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从上面所引的核子质量公式中我们可以看到，上述核子质量有一个不同于赝戈德斯通粒子质量的至关重要的特点，那就是它在手征极限——即夸克质量为零——时不为零，而等于m0≈880MeV。这个数值约为核子质量的93%，它完全是由量子色动力学所描述的相互作用所确定的[38]。这表明，即便不引进任何外来的夸克质量，量子色动力学仍能给出核子质量的绝大部分。由于宇宙中可见物质的质量主要来自核子质量，因此宇宙中可见物质质量的绝大部分都可以在不引进夸克质量的情况下，由纯粹的量子色动力学加以说明。从这个意义上讲，量子色动力学为质量起源问题提供了一个独特而精彩的回答。这一回答不像电弱统一理论那样带有比所要解释的质量参数还要多的可调参数，因而非常符合回答本原问题的需要。不过，由于它只能给出核子质量的93%，因此我们粗略地给它打93分。在标准模型的范围内，这是迄今所知的最佳回答。
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93分虽然是一个高分，但终究不是满分。为了寻找更接近满分的答案，我们不得不重新回到标准模型中不能约化的那些质量——包括使量子色动力学丢掉7分的夸克质量——上来。那些质量究竟来自何方？究竟还能不能约化？这些问题的答案——如果有的话——就只能到标准模型之外去寻找了。
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2007年1月25日写于纽约
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2014年11月19日最新修订
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[1]本系列曾在《现代物理知识》杂志（中国科学院高能物理研究所）上连载，其中第3～6节发表于2007年第1期（发表时的标题为：《质量起源——电磁质量说的兴衰》）；第7～8节发表于2007年第2期（发表时的标题为：《质量起源——从对称性破缺到希格斯机制》）；第9～13节发表于2007年第3期（发表时的标题为：《质量起源——量子色动力学与质量起源》）。
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[2]当然，这一说法并不严格，在星系所占据的空间范围内也有数量可观的暗物质及暗能量，我们这里指的只是光学观测意义上的星系。
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[3]这里有一个著名的例外是马赫（Ernst Mach, 1838—1916年），他对牛顿绝对时空观的批判性思考启示了这样一种观念，那就是一个物体的质量（惯性）起源于宇宙中其他星体的作用。马赫的想法曾对爱因斯坦产生过影响，并且直到现在还有一些物理学家在研究，但它与广义相对论的定量结果及对惯性各向异性的测量结果并不相符。因此我们不把它列为有关质量起源的具体理论。
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[4]洛伦兹所用的质量定义是m（dv/dt）=dp/dt，“横质量”与“纵质量”分别对应于v与dv/dt垂直及平行这两种特殊情况。
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[5]当时还没有爱因斯坦的质能关系式，亚伯拉罕的这一关系式是一个简单的力学关系式，读者不妨自行推导一下。
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[6]如上所述，亚伯拉罕也是经典电子论的代表人物，有读者可能会问，他自己的电子模型又如何呢？与洛伦兹不同，亚伯拉罕所用的是一个绝对刚性的电子模型，因此在他的模型中不需要引进对能量有贡献的张力。他的模型一度曾被认为比洛伦兹的模型更符合实验，但那实验——即德国物理学家考夫曼（Walter Kaufmann, 1871—1947年）的实验——后来被证实是有缺陷的。
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[7]有兴趣的读者可以进一步证明这样一些结果：（1）对于球对称均匀面电荷分布，；（2）对于任意球对称电荷分布，（1/3）；（3）由1和2证明洛伦兹有关mT与mL的公式；（4）证实亚伯拉罕对洛伦兹的批评，即用mL=（1/v）（dE/dv）定义的质量与洛伦兹的结果不同。
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[8]当然，这样的说法对历史作了一定的简化。确切地讲，经典电子论的出现实际上略早于电子的发现，而类似于经典电子论的电子结构研究在量子理论之后仍间或地有一些物理学家在做，不过那些研究大都已不能完全归于经典电子论的范畴。另一方面，经典电子论所包含的电子结构以外的东西，比如从物质的微观——但非量子的——电磁结构出发研究宏观电磁及光学性质的方法，直到今天仍可以在一些经典电磁学的教材中找到踪迹。但总体来说，经典电子论随着量子理论的兴盛而没落的大趋势仍是显而易见的。
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[9]经典电子论对电子的描述不仅与量子力学不符，在电子自旋发现之后，试图在经典电子模型中加入电子自旋的努力与狭义相对论也产生了矛盾，可谓腹背受敌。
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[10]韦斯科夫的计算包含了一个符号错误，但很快被弗里（Wendell H. Furry, 1907—1984年）和卡尔森（Frank Carlson）所纠正。
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[11]量子场论的微扰展开式有许多微妙的地方。以量子电动力学为例，尽管其耦合常数α很小，从而n圈图的贡献受到αn的抑制，但另一方面，随着圈数的增加，不等价n圈图的数目也在增加，其趋势约为n！（这当然只是非常粗略的说法，圈图的确切数目与相互作用的具体形式有关，且其中还有符号问题，综合的结果非常复杂）。当n接近或大于1/α时，圈图数量的增加将抵消由弱耦合所带来的减弱因子αn的影响，因此量子电动力学的微扰展开式并不收敛，这一点最早是由英裔美国物理学家戴森（Freeman Dyson）于1951年给出的。有鉴于此，所谓单圈图的贡献占了主要部分其实是从渐近级数的意义上说的。
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[12]顺便提一下，庞加莱张力带来的困难除了我们在第四节中提到的非电磁起源外，还有一个更严重的，那就是由庞加莱张力所维持的电子结构虽然具有静态的平衡，却是不稳定的，在细微的扰动下就会土崩瓦解（类似于爱因斯坦的静态宇宙模型）。这是1922年由意大利物理学家费米（Enrico Fermi）所证明的。
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[13]当我们谈到截断的时候，有一点需要提醒读者注意，那就是对于像电子自能这样对截断能标相对敏感的物理量，只计算截断能标以下的贡献显然是不完整的，那么来自截断能标以上的贡献有多少呢？答案是与适用于截断能标以上的理论的具体形式有关。如果那个理论本身也有截断，我们还必须关心来自那个截断能标以上的贡献。物理学家们的期望是，我们最终将会有一个有限的理论，那时我们就不需要用截断来遮遮掩掩了。
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[14]这从简单的量纲分析就可以看出：δm的形式为mf（Λ/m），而从费恩曼图所对应的积分的形式可知其相对于Λ的渐近形式f（x）只能是对数或以正负整数为幂次的幂函数，这其中只有f（x）=ln（x）可以使δm既在Λ→∞时发散，又在m→0时为零。
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[15]学过量子力学的读者可能会进一步问：如果一个量子体系的基态是简并的，那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？这种量子叠加——如我们在量子力学中所见到的——往往不仅会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，对称性自发破缺岂不是不存在了？这是一个非常好的问题，答案是：对于有限体系来说情况确实会如此（除非有什么原因——比如对称性——禁止简并基态间的相互耦合）。但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷，这时不同真空态之间的相互耦合趋于零，严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
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[16]戈德斯通定理也可以从几何上来理解。可以看成是一个N维曲面，真空态对应于该曲面的一个极小值点，而该点处每一个独立的平坦方向（即二阶导数为零的方向）对应于一个无质量标量粒子。另一方面，每一个这种独立的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换。这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。另外再补充一点：南部阳一郎曾在1960年提出过类似于戈德斯通定理的想法，但未引起足够重视。
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[17]这里有一个很有意思的问题，那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势Veff而非经典势函数V所决定的，那么在经典势函数V不具有简并真空态（从而不会产生对称性自发破缺）的情况下，是否有可能通过体现在有效势Veff中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢？答案是肯定的。如果哪位读者独立地想到了这个问题，那么祝贺你了，这说明你有非常敏锐的物理思维能力。如果你同时还具有第一流的理论基础，并且早生几十年的话，就有可能作出一个非常重大的理论发现，那便是1973年由美国物理学家科尔曼（Sidney Coleman, 1937—2007年）与温伯格（Erick Weinberg,1947—）所发现的如今被称为科尔曼-温伯格机制（Coleman-Weinberg mechanism）的对称性破缺机制。
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[18]一般来说，粒子物理学中的规范对称性指的就是“定域”规范对称性。不过在本节中，为突出“定域”所起的作用，我们有时会特意注明。
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[19]用技术性的语言来说，在希格斯机制中对应于戈德斯通粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去（必须注意的是：“定域”二字在这里至关重要，整体的连续变换是不具有这种能力的）。从规范理论的角度讲，这相当于选取了一种被称为幺正规范（unitary gauge）的特殊规范。这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺，从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。人们有时把这种机制形象地描述为：规范粒子通过“吃掉”戈德斯通粒子而获得质量。另外要说明的是，这里所介绍的由希格斯等人提出的，被粒子物理标准模型所吸收的其实只是希格斯机制的一种最简单的实现形式——但似乎恰好就是自然界所采用的形式。
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