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1707613524 其中火箭的初始质量mi与推进过程完成后的质量mf都是在火箭参照系中测量的。这就是齐奥尔科夫斯基公式在相对论条件下的推广。对于低速运动的火箭,(u/c)ln(mi/mf)<
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1707613527 上述公式的一个特例是u=c的情形,即喷射物为光子(或其他无质量粒子)的情形。这种火箭常常出现在科幻小说中,通常是以物质与反物质的湮灭作为动力来源。对于这种情形,上述公式简化为:。如果将火箭90%的质量转化为能量作为动力,火箭的飞行速度可以达到光速的99%。
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1707613532 因为星星在那里:科学殿堂的砖与瓦 [:1707611318]
1707613533 因为星星在那里:科学殿堂的砖与瓦 五、飞向深空
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1707613535 宇宙的浩瀚是星际旅行家们所面临的最基本的事实。即使能够达到接近光速的速度,飞越恒星际空间所需的时间仍然是极其漫长的。比如从太阳系出发,到银河系中心大约要3万年,到仙女座星云(Andromeda Galaxy,也称为M31,为河外星系)大约要220万年,到室女座星系团(Virgo,为河外星系团)大约要6 000万年……相对于人类弹指一瞬的短暂生命来说这些时间显然是太漫长了。但是且慢悲观,因为我们还有一个因素可以依赖,那就是相对论的时钟延缓效应。在相对论中运动参照系中的时间是由所谓的“本征时间”来表示的,它与静止参照系中的时间之间的关系为
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1707613540 把这个公式运用到火箭参照系中,τ就是宇航员所感受到的时间流逝。很显然,火箭的速度越接近光速,宇航员所感受到的时间流逝也就越缓慢。考虑到这个因素,宇航员是不是有可能在自己的有生之年到银河系中心、仙女座星云、甚至室女座星系团去旅行呢?下面我们就来计算一下。
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1707613542 我们考虑一个非常简单的情形,即火箭始终处于匀加速过程中。当然这个匀加速度是在火箭参照系中测量的。为了让宇航员有“宾至如归”的感觉,我们把加速度选为与地球表面的重力加速度一样,即g。用数学语言表示:
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1707613547 把这一加速度变换到静止参照系(地心参照系)中可得
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1707613552 由此积分可得
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1707613557 只要加速的时间足够长(即gt>>c),上式可近似为x≈ct。这表明在地心参照系中,经过长时间加速后飞船基本上是以光速飞行的。但是我们感兴趣的是宇航员所经历的时间,即“本征时间”τ,这是很容易利用上式——τ的定义——计算出的,结果为(请读者自行验证)
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1707613562 我们可以从τ和x的表达式中消去t,由此得到
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1707613567 如果x<>c2/g,即飞行距离远大于1光年,上式可以近似为τ≈(c/g)ln(2gx/c2)。下面我们将只考虑这种情形。考虑到抵达一个目的地后,通常还要做一些考察研究、拍照留念的事情,因此火箭不能一味加速,而必须在航程的后半段进行减速,从而旅行所需的时间应当修正为(最右侧表达式中τ以年为单位,x以光年为单位)
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