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说到这时,就轮到鸽巢原理出场了。你的家谱图里最近的40代都发生在过去的4 000年里,我们认为最多有10 000亿人在此期间存在过。所以,比起曾经存在过的人(最多10 000亿),有更多的祖先角色(超过10 000亿)需要填补。因为我们在前面假设过,在这过去的4 000年里,至多只有一万亿人生存过,这带来关键的一点就是,在你的祖先中至少有两个角色,必须由相同的人来担任。我们把这个人叫作A。
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我们已经识别了A,现在大体上就已经完工了。从将A填入到你祖先里的两个角色开始,我们顺着家谱图而下进行追溯。这两个祖先角色由A出发,在家谱图较低的地方与另一人产生一个后代,这个位置由B来填补。由于这两者在B这个地方首次会合,一个便是由B的母亲到此,另一个是从B的父亲到此。换而言之,A是B母亲的祖先,也是B父亲的祖先,就如同我们之前推出的结论一样。
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一旦你退回一步,理解一下这些逻辑论证的作用,你会领会到如下几点:
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第一,在某种意义上,这更多是关于简单数学结构而不是关于人。我们正在画一幅关于你家的超大家谱图,并试图将过去4 000年人类的历史填满。但由于数量过于庞大,我们无法完成这一填满的工作,所以部分特定人必须占一个以上的位置。
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第二,这就是被数学家称为非建设性方式的论证方法。它并不是真的有办法让你在家谱图中找到A和B,但它会让你笃信,一定存在A和B,事实上这种的可能性也是微乎其微的。
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最后,我想我所写的就算是一个典型的小插曲吧,它存在于鸽巢原理之中,存在于散布在数学王国里无声却有力的陈述之中。它是朴素的、微不足道的事实,看似无足轻重,但时常在恰当时挺身而出,使原本凌乱的状况变得清楚明了。
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世界因何美妙而优雅地运行 83THE PIGEONHOLE PRINCIPLE REVISITED重返鸽巢原理
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查尔斯·塞费(Charles Seife)
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纽约大学新闻系教授,曾任《科学》撰稿人,著有《数字是靠不住的》(Proofiness, The Dark Arts of Mathematical Deception)。
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有 时候,即使是计数这样简单的事情都能让我们体会到,事物所具有的深奥。回到20世纪90年代末期的一天,当时我还是《新科学家》(New Magazine)杂志社的记者,我收到一封广告电子邮件,邮件中吹嘘有一款超级无敌的软件。说这款软件革命性的、高效能的数据压缩软件,足以将每一个数字档案压缩到95%以上,而且不会丢失任何一个比特的数据。如果真的存在这样的软件,难道我的杂志不会抓住机会,向全世界宣称,这个计算机软件将会使硬盘比过去多存储20倍以上的信息吗?
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不,我的杂志不会这么做。
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因为这样的压缩演算法压根不存在。这是与永动机画上等号的演算法。这样的软件压根就是骗人的把戏。原因就在于鸽巢原理。
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鸽巢原理是个简单的计算论证。如果你有n只鸽子,要将鸽子放进少于n的盒子中,至少有一个盒子必须有一只以上的鸽子。显而易见地,这个论证是个强大的工具。举个例子,假设压缩软件真如广告所言,能将每个档案缩小20倍还不会失真的话,那么每个含有2 000比特的档案,会被压缩到只有100比特,然后当演算法反推时,就扩大回其原来的样子,并完好无损。
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在对文件进行压缩时,这其中就蕴含了鸽巢原理。假设有许多含有2 000比特的鸽子(确切地说是22000),其数量远远超过了含有100比特(2100)的盒子的数量。如果演算法将前者塞进后者之中,起码有1个盒子里必须有多只鸽子才能完成。用那个含有100比特数据的盒子进行反向演算,把该档案扩大到原来的2 000比特。这是根本做不到的。因为有多重的2000比特的数据被挤进同一个含有100比特的盒子中,演算法无法得知哪一个才是真正的原型,因为它无法进行反向的压缩过程。
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鸽巢原理针对压缩演算法的作用有着绝对的限制作用。它确实可以压缩一些档案,通常效果惊人,但它无法进行全部的压缩,至少,如果你坚持十全十美的话,它无法做到。
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与鸽巢原理相类似的计数论证,为我们开启了探索整个新领域的大门。德国数学家格奥尔格·康托(Gerog Cantor)采用一种逆向鸽巢原理的方法证明了,即使有无限多个整数,将实数放进由整数标记的盒子也是行不通的。即无穷有不同的层级这几乎是无法想象的推论。整数的无限被实数的无限矮化,而实数又被另一种无限矮化,而另一种无限又被无限多的无限矮化,在我们学会对它们进行计数之前,一切都是未知的。
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当鸽巢原理迈入如此深邃的空间时,我们会得到一个更为奇异的结果。物理学中有个原理叫作全息界线,即在任何有限体积的空间中,物质和能量的可能组合数量是有限的。如果真像宇宙学家认为的那样,宇宙是无限的,那么就会有无限多个可见的、如宇宙大小的空间,这些空间都是宇宙大小的巨型泡泡,其中包含物质和能量。如果空间或多或少是均匀的,则我们所在的这个宇宙与大大小小的泡泡相比,并无任何特别之处。把这些假设归纳在一起,将得到一个令人瞠目结舌的结论。
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在无限多个宇宙大小的泡泡中,每个泡泡仅配置有一定数量的物质和能量,这意味着我们的宇宙和我们的地球并非仅有一个复制品;鸽巢原理的超限理论表明,每一个可能存在的宇宙,都有着无限数目的复制品。在无限可替换的地球上,不仅有无限个你的复制品,而且,在同一地球复制品上,还有千变万化的无数版本的你:一个版本中的你,有着一条卷尾;另一个版本的你则有着很多脑袋;还有个版本中的你,是靠着装扮成食肉的兔形动物,来换取廉价珠宝而成为人生赢家的你。甚至像数着1,2,3这样简单的事情,也可以引领你步入千奇百怪而又出乎意料的领域。
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世界因何美妙而优雅地运行 84THE LIMITS OF INTUITION直觉的局限性
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布莱恩·伊诺(Brian Eno)
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艺术家、作曲家、音乐家,U2乐队、酷玩乐团、传声头像乐队和保罗·西蒙的音乐制作人。
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