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因为星星在那里:科学殿堂的砖与瓦 三、寻找“上帝之数”
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1992年,德国数学家科先巴(Herbert Kociemba)提出了一种寻找魔方复原方法的新思路[7]。他发现,在魔方的基本转动方式中,有一部分可以自成系列,通过这部分转动可以形成将近200亿种颜色组合[8]。利用这200亿种颜色组合,科先巴将魔方的复原问题分解成了两个步骤:第一步是将任意一种颜色组合转变为那200亿种颜色组合之一,第二步则是将那200亿种颜色组合复原。如果我们把魔方的复原比作是让一条汪洋大海中的小船驶往一个固定目的地,那么科先巴提出的那200亿种颜色组合就好比是一片特殊水域——一片比那个固定目的地大了200亿倍的特殊水域。他提出的两个步骤就好比是让小船首先驶往那片特殊水域,然后从那里驶往那个固定目的地。在汪洋大海中寻找一片巨大的特殊水域,显然要比直接寻找那个小小的目的地容易得多,这就是科先巴新思路的巧妙之处。
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但即便如此,要用科先巴的新思路对“上帝之数”进行估算仍不是一件容易的事。尤其是,要想进行快速计算,最好是将复原那200亿种颜色组合的最少转动次数(这相当于是那片特殊水域的“地图”)存储在计算机的内存中,这大约需要300兆(300MB)的内存。300兆在今天看来是一个不太大的数目,但在科先巴提出新思路的年代,普通计算机的内存连它的十分之一都远远不到。因此直到3年之后,才有人利用科先巴的新思路给出了第一个估算结果。此人名叫里德(Michael Reid),是美国中佛罗里达大学(Unversity of Central Florida)的数学家。1995年,里德通过计算发现,最多经过12次转动,就可以将魔方的任意一种颜色组合转变为科先巴新思路中那200亿种颜色组合之一;而最多经过18次转动,就可以将那200亿种颜色组合中的任意一种复原。这表明,最多经过12+18=30次转动,就可以将魔方的任意一种颜色组合复原。
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在得到上述结果后,里德很快对自己的估算作了改进,将结果从30减少为了29,这表明“上帝之数”不会超过29。此后随着计算机技术的发展,数学家们对里德的结果又作出了进一步改进,但进展并不迅速。直到11年后的2006年,奥地利开普勒大学(Johannes Kepler University)符号计算研究所(Research Institute for Symbolic Computation)的博士生拉杜(Silviu Radu)才将结果推进到了27。第二年(即2007年),美国东北大学(Northeastern University)的计算机科学家孔克拉(Dan Kunkle)和库伯曼(Gene Cooperman)又将结果推进到了26,他们的工作采用了并行计算系统,所用的最大存储空间高达700万兆(7×106MB),所耗的计算时间则长达8 000小时(相当于将近一年的24小时不停歇计算)。
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这些计算表明,“上帝之数”不会超过26。但是,所有这些计算的最大优点——即利用科先巴新思路中那片特殊水域——同时也是它们最致命的弱点,因为它们给出的复原方法都必须经过那片特殊水域。可事实上,很多颜色组合的最佳复原方法根本就不经过那片特殊水域,比如紧邻目的地,却恰好不在特殊水域中的任何小船,显然都没必要像中国大陆和台湾之间的直航包机一样,故意从那片特殊水域绕一下才前往目的地。因此,用科先巴新思路得到的复原方法未必是最佳的,由此对“上帝之数”所做的估计也极有可能是高估。
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可是,如果不引进科先巴新思路中的特殊水域,计算量又实在太大,怎么办呢?数学家们决定采取折中手段,即扩大那片特殊水域的“面积”。因为特殊水域越大,最佳复原路径恰好经过它的可能性也就越大(当然,计算量也会有相应的增加)。2008年,研究“上帝之数”长达15年之久的计算机高手罗基奇(Tomas Rokicki)运用了相当于将科先巴新思路中的特殊水域扩大几千倍的巧妙方法,在短短几个月的时间内对“上帝之数”连续发动了四次猛烈攻击,将它的估计值从25一直压缩到了22——这就是本文开头提到的人们在研究魔方背后的数学问题上取得的重要进展。罗基奇的计算得到了电影特效制作商索尼图形图像运作公司(Sony Pictures Imageworks)的支持,这家曾为《蜘蛛人》(Spider-Man)等著名影片制作特效的公司向罗基奇提供了相当于50年不停歇计算所需的计算机资源。
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由此我们进一步知道,“上帝之数”一定不会超过22。但是,罗基奇虽然将科先巴新思路中的特殊水域扩展得很大,终究仍有一些颜色组合的最佳复原方法是无需经过那片特殊水域的,因此,“上帝之数”很可能比22更小。那么,它究竟是多少呢?种种迹象表明,它极有可能是20。这是因为,人们在过去这么多年的所有努力——其中包括罗基奇直接计算过的大约4 000万亿种颜色组合——中,都从未遇到过任何必须用20次以上转动才能复原的颜色组合,这表明“上帝之数”很可能不大于20;另一方面,人们已经发现了几万种颜色组合,它们必须要用20次转动才能复原,这表明“上帝之数”不可能小于20。将这两方面综合起来,数学家们普遍相信,“上帝之数”的真正数值就是20。
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2010年8月,这个游戏与数学交织而成的神秘的“上帝之数”终于水落石出:研究“上帝之数”的“元老”科先巴、“新秀”罗基奇,以及另两位合作者——戴维森(Morley Davidson)和德斯里奇(John Dethridge)——宣布了对“上帝之数”是20的证明[9]。他们的证明得到了谷歌公司(Google)提供的相当于英特尔(Intel)四核心处理器35年不停歇计算所需的计算机资源。
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因此,现在我们可以用数学特有的确定性来宣布“上帝之数”的数值了,那就是:20。
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2008年11月2日写于纽约
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2014年9月18日最新修订
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[1]本文曾发表于《科学画报》2008年第12期(上海科学技术出版社出版)。
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[2]“魔方”是鲁比克自己为这一设计所取的名字,“鲁比克方块”则是美国玩具公司Ideal Toys所取的名字。在西方国家,鲁比克方块这一名称更为流行,在中国,则是魔方这一名称更为流行。另外要提醒读者的是,魔方有很多种类,本文介绍的3×3×3魔方只是其中最常见的一种。
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[3]具体的计算是这样的:在组成魔方的小立方体中,有8个是顶点,它们之间有8!种置换;这些顶点每个有3种颜色,从而在朝向上有37种组合(由于结构所限,魔方的顶点只有7个能有独立朝向)。类似的,魔方有12个小立方体是边,它们之间有12! /2种置换(之所以除以2,是因为魔方的顶点一旦确定,边的置换就只有一半是可能的);这些边每个有两种颜色,在朝向上有211种组合(由于结构所限,魔方的边只有11个能有独立朝向)。因此,魔方的颜色组合总数为8!×37×12!×211/2=43 252 003 274 489 856 000,即大约4 325亿亿。另外值得一提的是,倘若我们允许将魔方拆掉重组,则前面提到的结构限定将不复存在,它的颜色组合数将多达51 900亿亿种。不过颜色组合数的增加并不意味着复原的难度变大,魔方结构对颜色组合数的限制实际上正是使魔方的复原变得困难的主要原因。举个例子来说,26个英文字母在相邻字母的交换之下共有约400亿亿亿种组合,远远多于魔方颜色的组合数,但通过相邻字母的交换将随意排列的26个英文字母复原成从A到Z的初始排列却非常简单。
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[4]确切地说是取5次尝试中居中的3次成绩的平均值。
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[5]为了使这一问题有意义,当然首先要定义什么是转动。在对魔方的数学研究中,转动是指将魔方的任意一个(包含9个小方块的)面沿顺时针或逆时针方向转动90°或180°,对每个面来说,这样的转动共有3种。(请读者想一想,为什么不是4种?)由于魔方有6个面,因此它的基本转动方式共有18种。
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[6]确切地说,是减少至1/96,或45亿亿种组合。
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[7]科先巴的新思路是本文介绍的一系列计算研究的起点,但并不是最早的魔方算法。早在1981年,目前在美国田纳西大学(University of Tennessee),当时在伦敦南岸大学(London South Bank University)的数学家西斯尔斯韦特(Morwen Thistlethwaite)就提出了一种算法,被称为西斯尔斯韦特算法(Thistlethwaite algorithm)。西斯尔斯韦特算法可保证通过不超过52次转动复员魔方的任意一种颜色组合(相当于证明了上帝之数不超过52),在科先巴新思路问世之前的1991年,这一数字曾被压缩到42。
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[8]确切地说,是18种基本转动方式中有10种自成系列,由此形成的颜色组合共有8!×8!×4!/2(约195亿)种。
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[9]他们所宣布的证明完成时间为2010年7月。
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因为星星在那里:科学殿堂的砖与瓦
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绘画:张京
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