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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 ABC猜想浅说[1]
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由前三个英文字母拼合而成的“ABC”一词据说自13世纪起便见诸文献了，含义为“入门”。这些年随着英文在中国的流行，该词在中文世界里也夺得了一席之地，出现在了很多图书的书名中，大有跟中文词“入门”一较高下之势。不过，倘若你在数学文献中看到一个以“ABC”命名的猜想——“ABC猜想”（ABC conjecture），千万不要以为那是一个“入门”级别的猜想。事实上，这一猜想在公众知名度方面或许尚处于“入门”阶段，以难度和地位而论却绝不是“入门”级别的。
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在本文中，我们将对这一并非“入门”级别的猜想做一个“入门”级别的介绍。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 一、什么是ABC猜想？
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在介绍之前，让我们先回忆一下中小学数学中的两个简单概念。其中第一个概念是素数（prime number）。我们知道，很多正整数可以分解为其他——即不同于它自己的——正整数的乘积，比如9=3×3，231=3×7×11，等等。但也有一些正整数不能这么分解，比如13，29等。这后一类正整数——1除外——就是所谓的素数。素数是一个被称为“数论”（number theory）的数学分支中的核心概念，其地位常被比喻为物理学中的原子（atom），因为与物理学中物质可以分解为原子相类似，数学中所有大于1的正整数都可以分解为素数的乘积（素数本身被视为是自己的分解）[2]。第二个概念则是互素（co-prime）。两个正整数如果其素数分解中不存在共同的素数，就称为是互素的，比如21=3×7和55=5×11就是互素的[3]。
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有了这两个简单概念，我们就可以介绍ABC猜想了。ABC猜想针对的是满足两个简单条件的正整数组（A,B,C）[4]。其中第一个条件是A和B互素，第二个条件是A + B = C。显然，满足这种条件的正整数组——比如（3，8，11）、（16，17，33）……——有无穷多个（请读者自行证明）。为了引出ABC猜想，让我们以（3，8，11）为例，做一个“三步走”的简单计算：
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（1）将A、B、C乘起来（结果是3×8×11=264）；
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（2）对乘积进行素数分解（结果是264=23×3×11）；
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（3）将素数分解中所有不同的素数乘起来（结果是2×3×11=66）。
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现在，让我们将A、B、C三个数字中较大的那个（即C）与步骤3的结果比较一下。我们发现后者大于前者（因为后者为66，前者为11）。读者可以对上面所举的另一个例子——即（16，17，33）——也试一下，你会发现同样的结果。如果随便找一些其他例子，你也很可能发现同样的结果。
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但你若因此以为这是规律，那就完全错了，因为它不仅不是规律，而且有无穷多的反例。比如（3，125，128）就是一个反例（请读者自行验证）。但是，数学家们猜测，如果把步骤3的结果放大成它的一个大于1的幂，那个幂哪怕只比1大上一丁点儿（比如1.000 000 000 01），情况就有可能大不一样。这时它虽仍未必保证能够大于三个数字中较大的那个（即C），但反例的数目将由无穷变为有限。这个猜测就是所谓的ABC猜想[5]，它是由英国数学家麦瑟尔（David Masser）和法国数学家厄斯特勒（Joseph Oesterlé）于20世纪80年代中期彼此独立地提出的。“ABC”这个毫无创意的名字——大家可能猜到了——则是来自把猜想中涉及到的三个数字称为A、B、C的做法，而非“入门”之意。
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与数学猜想大家庭中的著名成员，如黎曼猜想（Riemann hypothesis）、哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）、孪生素数猜想（twin prime conjecture），以及（已被证明了的）曾经的费马猜想（Fermat conjecture）、四色猜想（four-color conjecture）等相比，ABC猜想的“资历”是很浅的（其他那些猜想都是百岁以上的“老前辈”），公众知名度也颇有不及，但以重要性而论，则除黎曼猜想外，上述其他几个猜想都得退居其后。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 二、ABC猜想为什么重要？
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ABC猜想有一个在普通人看来并不奥妙的特点，就是将整数的加法性质（比如A+B=C）和乘法性质（比如素数概念——因为它是由乘法性质所定义的）交互在了一起。不过，数学家们早就知道，由这两种本身很简单的性质交互所能产生的复杂性是近乎无穷的。数论中许多表述极为浅显，却极难证明的猜想（或曾经的猜想），比如前面提到的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、费马猜想等都具有这种加法性质和乘法性质相交互的特性。数论中一个很重要的分支——旨在研究整系数代数方程的整数解的所谓丢番图分析（Diophantine analysis）——更是整个分支都具有这一特性。丢番图分析的困难性是颇为出名的，著名德国数学家希尔伯特（David Hilbert）曾乐观地希望能找到其“一揽子”的解决方案，可惜这个被称为希尔伯特第十问题的希望后来落了空，被证明是不可能实现的（对这一点感兴趣的读者可参阅拙作《小楼与大师：科学殿堂的人和事》中的《希尔伯特第十问题漫谈》一文）。与希尔伯特的乐观相反，美国哥伦比亚大学（Columbia University）的数学家戈德菲尔德（Dorian Goldfeld）曾将丢番图分析比喻为飞蝇钓（fly-fishing）——那是发源于英国贵族的一种特殊的钓鱼手法，用甩出去的诱饵模拟飞蝇等昆虫的飞行姿态，以吸引凶猛的掠食性鱼类。飞蝇钓的特点是技巧高、难度大、成功率低，而且只能一条一条慢慢地钓——象征着丢番图分析只能一个问题一个问题慢慢地啃，而无法像希尔伯特所希望的那样“一揽子”地解决掉。
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但是，与交互了加法性质和乘法性质的其他猜想或问题不同的是，ABC猜想这个从表述上看颇有些拖泥带水（因为允许反例）的猜想似乎处于某种中枢地位上，它的解决将直接导致一大类其他猜想或问题的解决。拿丢番图分析来说，戈德菲尔德就表示，假如ABC猜想能被证明，丢番图分析将由飞蝇钓变为最强力——乃至野蛮——的炸药捕鱼，一炸就是一大片，因为ABC猜想能“将无穷多个丢番图方程转变为单一数学命题”。这其中最引人注目的“战利品”将是曾作为猜想存在了300多年，一度被《吉尼斯世界纪录》（Guinness Book of World Records）称为“最困难数学问题”的费马猜想。这个直到1995年才被英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles）以超过100页的长篇论文所解决的猜想在ABC猜想成立的前提下，将只需不到一页的数学推理就能确立[6]。其他很多长期悬而未决的数学猜想或问题也将被“一锅端”。这种与其他数学命题之间的紧密联系是衡量一个数学命题重要性的首要“考评”指标，ABC猜想在这方面无疑能得高分——或者用戈德菲尔德的话说，是“丢番图分析中最重要的未解决问题”，“是一种美丽”。
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ABC猜想的重要性吸引了很多数学家的兴趣，但它的艰深迟滞了取得进展的步伐。截至2001年，数学家们在这一猜想上取得的最好结果乃是将上述步骤3的结果放大成它的某种指数函数[7]。由于指数函数的大范围增长速度远比幂函数快得多，由它来保证其大于A、B、C三个数字中较大的那个（即C）当然要容易得多（相应地，命题本身则要弱得多）。
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除上述理论结果外，自2006年起，由荷兰莱顿大学（Leiden University）的数学系牵头，一些数学和计算机爱好者建立了一个名为ABC@Home的分布式计算（distributed computing）系统，用以寻找ABC猜想所允许的反例。截至2014年4月，该系统已经找到了超过2 380万个反例，而且还在继续增加着。不过，与这一系统的著名“同行”——比如寻找外星智慧生物的SETI以及计算黎曼ζ函数非平凡零点的已经关闭了的ZetaGrid——不同的是，ABC@Home是既不可能证明，也不可能否证ABC猜想的（因为ABC猜想本就允许数量有限的反例）。从这个意义上讲，ABC@Home的建立更多地只是出于对具体反例——尤其是某些极端情形下的反例，比如数值最大的反例——的好奇。当然，具体反例积累多了，是否会衍生出有关反例分布的猜想，也是不无趣味的悬念。另外，ABC猜想还有一些拓展版本，比如对某些情形下的反例数目给出具体数值的版本，ABC@Home对那种版本原则上是有否证能力的。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 三、ABC猜想被证明了吗？
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