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图7 最简单的电子自能图
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按照现代量子场论，相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献的单粒子不可约图（one-particle irreducible diagrams）来描述，其中主要部分来自由量子电动力学（Quantum Electrodynamics, QED）所描述的电磁自能，而电磁自能中最简单的贡献则来自于如图7所示的单圈图。幸运的是，由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所及的能区都很小，因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占了主要部分[11]。
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对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍，其结果为δm～αmln（Λ/m），其中m为出现在量子电动力学拉氏量中的电子质量参数，被称为裸质量（bare mass），Λ为虚光子动量的截断（cut-off）能标。如果我们把量子电动力学的适用范围无限外推，允许虚光子具有任意大的动量，则δm将趋于无穷，这便是自20世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难的一个例子。
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量子场论中的发散困难，究其根本是由所谓的点粒子模型引起的。这种发散具有相当的普遍性，不单单出现在量子场论中。将经典电子论运用于点电子模型同样会出现发散，这一点从经典电子论的电子质量公式m～e2/Rc2中可以清楚地看到：当电子半径R趋于零时质量m趋于无穷。经典电子论通过引进电子的有限半径（从而放弃点粒子模型）免除了这一发散，但伴随而来的庞加莱张力、电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子应有的简单性[12]。这种简单性虽没有先验的理由，但毫无疑问是人们引进基本粒子这一概念时怀有的一种美学上的期待，正如狄拉克所说：“电子太简单，支配其结构的定律根本不应该成为问题。”经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其他方面都成功了，其意义也将由于引进电子半径这一额外参数及庞加莱张力、电荷分布等额外假设而大为失色。从这一角度上讲，量子电动力学在概念约化上比经典电子论显得更为彻底，因为在量子电动力学的拉氏量中不含有任何与基本粒子结构有关的几何参数。基本粒子在量子场论中是以点粒子的形式出现的，虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构，但所有那些结构都是作为理论的结果而不是如经典电子论中那样作为额外假设而出现的，这是除与狭义相对论及量子理论同时兼容，与实验高度相符之外，建立在点粒子模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方。
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至于由此产生的发散困难，在20世纪70年代之后随着重整化（renomalization）方法的成熟而得到了较为系统的解决。不过尽管人们对重整化方法在数学计算及物理意义的理解上都已相当成熟，发散性的出现在很多物理学家眼里仍基本消除了传统量子场论成为所谓“终极理论”（theory of everything）的可能性，这是后话。
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 [:1707611293]
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因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦 六、质量电磁起源的破灭
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既然量子电动力学与经典电子论一样具有电子自能，那它能否代替经典电子论实现后者没能实现的把质量完全约化为电磁概念的梦想呢？很可惜，答案是否定的。
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这可以从两方面看出来。
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首先，从δm～αmln（Λ/m）中可以看到，由电磁自能产生的质量修正δm与裸质量m的比值为αln（Λ/m）。由于α≈1/137是一个比较小的数目，ln（Λ/m）又是一个增长极其缓慢的函数，因此对于任何普朗克能标以下的截断，ln（Λ/m）都是一个比较小的数目（特别是，这一数目小于1）。这意味着由电磁自能产生的质量修正是比较小的——比裸质量更小[13]。
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另一方面，即便我们一厢情愿地把量子电动力学的适用范围延伸到比普朗克能标还高得多的能区，从而使δm变得很大，把质量完全约化为电磁概念的梦想依然无法实现。因为电子的电磁自能还有一个很要命的特点，那就是δm∞m。这表明，无论把截断能标取得多大，如果裸质量为零，电子的电磁自能也将为零。因此，为了解释电子质量，裸质量不能为零，而裸质量作为量子电动力学拉氏量中的参数，在量子电动力学的范围之内是无法约化的，从而终结了在量子电动力学中把质量完全约化为电磁概念的梦想。
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有的读者可能会问：电磁自能既然是由电磁相互作用引起的，理应只与电荷有关，为什么却会正比于裸质量呢？这其中的奥妙在于对称性。量子电动力学的拉氏量：
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在m=0时具有一种额外的对称性，即在下不变（请有兴趣的读者自行证明）。这种对称性被称为手征对称性（chiral symmetry），它表明在m=0的情形下电子的左右手征态：
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不会互相耦合。另一方面，（读者可以很容易地证明）电子的质量项
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却是一个电子左右手征态相互耦合，从而破坏手征对称性的项。这样的项在电子的裸质量不存在——从而量子电动力学的拉氏量具有手征对称性——的情况下将被手征对称性所禁止，不可能出现在任何微扰修正中。因此δm～αmln（Λ/m）这一结果的出现是很自然的[14]。
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至此我们看到，试图把质量完全归因于电磁相互作用的想法在量子理论中彻底地破灭了。电磁质量即便在像电子这样质量最小——从某种意义上讲也最为纯粹——的带电粒子的质量中也只占一个不大的比例，在其他粒子——尤其是那些不带电荷的基本粒子——中就更甭提了。
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很显然，质量的主要来源必须到别处去寻找。