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1705979868 圆环壳的基本方程在其几何顶点A、B有奇异性,即对于φ>0,高斯曲率为正;φ<0,高斯曲率为负,方程变性,这种奇异点称为转向点(turning point),20世纪40年代,它的应力分析是一个难题。早在1916年,Wissler〔5〕在Reissner-Meissner〔6〕,〔7〕旋转薄壳方程的基础上给出了圆环壳受轴对称载荷的应力状态解。他是以λ=a/R(R是作为子午线的小圆中心至旋转对称轴的距离,简称为大圆半径;a是小圆的半径)的幂级数形式给出的,此级数对于小的λ(即细环壳)收敛很快,但对于λ的值较大时收敛很慢,不便应用,而λ值较大却是工程上用得更多的。40年代,无转向点的薄壳,如柱壳、锥壳、球壳等受到很多学者的关注,直到张维于1944年发表其博士学位论文[1.5]前对含转向点的圆环壳的理论研究很少。
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1705979873 圆环壳的内力素
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1705979875 张维在其博士学位论文“圆环壳轴对称弯曲的一致有效解”[1.5]中基于Reissner-MeissnerTölke〔8〕方程
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1705979880 式中待求函数X(φ)是由壳中横剪力Q与壳体子午线转角β所组成的复变量,φ是沿子午线(小圆)的坐标,其正方向如图示,且有ds=adφ,方程右端τ(φ)是与外载荷有关的项,Ψ,Φ与坐标φ有关,定义为
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1705979888 其中参数μ为
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1705979896 张维的博士论文封面(1944,10)
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1705979898 式中ν是泊松比。从方程(1)和(4)式可见,第二项含有大参数a/h,相当于首项含有小参数,这是薄壳理论的特点,而且在φ=0,π处是转向点,因此方程(1)是一个含转向点和小参数的薄壳控制方程,其求解是很困难的。
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1705979900 张维首次通过下列变换
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1705979905 将方程(1)化为Bessel方程
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1705979910 通过渐近分析,可得其中p =1/3,从而得到如下解
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1705979916 式中自变量r通过变换式(5)中的φ计算,并与式中的z发生联系,J1/3为1/3阶复变量Bessel函数,为第一类1/3阶复变量Hankel函数。用新的复变量贝氏函数J1/3(±(±ir)1/2)和H1/3(±(±ir)1/2)求得全局一致有效(包括φ=0)的渐近式通解。这个解对圆环壳的正、负高斯曲率都一致有效,这是世界上首次获得圆环壳的一致有效渐近解。由于“二战”的影响,他的这个解只在德国发表了,而鲜为人知。直到1950年Clark〔9〕根据Langer的微分方程理论得到类似的解,Tumarkin〔10〕在1959年和Novozhilov〔11〕在1962年才各自独立给出类似的渐近解。这一成果比Clark (1950)早6年,比苏联Tumarkin (1959)早15年,且更便于应用。
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