证实了，几个月后他的朋友奥尔帕尔再次被捕。这次是由于他与内务部长拉伊克（László Rajk）有牵连。拉伊克在第一批公开审讯后即被当作间谍处决了。奥尔帕尔在一个铜矿里艰苦劳动了4年，直到斯大林死后的解冻期，他才重获自由。
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在此后的几年里，爱多士将他的时间分别花在美国与英国，靠借债和短期讲学的酬金度日。1950年，在布达佩斯召开了所有共产主义国家的数学家参加的大型数学会议。因为害怕来访后不允许他离开匈牙利，爱多士在匈牙利的朋友们没有给他发邀请，尽管爱多士的老师与朋友费耶尔将被授予荣誉。同年，按苏联模式建立了匈牙利数学研究所，以雷尼为所长——他担任这一职务直到1970年去世——这个研究所后来成为东欧国家的一个数学领导中心和爱多士在东欧最重要的避难所。
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1953年，美国看来将成为爱多士的永久居住地了。位于印第安纳州南本德的圣母大学数学系主任罗斯（Arnold Ross）邀请爱多士去工作一年，条件优厚。罗斯只安排爱多士教一门高级课程，并给他安排了一名助手，当他不得不外出旅行时，助手会给予帮助，接替他上课。
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爱多士自称是一个无神论者。他在圣母大学的朋友喜欢嘲弄他居然到一所罗马天主教大学工作。“他很认真地说他非常喜欢待在那里，”他当时的一个同事亨里克森（Melvin Henriksen）回忆道，“他对于跟‘牧师’一起讨论特别感到愉快。”只有一件事使他感到烦恼，“这儿加号(3)太多了”，爱多士莫名其妙地评论道。
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亨里克森喜欢回忆他仅有的一篇与爱多士合作的论文是怎样产生的。亨里克森与吉尔曼（Leonard Gillman）一起在搞拓扑学方面的一个问题，这是爱多士没有兴趣的一个领域。在研究过程中他们偶尔碰到了一个集合论问题，而在集合论这一领域爱多士已是公认的权威，于是他们便带着问题去找爱多士。爱多士很快地解决了这个问题，从而使他获得了又一次合作机会。当这两个拓扑学家企图向爱多士解释他们问题的背景时，他听得眼睛都直了。亨里克森说道：“我常常说爱多士并不了解我们的论文，但他却做了困难的部分。”这篇文章成了非标准分析这一领域的开创性工作之一，而按照不公正的字母排名法，它常常被归功于爱多士等人。
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在圣母大学待了一年之后，罗斯以同样优厚的条件延长爱多士的聘约，爱多士似乎不可能拒绝这一聘任。但据亨里克森回忆，爱多士却彬彬有礼地谢绝了罗斯的邀请。他的朋友们认为他发疯了。他们问他：“保罗，你作为一个旅行数学家的生活还能维持多久呢？”不用怀疑，他的答复是，还有40多年。不过，爱多士是否决定留在圣母大学很快被证明是无关紧要的了，一个叫约瑟夫的人使爱多士改变了他的整个计划。
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参议员约瑟夫·麦卡锡歇斯底里的让美国摆脱“红色恐慌”运动当时正达到疯狂的顶峰。1953年6月6日，爱多士第一次尝到了麦卡锡主义不愉快的滋味。当访问住在洛杉矶的一个朋友时，爱多士要用一下电话向在布达佩斯的母亲祝贺73岁生日。爱多士的朋友通常总是替他付长途电话费，至多提醒一下把话说得短一点。但这一次他的朋友却拒绝让他使用电话，不是为了节省，而是出于害怕。他不愿意在他的电话账单上出现打往共产主义国家的电话记录。
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拒绝可能是胆小的，但并不全然是愚蠢的。自从1950年通过了麦卡锡的“内部安全法案”后，外国科学家如果希望访问美国，则必须经过带有侮辱性的审查才能获得签证。1954年，《星期六晚邮报》的一个记者为法案辩护道，除非“他是一个真正的坏蛋”，没有一个科学家会被禁止入境。很显然，在美国政府的眼睛里，伟大的英国物理学家，诺贝尔奖获得者狄拉克（Paul Dirac）就是符合这种描述的“坏蛋”。天文学家斯特鲁韦（Otto Struve）愤怒地说，这一错误政策将使美国科学家丧失从狄拉克的访问中获益的机会。他总结道，无论如何，如果狄拉克是一个坏蛋，那么“我们将会毫不迟疑地在家宴桌上添加数打这样的蛋”。
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很多科学家不愿去申请美国签证，若遭拒签将导致他们自己的政府给他们戴上“红色”或“粉红色”的帽子。美国科学组织开始将会议挪到国外召开，以便于外国人参加。美国心理学学会希望于1954年在纽约召开心理学国际会议，但最终决定改在蒙特利尔召开，“因为按外国科学家的经验，想要得到这个国家的短期签证将遭遇拖延与麻烦”。不幸的是在美国以外举行会议，像爱多士这样的住在美国的外国科学家同样会遇到问题。
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1954年，爱多士希望去参加阿姆斯特丹的国际数学家大会，这是一个每四年举行一次的重要集会。爱多士不是一个美国公民，所以他要再回美国，就必须持有返签。爱多士最近几次离开美国办理返签时，多半是写几封信，做一些官样文章。但这一次，由于约瑟夫·麦卡锡及麦卡锡法案，移民归化局（INS）需要与他作一次面谈。
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移民归化局派了一个官员专程从底特律到圣母大学爱多士的办公室来会见他。爱多士对这一番好意表示感谢，但却被随后的会谈激怒了。这个官员告诉爱多士美国对爱多士的活动是密切监视着的。例如他曾与另外至少两人一起在长岛的雷达装置附近游荡而被捕过。而且他曾经与中国数学家华罗庚通过信，华罗庚已于1950年回到共产主义中国。正如亨里克森指出的：“爱多士一封典型的信件是这样开始的：亲爱的华，命p为一个奇素数……”爱多士也给他的母亲写信。为了保住她在匈牙利科学院的工作，爱多士的母亲加入了共产党。根据社会关系定罪是那时的规则，爱多士的许多关系看来对他都很不妙。
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爱多士以他通常的诚恳回答了这位官员的所有问题。如果他相信匈牙利政府会允许他自由出入境，他会回匈牙利吗？爱多士答道：“当然会的，我的母亲在那里，那里还有我的许多朋友。”审查官又问：你对卡尔·马克思怎么看？爱多士说他只读过《共产党宣言》，因此“我没有资格来做评判。但毫无疑问，他是一个伟人”。
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按照他朋友的说法，爱多士永远是一个左翼人士，但却不是共产党员。为了生存，爱多士对政治有浓厚的兴趣，当他不做证明与猜想时，他总喜欢“话说山姆与乔”（Sam-ing and Joe-ing），也就是谈论政治。但爱多士本人并不属于任何党派。亨里克森解释道：“他强烈地信仰个人自由，只要它们不构成对任何人的伤害。”任何不遵循这一原则的国家，爱多士都当作帝国主义而予以蔑视，并以数学家强烈的符号意识，用小写的名字来表示。这样美国便变成samland（山姆的领地）而苏联则成了joedom（乔的王国）。爱多士还开玩笑地虚构了一个组织，他称之为fbu，是将美国联邦调查局（FBI）与苏联克格勃（KGB）的前身（OGPU）缩写交叉而成。爱多士不能成为匈牙利公民，但他一生浪迹天涯，却从未试图做任何一个“小写国家”的公民。
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爱多士相信马克思是伟大的，以及他拒绝谴责自己的家庭与朋友，这一切足以让政府认定他是一个对美国构成威胁的旅客。他申请的返签被拒绝了。爱多士请了一名律师，写信申辩，向朋友们求助，但移民归化局无动于衷。爱多士有一张绿卡，他可以留在美国。但一旦离开，则绿卡将被没收而且不允许再回美国。自然，爱多士离开了美国。“因为我不想让山姆和乔告诉我应该到哪里去旅行，我选择自由，”他解释说，“我始终感到我的行为符合美国最好的传统：不要听任政府的摆布。”
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在他前往阿姆斯特丹的前夜，他与朋友夏皮罗（Harold Shapiro）共进了晚餐。如同爱多士所有的美国朋友一样，夏皮罗试图劝告爱多士留下，等与政府之间的麻烦过去后再说。夏皮罗向他喊道：“我要敲你的脑袋并把你捆起来阻止你离开！”爱多士又喊回去：“好啊，把我捆起来吧。”阻止他离开简直就等于把他捆起来。
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怀着能够获得荷兰与英国签证的信心，爱多士参加了阿姆斯特丹会议。令他失望的是荷兰只给了他几个月的签证，而英国则干脆拒签。爱多士只好去以色列避难，以色列的回迁法规定所有的犹太人，即使是非教徒都有权移民和取得公民资格。迫于环境，爱多士很勉强地接受了以色列的公民权，尽管他多少将以色列当成另一个“小写国家”。他最终成为位于海法的工业大学的“永久访问教授”，在他访问期间给以少量薪金。为了感谢以色列，他将1984年获得的50 000美元沃尔夫奖金的大部分捐赠给了海法工业大学，设立了一个纪念他母亲的教席。
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爱多士在美国的朋友为他写信及请愿，显然所有这些努力均无结果。鲍鲍伊（László Babai）在纪念爱多士80大寿时发表过一篇回忆录：“在以后几年里，他作为到美国开会的访问学者的签证申请均遭到拒绝。”山姆的决心只动摇过一次。1959年3月25日，锡拉丘兹大学的数学家皮尔斯（William Pierce）为爱多士发起了一个写信请愿活动，收到了两封电报：
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国务院今天下午通知我的办公室，已向驻布达佩斯的领事发了电报，指示他们给爱多士颁发访问学者签证，知道你会为此感到高兴的。
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国会议员 迈耶
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豁免爱多士的提案已于今天获得批准，这对声援者无疑是好消息。
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