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当高斯还是一个15岁的孩子时，他检查了一张兰伯特（Johann Lambert）编制的102 000以内的素数表，以便观察素数的规律。数学经常被说成是纯推理的最高表现，但高斯却强调它同时也是一门眼睛的科学。这就是说，数学来自对数字、形状与结构的性质的缜密观察。数学家花费了大量时间来观察和探寻规则性与奇异性，并以此为基础建立起他们的猜想与证明。印度数学家拉马努詹花费了大量时间来进行算术计算以使其理论更充实，更具有启发性。他的传记作者卡尼格尔写道：“他与数建立了密切的关系，出于同样的理由，画家们不停地调配着各种颜料，音乐家们反复试验着不同的音阶。”
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年轻的高斯决心要摆脱素数表面的混沌，去看看他是否能找出较大范围的规律。就像一个画家离开他的画架去评估一下自己手头的工作一样。高斯将自然数分成每1 000个数构成的区间，再利用兰伯特编的素数表来计算每个区间中的素数个数。这一技巧还真管用，人们见到在一定的区间以后，素数的分布显得有规律起来了。请看看显示不超过x的素数个数——数学家们称其为函数π（x）——的两张图。第一张图比较密集地考察了从1至100的整数，第二张则比较粗疏，表示1 000之内的数的情况。
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函数π（x）的第一张齿形图，远看时是相当光滑的。利用兰伯特的表上搜集到的数据，高斯得以猜出一个用来描述素数分布的异常简单与精确的定律。高斯的公式精确地刻画了素数稀疏出现的缓慢性与必然性。在100以内的正整数中，素数占25%。在1 000以内的正整数中，素数约占17%。在前100万个正整数中，素数仅占了8%。这一百分比在继续缓慢地与必然地下降着，在不超过10 000亿的正整数中素数的比例已降为4%。最后这个数当然不是库利克的某个狂热继承者一辈子工作的成果，而是运用一个非常有效的计算素数的程序在高速电脑上算出来的。
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图8-1 素数分布（100以内）
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图8-2 素数分布（1 000以内）
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高斯猜想所谓的对数函数可以用来描述素数出现缓慢下降的百分比。对数是指数增长的反函数：1 000是10的三次方（103），所以1 000以10为底的对数为3；由于24 =16，所以以2为底的16的对数为4。用来测度地震强度的里氏（Richter）级就是用对数度量的；里氏5级地震的强度为里氏4级地震的10倍。
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高斯猜想x以内的素数个数可以粗略地用公式
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π（x）≈x/log（x）
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来估算，其中log（x）是数学家们喜欢的自然对数的记号，它对应的底为e，略等于2.718（大多数人在中学里都学过，以10为底的对数约等于自然对数的0.434 3倍）。高斯的同时代数学家勒让德（Adrian-Marie Legendre）也独立地猜出了这一定律。经过快速比较，就可以看出这一公式很好地刻画了素数的实际行为。
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图8-3
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高斯在他一生中，只要有可能，就会去检验他所观测到的这条定律。他有时从最新的素数表中寻找数据，但更经常地则是依赖他惊人的计算能力。1849年，高斯向天文学家恩克（Johann Franz Encke）说起他年轻时关于素数分布的研究：“我经常利用我闲下来的一刻钟去研究某1 000个数的区间里的数（因为我缺乏耐心去系统地研究所有的区间）；最后我终于完全放弃了这种研究，没能完成头100万个数的检验。”这种业余时间的零散研究使高斯能够告诉恩克：“兰伯特的表格里，在101 000与102 000间的1 000个数中有很糟糕的错误；我去掉了7个数，它们不是素数，另外又加进了2个被漏掉的素数。”
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对他关于给定数以内的素数个数的猜想公式，高斯并未给出证明。在很多年后仍无人能给出证明。1852年，俄国数学家切比雪夫首先在素数定理的证明方面获得了一些进展，素数定理是人们对高斯猜想的称呼。切比雪夫定理是他关于贝特朗假设证明的延拓，而爱多士19岁时第一项创造性工作也正是贝特朗假设的证明。让我们回想一下，切比雪夫定理可以用下面的史诗式（至少在精神上，如果不是从诗体学意义上来说）对句来概括：
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切比雪夫说过的，我再说一遍，
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在n与2n之间恒有一个素数！
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换言之，任何数与它的倍数之间必定有一个素数。切比雪夫定理给出了素数分布的一个线索。事实上切比雪夫还可以得到比贝特朗假设更多的东西，但他却未能证明素数定理。切比雪夫的一个同时代人也未能证明素数定理，因而宣称：“我们或许要等待这样一个人降临于世，他的洞察力与智慧较切比雪夫更胜一筹，正像切比雪夫在这些方面远超凡人一样。”
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高斯最有名的学生黎曼在素数定理的证明方面迈出了重要的一步。在授予黎曼博士学位时，高斯称赞了他“无比丰富的创造性”。在他短暂的一生中——他仅活到40岁——黎曼证明了他是名副其实的高斯继承人。他发展了今天所称的黎曼积分，探索了弯曲空间的几何学，后者成为爱因斯坦引力理论的一个要素。在1859年的一篇文章里，黎曼证明了本质上属于算术问题的素数计数问题可以用检验所谓黎曼ζ函数（Zeta function）的性质来处理。这是直觉的光辉飞跃，但为了处理这件事，黎曼从其他领域中引进了一些概念，而这些领域在过去认为是与数论无关的。黎曼的ζ函数不是一个初等概念。爱多士相信在素数定理的证明中用到它并不是必要的，且会使关于素数分布的基本推理变得模糊不清。为了理解爱多士这一信念的理由，需要对黎曼独特的创造进行仔细的考察。
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黎曼ζ函数是被数学家称之为复变函数的最著名例子之一。函数就像一架数学机器，将一个数当成一个输入物输入并咀嚼后，就会输出另一个数。像黎曼ζ函数这样的函数，其输入与输出的数都是所谓的复数，复数含有两部分，其中之一为熟知的实数，另一部分则是所谓的虚数。
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实际上，所有数都是复数。我们会送给真正的爱人5个金戒指，但却不会送“5”这个数。爱多士完全有理由为自己能在童年时就发现负数而感到骄傲；毕竟，说一次孵出了负3只鹅是什么意思呢？希腊人是不相信负数的，对于他们来说，方程
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x+3=0