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[20]电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是SU（2）×U（1）破缺为U（1），由此产生的三个戈德斯通粒子通过希格斯机制使四个规范粒子中的三个（即W±和Z）获得质量，剩下的一个（即光子）则维持了无质量。
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[21]更确切地讲，标准模型中的汤川耦合是形如—λ的项，其中为质量本征态（不同于弱本征态），L与R分别代表左右手征部分，h.c.代表厄密共轭。汤川耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。
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[22]Gell-Mann将这一模型称为八正道（eightfold way），这一名称取意于佛教术语，所代表的是SU（3）分类模型中的八维表象。
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[23]Ω-粒子于1964年被发现，它不仅量子数与理论预言完全一致，质量也非常接近理论的预期。
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[24]当时盖尔曼是加州理工大学（California Institute of Technology）的教授，茨威格则是该校的研究生，他们虽在同一学校，但提出夸克模型是彼此独立的。夸克这一名称是盖尔曼所取，来自于爱尔兰作家乔伊斯（James Joyce, 1882—1941年）的小说《芬尼根的守灵夜》（Finnegans Wake）；茨威格提议的名字也很幽默，是“Aces”——即扑克牌中的“爱斯”。对茨威格来说，十分苦涩的经历是：同样标新立异的理论，Gell-Mann的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心（CERN）的新杂志《物理快报》（Physics Letters）上，而人微言轻的茨威格的文章却遭到拒稿而未能及时发表。茨威格后来转行离开了物理。
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[25]这一点也适用于胶子或任何不处于色单态的粒子组合。不过要注意的是，它的严格数学证明是极其困难的。事实上，它是美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）悬赏百万美元征解的七大数学难题之一的“杨-米尔斯与质量隙”（Yang-Mills and Mass Gap）问题的一部分。不过许多物理学家对从数学上严格证明这一点并无太大兴趣，温伯格就曾经表示：“这一点肯定是正确的，因此我和其他一些人一样很乐意把证明留给数学家去做。”
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[26]波利策等人因此而获得了2004年的诺贝尔物理学奖。比他们稍早，荷兰物理学家特·胡夫特也有过同样的发现，可惜没有发表。
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[27]补充说明两点：（1）定义夸克质量所用的重整化方案（renormalization scheme）是。（2）夸克的“轻”和“重”是相对于量子色动力学中的特征能标ΛQCD（约为200～300MeV）来区分的。
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[28]有读者可能会问：既然有U（V）V，是不是也有U（1）A？在经典层次上答案是肯定的，但是在量子世界里，U（1）A会被反常（anomaly）所破坏。
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[29]感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质自行证明与的变换性质与。另外要注意的是，这里所说的矢量、轴矢量、标量、赝标量都是依据时空变换性质区分的，与那些量在SU（2）内禀空间内的变换性质无关。
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[30]由于s夸克也是轻夸克，因此我们的讨论可以扩展至包括s夸克，这是强子分类中存在SU（3）近似对称性的原因——请注意这个SU（3）是“味”对称性而不是“色”对称性。不过由于s夸克的质量较大，SU（3）对称性的近似程度远不如SU（2）对称性来得高。
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[31]在强子的命名中，有些带有质量参数，ρ（770）与a1（1260）就是两个例子。细心的读者可能要问：既然如此，这两个介子的质量怎么会是775MeV和1230MeV，而非770MeV和1260MeV呢？我把这个问题留给读者自己去思考。
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[32]虽然从实验上观测到的强子谱来看，量子色动力学中的SU（2）V×SU（2）A×U（1）V对称性几乎肯定是破缺成了SU（2）V×U（1）V（即手征对称性被破缺了），但这并不意味着量子色动力学的真空一定能够实现这一破缺方式。相反，能否实现这一破缺方式在很大程度上可以视为是对量子色动力学的检验。
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[33]π介子的质量远小于其他强子的质量，这一点很早就引起了人们的注意。为了解释这一现象，早在量子色动力学出现之前的1960年，南部阳一郎就提出可能存在一种极限情形（相当于后来的手征极限），在其中π介子是对称性自发破缺所产生的无质量粒子。中国物理学家周光召（1929—）也于1961年提出过类似的想法。
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[34]不同的文献对Fπ有不同的定义，彼此相差一个常数因子2或
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[35]这一结果在定性上是可以预期的，因为它大致等于量子色动力学中除夸克质量外的唯一能标ΛQCD的三次方。感兴趣的读者可以（定性地）思考这样一个问题：在不考虑夸克质量的情况下，量子色动力学拉氏量中唯一的参数是无量纲的耦合常数，那么像ΛQCD这样的能标是从何而来的？
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[36]需要指出的是，对夸克质量的估计本身就在一定程度上运用了π介子（及其他几种介子）的质量。因此孤立地看，这里所谓的“吻合”带有循环论证的意味。但是人们对强子质量的计算是大量而系统的，涉及的粒子种类远远多于轻夸克的数目，当我们把所有这些计算综合起来看，这种“吻合”就不再是循环论证，而成为了很强的自洽性检验（consistency check）。这一点也适用于后文所述的对重子质量的计算。
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[37]这些数值对比来自本文写作之初所参阅的文献，是大约十年前的研究结果。感兴趣的读者可以查阅一下新近文献，看是否有更好的结果。
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[38]这个质量对应于一个由无质量的夸克和胶子组成的束缚态的质量。撇开计算上的复杂性不论，定性地讲，量子色动力学对这一质量的确定其实并不玄妙，它与量子力学对氢原子结合能的确定相类似——当然，氢原子在零质量极限下是不存在的。量子色动力学所具有的这种“质量隙”（mass gap）现象是高度非平凡的。另外，这个质量完全由相互作用所决定，在这一点上它有点类似于马赫早年的想法。只不过马赫设想的相互作用来自遥远的星体，而量子色动力学计算涉及的是微观世界的相互作用。感兴趣的读者可以思考一下：无质量的粒子为什么可以组成有质量的束缚态？
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